Kyvadlové hodiny voľne založené na Harrisonovi

kyvadlové

Obrázok 1: Druhé kyvadlové hodiny s Harrisonovou kompenzáciou barometra

Obrázok 2: Vzťah medzi chybou chôdze a amplitúdou kyvadla so zmenou tlaku vzduchu

Harrisonovo dedičstvo

V roku 1775 zhrnul John Harrison, ktorý už pri navigácii na mori problém s zemepisnou dĺžkou pomocou veľmi presných hodín, svoje myšlienky o optimálnych kyvadlových hodinách zhrnul v rukopise (pozri „Preklad“ od Davida Heskin). Na rozdiel od svojho súčasníka Grahama, ktorého únik sa dnes v presných kyvadlových hodinách stále často používa, Harrison nechcel malú amplitúdu kyvadla (okolo 1 °), ale veľmi veľkú okolo 7 °. Dobre si uvedomoval, že perióda kmitania tiež rastie minimálne so zvyšujúcou sa amplitúdou (presné riešenie pre periódu kmitania nájdete v „Matematickom kyvadle“). Ak sa perióda oscilácie zvyšuje, potom sa hodiny spomaľujú, t. J. Spomaľujú sa.

Na druhej strane môžu kyvadlové hodiny pôsobiť aj prostredníctvom vonkajších vplyvov. To je prípad, keď klesá hustota vzduchu (so znižujúcim sa tlakom alebo so zvyšujúcou sa teplotou), pretože potom klesá trenie vzduchu (hodnota cw) a kyvadlo menej brzdí. Ďalej sa znižuje vztlak vzduchu, čo znamená, že sa zvyšuje hmotnosť kyvadla. Zvyšuje sa iba hmotnosť (obnovovacia sila počas kmitania), ale nie hmotnosť (zotrvačnosť kyvadla proti obnovovacej sile). Zotrvačná hmotnosť je ešte nižšia, pretože vzduch, ktorý sa s ňou pohybuje, sa stáva ľahším. To všetko je možné veľmi ľahko zohľadniť v rovnici pre periódu T kyvadla dĺžky L (g = gravitačné zrýchlenie, ρL = hustota vzduchu, ρP = hustota kyvadla):

Faktor f pre vzduch vedený kyvadlom je medzi približne 0,5 pre kyvadlo šošovky a približne 1 pre kyvadlo s valcom. Odvodenie rovnice je stručne uvedené v „T-Air density.pdf“. Ak sa táto rovnica (s f = 1) použije na výpočet chybovej rýchlosti sekundových kyvadlových hodín so znížením tlaku vzduchu o 1 hPa, je výsledok +0,013 s/d (sekundy za deň). Táto hodnota dobre zodpovedá literatúre. Okrem rýchlejšej rýchlosti hodín sa mierne zvyšuje aj amplitúda kyvadla, pretože zvýšená obnovovacia sila dodáva kyvadlu viac energie a vzdušné trenie klesá.

Harrisonovo zistenie bolo, že chyba chôdze spôsobená zmenami hustoty vzduchu s dostatočne veľkou amplitúdou je automaticky kompenzovaná závislosťou periódy oscilácie od amplitúdy. Geniálne! Harrisonovi súčasníci však boli podozriví a až v roku 2015 sa ukázalo, že Harrisonov prístup funguje: „Video: Úžasne presné hodiny.“ Na tieto hodiny sa v ďalšom texte - ako vo videu - odkazuje „Hodiny B“.

Harrisonove kompenzačné výpočty

Prakticky ihneď po prečítaní hodín B v denníku a nájdení iného článku od Bettsa (pdf: Harrisonova barometrická kompenzácia) som sa o koncepcii presvedčil a urobil prvé výpočty. Východiskovým bodom bola na jednej strane vyššie uvedená rovnica a na druhej strane trecia práca WR, ktorú musí kyvadlo vykonať pri pohybe vzduchom (na výpočet sa použilo guľové kyvadlo z nehrdzavejúcej ocele s priemerom D = 70 mm):

WR = FR sP (= trecia sila krát pohyb kyvadla), kde

Tu sú dráha kyvadla sP a stredná rýchlosť kyvadla vP:

sP = 2 L φ a vP = 2 sP/T (s amplitúdou φ v radiánoch).

Koeficient odporu cw bol vypočítaný podľa Kaskasa (3. strana). Pomocou týchto rovníc sa teraz pre danú amplitúdu kyvadla počíta trenie pri „normálnom“ tlaku (napr. 1 000 hPa). Potom sa tlak zmení (napr. Zvýši sa o 1%) a amplitúda kyvadla sa zmení metódou pokus-omyl, kým sa novo vypočítaná trecia práca nezhoduje s pôvodnou. Vďaka dvom amplitúdam kyvadla je teraz možné „napájať“ presné riešenie doby oscilácie uvedené vyššie a prevádzať na sekundy za deň.

Tieto výpočty boli vykonané niekoľkokrát pre dané amplitúdy medzi 0 a 4,5 ° a sú zhrnuté na obr. Pri amplitúde 0 ° sa hodiny podľa prvej rovnice spomalia o 0,127 s/d, ak sa tlak zvýši o 10 hPa. Toto oneskorenie je čoraz menšie so zvyšujúcou sa amplitúdou, kým sa nedosiahne úplná kompenzácia tlaku pri 3,7 °. V zásade to zodpovedá Harrisonovej predpovedi, hovoril však o 7 ° a hodiny B kompenzujú tlak na niečo málo cez 6 °. Ako sa to dá vysvetliť?

Harrison poskytol kruhové čeľuste na upínaní kyvadlovej pružiny (výslovne žiadne čeľuste Huygens, s ktorými by kompenzácia nepracovala) a také kruhové čeľuste sú tiež zabudované do hodín B. Čeľuste vedú k tomu, že dĺžka kyvadla sa so zvyšujúcou sa amplitúdou skracuje a perióda kmitania sa s amplitúdou spočiatku dokonca zmenšuje, skôr ako sa opäť zväčšuje pri veľmi veľkých amplitúdach. Betts (pozri vyššie) popisuje konštruktívnu koordináciu čeľustí a kyvadlových pružín ako „skúšky do kopca“. Až po vrchu klesajú hodnoty s/d so zvyšujúcou sa amplitúdou.

Ak je pružina kyvadla upnutá ostrými hranami - ako je to dnes bežné - potom neexistuje hora alebo najvyšší bod hory má amplitúdu 0 °. Vďaka tomu dôjde ku kompenzácii tlaku pri podstatne menších amplitúdach. To je dobrá vec, pretože s amplitúdou pod 4 ° je možné vyrobiť hodiny vhodné do obývacej izby s Harrisonovou kompenzáciou:-)

Obrázok 3: Skúška rozkladu na stanovenie energetickej potreby pri veľkých amplitúdach

Obrázok 4: Vyhodnotenie testu rozpadu: sila kyvadla

Úvahy o dizajne hodín

Kyvadlo, ktoré sa pohybuje s amplitúdou 4 °, má 16-krát viac uloženej energie, ako by malo pri 1 °. Počas každej polovice kmitania (1 s) sa vydáva malá časť energie, v zásade trením vzduchu, ktoré musí byť nahradené inhibíciou. Ak je trenie vzduchu laminárne, potom je trecia sila úmerná rýchlosti a energetická strata (sila krát posunutie) úmerná rýchlosti a amplitúde. Pri pomere 4 ° k 1 ° by bola energetická potreba hodiniek 16-krát vyššia. Pri turbulentnom trení vzduchu je faktor dokonca 64, pretože trecia sila je potom úmerná druhej mocnine rýchlosti.

Na presnejšie stanovenie faktoru sa uskutočnil nasledujúci test rozpadu (pozri tiež obr. 3): Kyvadlo (v tom čase sférické kyvadlo s priemerom 80 mm a hmotnosťou m = 2 kg) sa vychýlilo o dobrých 5 ° a potom sa uvoľnilo mohlo by sa voľne hýbať (bez pohonu/brzdenia). Stratí energiu a amplitúda sa zmenšuje a zmenší. Čas a s ním spojená amplitúda vibrácií sa zaznamenávali pomocou časovacieho prístroja. Experiment bol ukončený po dobrých 5 hodinách. Stratu energie ΔE možno teraz vypočítať z 2 hodnôt amplitúdy φ1 a φ2 v časovom intervale Δt:

Ak sa energetická strata vydelí časovým rozdielom Δt, vznikne požadovaný výkon P:

P = ΔE/Δt s jednotkou W alebo mW

Takto vypočítaný výkon je znázornený na obr. Je vidieť, že „normálne“ druhé kyvadlové hodiny s amplitúdou približne 1 ° sú takmer v rozsahu laminárneho trenia vzduchu (dva krivky sklonu pre laminárne a turbulentné trenie sú pre lepšiu orientáciu v diagrame zadané ako priame čiary). Pri najväčšej nameranej amplitúde 5 ° je takmer dosiahnutý sklon pre turbulentné trenie. Výsledkom vyhodnotenia číselných hodnôt, na ktorých je diagram založený, je 37-násobný výkon pre amplitúdu 4 ° v porovnaní s 1 °. Takže je takmer nemožné navrhnúť hodinky ako mesačné bežce. Bol vybraný denný bežec.

Inhibícia

Obrázok 5: Zaťaženie gravitácie pomocou kolennej páky