Diferenciálne rovnice
Diferenciálna rovnica popisuje zmenu stavovej premennej, napríklad ako funkciu času. Zmena stavovej premennej je opísaná deriváciou. Existuje niekoľko foriem diferenciálnych rovníc. Niektoré z nich by mali byť stručne popísané. Nižšie uvedený DGL je príkladom výslovného DGL prvého rádu. Explicitné znamená, že derivát je možné izolovať a stáť samostatne na jednej strane rovnice. Pojem 1. rád znamená, že do rovnice ide iba prvá derivácia.
Nasledujúca rovnica je DGL druhého rádu.
Nasledujúca diferenciálna rovnica je explicitná lineárna rovnica prvého rádu. Lineárne znamená, že stavová premenná X (t) je lineárna.
Nasledujúca rovnica už nie je lineárna.
Riešenie diferenciálnych rovníc sa deje pomocou integrácie, ak je to možné. Procesy riešenia často vyžadujú rozsiahle transformácie počiatočných rovníc. Vo väčšine simulačných programov sa DGL riešia pomocou metód numerickej aproximácie (Euler-Cauchy alebo Runge-Kutta). Tieto približné riešenia občas vedú k veľkým nepresnostiam alebo dokonca k úplne nesprávnym výsledkom.
Jeden hovorí o raste, ak pre každého. Jednou z najjednoduchších foriem rastu je exponenciálny rast. Tu sa predpokladá, že zmena je úmerná prítomnej hmotnosti (alebo počtu). Ak sa pozriete napríklad na bakteriálnu populáciu, môžete pri prvom prístupe predpokladať, že rast určujú dva procesy: baktérie sa množia a zomierajú. Nárast závisí od toho, koľko baktérií bolo predtým prítomných, rovnako ako úbytok. Teraz môžeme predstaviť mieru úmrtnosti a pôrodnosti (miera delenia atď.) A spojiť tieto dva procesy v miere rastu r.
Na vyriešenie tejto rovnice je potrebné poznamenať, že derivácia prirodzeného logaritmu (ln (x)) je daná vzťahom a musí sa tiež použiť pravidlo reťazca. Najskôr prinesieme X (t) na ľavú stranu rovnice.
Na ľavej strane rovnice je derivácia ln (X (t).
(Každý, kto má problémy s porozumením, si to môže prepočítať diferencovaním.)
Teraz môžeme integrovať obe strany pomocou t, ako integračný rozsah zvolíme 0 až s.
Delogaritmizovať ktorákoľvek strana rovnice vedie k
Týmto určil riešenie rovnice exponenciálneho rastu. Výraz X (0) je začiatočná hodnota pre stavovú premennú. Ak sa pozriete na rast populácie, je to počiatočná veľkosť populácie. Ak je r väčšie ako nula, potom populácia rastie exponenciálne. Ak je naopak r menšie ako nula, potom dôjde k exponenciálnemu rozpadu; populácia vymiera.
Na rozdiel od exponenciálneho rastu logistický rast zohľadňuje skutočnosť, že v žiadnom raste nemožno pokračovať donekonečna. Namiesto toho sa v určitom okamihu dosiahne kapacitný limit K, ktorý sa nedá prekročiť. Ak sa pozriete na rast baktérií v živnom roztoku, potom sú výživné látky postačujúce iba pre určitý počet baktérií. Ak sa táto hranica dosiahne, populácia sa už ďalej nezvyšuje. V prírode preto možno často pozorovať priebeh rastovej krivky v tvare písmena S. Diferenciálnou rovnicou, ktorá odráža takýto priebeh, je rovnica logistického rastu:
Rastový parameter r a kapacitný limit K možno kombinovať a vytvoriť tak nový parameter. Táto forma rovnice sa tiež často vyskytuje.
Ak vezmeme do úvahy rovnicu logistického rastu, je viditeľné toto: Pokiaľ je X (t) stále malé, môžete produkt zanedbať, pretože je len menší (pretože:!). Preto sa rovnica spočiatku správa ako rovnica exponenciálneho rastu a neskôr sa vyrovná. Logistická rovnica rastu je riešiteľná. V zásade postupujete ako doteraz. Prineste všetky výrazy s X (t) na ľavú stranu rovnice.
Nemôžete sa integrovať okamžite, pretože X (t) sa v produkte vyskytuje v menovateli. Čo chcete dosiahnuť, je to, že sa produkt rozpustí a nahradí výrazom ako. Používa sa na to známy rozklad parciálnych frakcií. Robíme to nasledovne:
Existujú konštanty A a B, takže:
Teraz prenesieme zlomky na pravej strane rovnice na spoločného menovateľa.
by mali byť rovnaké. Menovatele sú rovnaké, takže je potrebné upraviť čitateľa. Teraz sa vykonáva porovnanie koeficientov. To neznamená nič iné ako porovnanie mocnin X (t) na oboch stranách rovnice a nastavenie parametrov A a B tak, aby výrazy pre akákoľvek potencia tak, aby zodpovedala.
Najprv začnete s konštantami:
Naľavo je AK, na pravej strane 1. Jeden požaduje rovnosť: AK = 1 a teda. To znamená, že parameter A je už nastavený.
Potom človek ide na X (t).
Na ľavej strane rovnice pred X (t) nasleduje premenná - A + B. Na pravej strane nie je výraz s X (t); teda hodnota je 0. Výsledkom bude: - A + B = 0 a A = B. Týmto ste určili dva výrazy pre A a B a môžete ich vložiť do rovnice (*). Výsledkom je výraz:
Teraz môžete integrovať:
Túto rovnicu je možné ďalej transformovať, aby sa uľahčilo hodnotenie. Výraz, ktorý je vylúčený ako prvý, sa objaví v čitateli a menovateli. (Poznámka môže byť tiež napísaná ako:)
Stále je nepríjemné, že zlomok sa vyskytuje aj v čitateľovi aj v menovateli.
Ako sa s zvyšuje, blíži sa k nule. Systém smeruje k kapacitnému limitu K. .
Zatiaľ sa uvažovalo iba s jedným izolovaným množstvom. V skutočnosti procesy nebudú môcť bežať izolovane, budú však skôr ovplyvnené inými premennými. Existuje mnoho definícií pojmu systém. Systém v zásade obsahuje prvky a ich správanie spolu s ich vzájomnými interakciami. Rozlišuje sa medzi týmto:
Typy systémov
- izolovaný
Systém sa nazýva izolovaný, ak nemá žiadny vstup a výstup. To znamená, že nemení energiu ani hmotu s prostredím. Izolované systémy sa používajú ako idealizácie v ekonómii, fyzike a chémii (termodynamika). - dokončené
Systém vymieňa iba energiu, nie hmotu, s prostredím. - otvorené
Systém si vymieňa hmotu (a energiu) s prostredím. Na živé bytosti sa dá pozerať ako na otvorené systémy. V súvislosti s otvorenými systémami stále existujú rozdiely - adaptívny
Systém nie je zničený procesom výmeny hmoty (a energie). - stacionárne
Vlastnosti a teda aj stavy systému nezávisia od času. Oproti tomu je tu ešte vlastnosť: - dynamický.
Veľkosti systému sa časom menia.
Interakcie, pozitívna a negatívna spätná väzba
Ak sa dve (alebo viac) veličín navzájom ovplyvňujú, potom dôjde k interakcii. Účinok vzťahu môže byť pre jednotlivé strany prospešný alebo škodlivý, a teda pozitívny alebo negatívny.
V nasledujúcej časti uvažujeme o jednej populácii horských zajacov a rysov. Predpokladáme tiež nasledujúce požiadavky:
- Zásoba potravy zajacov horských je neobmedzená.
- Ak by teda zajace horské nezožrali rys, rástli by rýchlosťou b. Rast je úmerný hustote (alebo počtu) zajacov. Pre systém platí toto:
Zajace horské bez rysov:
Model pochádza z Lotky (1910; 1925) a bol použitý na popísanie súvislosti medzi zajacmi a rysmi v oblasti v Kanade. (Kožušinová spoločnosť sa o túto tému veľmi zaujímala a poskytla údaje) Tieto rovnice nie sú výslovne riešiteľné. Môžu byť zobrazené pomocou numerickej aproximácie (Runge-Kutta alebo podobne). Alebo je možné všeobecne preskúmať, ako sa systém správa v závislosti od parametrov b, m, r a počiatočných hodnôt pre populácie. V nasledujúcej časti je vysvetlený základný postup.
Rovnovážne body systému sú nuly diferenciálnych rovníc, s ktorými bol systém popísaný. To z nich robí miesta, kde už nie sú viditeľné zmeny. Všetky zmeny prebiehajú naďalej, navzájom sa však rušia. Keby sa človek díval iba na jedinú populáciu, dynamická rovnováha by bola tam, kde by sa narodenia a úmrtia navzájom úplne vyvážili. Aj keď jednotlivci stále zomierajú a rodia sa, na úrovni celkovej populácie nie je badateľná žiadna zmena. Rovnováhy tohto typu sa označujú aj ako dynamické rovnováhy. Ako prvý príklad sa pozrime na logistický rast
také sú body rovnováhy: a. Alebo povedané inak: ak tu nie je žiadna populácia, potom zjavne nemôže ani rásť. To isté platí aj pre kapacitný limit.
Pre systém predátor-korisť z vyššie uvedenej časti musí teraz platiť toto:
a to zároveň.
Začnime prvou rovnicou pre rysa.
Takže buď F (t) = 0 alebo (- m + rH (t)) = 0. Druhý termín je synonymom pre. Teraz musíme tiež poznamenať, že druhá rovnica pre populáciu králikov musí byť tiež nulová.
Berieme jeden po druhom rovnovážné body prvej rovnice a vkladáme ich do druhej. Prvý bod vedie k požiadavke:
Druhý bod vedie k:
Vyšetrovanie globálnej stability je často ťažkopádne. Miestny sa dá ľahšie preskúmať. Na to je potrebné zaviesť malú odbočku.
Začíname s jednorozmerným prípadom DGL.
Bilančné body sú všetky body, s ktorými. Hľadáme nuly f. Teraz chceme vedieť, kedy je lokálne stabilný, teda za akých okolností sa X (t) vráti po miernom vychýlení. Za týmto účelom sa okolo rovnovážneho bodu uskutoční Taylorovo rozšírenie série. Taylorova séria je do istej miery aj číselnou aproximáciou. Predpokladá sa, že systém (alebo skôr DGL) v blízkosti rovnovážneho bodu možno opísať deriváciami od f do X.
Jeden teraz zanedbáva všetky členy vyššieho rádu a robí lineárnu aproximáciu. V zásade netvrdíme nič iné, ako to, že sklon fv rovnovážnom bode a veľkosť výchylky sa dajú aproximovať (ak by sa vynieslo f (x) proti X, potom by sa v istom zmysle urobila priamka so sklonom cez rovnovážny bod). Funguje to len dovtedy, kým ste blízko, inak kvadratické a kubické výrazy priberajú a vy ich už nemôžete zanedbávať. Týmto sa dá teda skúmať iba lokálna stabilita. Takže uvažujeme:
a chcem vedieť, či sa vrátime do rovnovážneho bodu. Najprv sme nastavili, pretože to robí rovnice jasnejšími. Máme Z '(t) = X' (t) a teda
Máme teda lineárnu rovnicu 1. rádu a môžeme ju integrovať (pozri časť o exponenciálnom raste).
Ak potom dôjde k exponenciálnemu rastu, systém sa nevráti a rovnovážny bod je nestabilný. Ak dôjde k exponenciálnemu rozpadu, systém sa po počiatočnom narušení vráti do rovnovážneho bodu. Bod je stabilný. Platí, najskôr sa nedá povedať nič viac.
Postup sa nazýva aj štúdia lineárnej stability.
Niečo podobné ako v jednorozmernom prípade sa dá uskutočniť aj v prípade vyšších dimenzií. Ak máte dve spojené stavové premenné (napr. Rysy () a zajace ()), musíte najskôr určiť nuly a. To znamená, že hľadáte všetkých s a. Môžete tiež skombinovať dve rovnice a napísať ich ako vektorovú rovnicu.
Po určení núl je možné znova uskutočniť rozšírenie Taylorovho radu. Takže opäť určíme prvú deriváciu f vzhľadom na X. Rozdiel je v porovnaní s jednorozmerným prípadom: Funkcia f sa skladá z dvoch funkcií a tieto funkcie závisia zase od dvoch veličín. Aby bolo možné určiť celkovú deriváciu (označenú ako Df (X)), musia byť funkcie odvodené vždy a v nasledujúcom poradí.
Výraz Df (X) sa preto nazýva aj derivačná matica f (X). Rovnicu je možné formálne prepísať, ako je uvedené vyššie:
Túto rovnicu je možné opäť integrovať, vyžaduje to však rozsiahlejšie predstavenie. Presnejšie: Riešenie je ako v jednorozmernom prípade:
Výraz, ktorý sa stáva nepraktickým, spôsobuje problémy. Systém je teraz zvyčajne transformovaný, aby sa dal ľahšie vypočítať. To sa deje pomocou vlastných čísel a vlastných vektorov matice. Úvod do tejto témy by bol v tomto okamihu príliš časovo náročný, takže tu uvádzame iba výsledky. Toto je:
Ak: a platí, potom je rovnovážny bod stabilný a systém k nemu smeruje. To sa dá dosiahnuť buď monotónne alebo vibráciami.
Platí:
a potom je rovnovážny bod stabilný a systém ho obieha. Amplitúda kruhu alebo oscilácia závisia od počiatočných podmienok pre X (t).
Na ilustráciu postupu je ako príklad uvedený systém predátor-korisť.
Najskôr zo všetkého odvodíme jeden z F (t). S H (t) sa zaobchádza ako s konštantou.
Potom sa odvodí H (t) (v tomto prípade sa s F (t) zaobchádza ako s konštantou).
Nakoniec sa obidve stále vykonávajú pre.
Toto nám dáva systémovú maticu:
Dva rovnovážné body sú vložené jeden po druhom do výrazu.
1) .
To znamená, že a. Pretože m aj b sú väčšie ako nula, nulový bod nie je stabilný.
2)
No je a. S m, b; SPMgt; 0 platí, že druhý rovnovážny bod je stabilný. Systém ho však nedosahuje, ale krúži ho na obežných dráhach, ktorých polomer závisí od počiatočných podmienok.
a: rovnovážny bod asymptoticky stabilný.
a: rovnovážny bod je zakrúžkovaný.
: Rovnovážny bod je nestabilný