Ako môžem určiť nuly kvadratických funkcií
K témam lineárnych a kvadratických funkcií
Tento príspevok vysvetľuje, koľko núl má kvadratická funkcia a ako sa dá vypočítať. Nájdete tu dve sekcie. Prvý vysvetľuje, koľko núl má kvadratická funkcia, a druhý vysvetľuje riešenie kvadratických rovníc pomocou vzorca p-q alebo abc, pomocou ktorého môžete vypočítať nuly kvadratických funkcií.
Malý vstup
Nuly sú dôležité body vo funkcii. Zohrávajú dôležitú úlohu, najmä v príkladoch aplikácií, pretože vyznačujú výrazné body. Napríklad ak je vrh guľou modelovaný pomocou kvadratickej funkcie, jedna z núl označuje bod, v ktorom dopadne na zem. Ak je most modelovaný pomocou kvadratickej funkcie, znamená to bod, v ktorom sa most dotýka zeme.
Kvadratická funkcia môže mať jednu, dve alebo vôbec nuly. To je možné ilustrovať graficky.
Ak má kvadratická funkcia iba jednu nulu, graf funkcie môže pretínať os x iba raz. Toto je prípad iba vtedy, ak vrchol paraboly leží na osi x. Takže vrchol funkcie zodpovedá nule funkcie.
Ak má kvadratická funkcia dve nuly, parabola pretína os x dvakrát. Je to presne tak, keď vrchol paraboly, ktorá sa otvára smerom hore, leží pod osou x alebo vrchol paraboly, ktorá sa otvára nadol, leží nad osou x.
Ak kvadratická funkcia nemá nulu, parabola nepretína os x vôbec. Je to presne tak, keď vrchol paraboly, ktorá sa otvára nahor, leží nad osou x alebo vrchol paraboly, ktorá sa otvára nadol, leží pod osou x.
Pretože sa funkčná hodnota paraboly zvyšuje (s parabolami, ktoré sa otvárajú smerom hore) alebo klesá (s parabolami, ktoré sa otvárajú smerom dole) v oboch smeroch x od vrcholu, nemôžu existovať viac ako dve nuly. Pretože pri tretej nule by sa funkčné hodnoty museli v určitom okamihu (s parabolami otvorenými smerom hore) opäť znížiť alebo zvýšiť (s parabolami otvorenými dole).
Nula popisuje bod, v ktorom hodnota funkcie vezme koho na nulu. Preto ho môžete vypočítať, ak vyriešime rovnicu \ (f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 \) pre x. Na vyriešenie tejto rovnice existujú dva vzorce, ktoré p-q- a vzorec abc (často sa nazýva Polnočná formula určený). Nezáleží na tom, ktorý z nich sa použije, pretože oba vedú k rovnakému výsledku. Môžete si preto vybrať, ktoré sa vám páčia lepšie alebo ktoré už poznáte zo školy.
Pre vzorec p-q aj abc najskôr nájdete rozbaľovací text, ktorý vysvetľuje odvodenie tohto vzorca. Tu sa dozviete, odkiaľ vzorec pochádza a prečo vlastne funguje. Potom nájdete tri rozbaľovacie texty, ktoré vysvetľujú použitie vzorca na rôznych príkladoch vrátane videa YouTube na rovnakú tému. Vyberte si formu vysvetlenia, ktorá sa vám páči viac.
Výpočet nuly (-ov) kvadratickej funkcie pomocou vzorca p-q:
Ak sa má vyriešiť kvadratická rovnica tvaru \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) pre \ (x \), môže sa použiť vzorec p-q. To je možné získať riešením vyššie uvedenej rovnice pre \ (x \). K tomu využijete štvorcový nadstavec.
1. krok: Rovnica je doplnená štvorcom, takže dvojčlen tvaru \ (\ left (x + \ frac
\ right) ^ 2 = x ^ 2 + px + \ left (\ frac
\ right) ^ 2 \) sa vygeneruje.
2. krok: Binomiál sa generuje pomocou binomických vzorcov.
3. krok: Rovnica je vyriešená pre \ (x \).
Vysvetľujúce texty
Za nasledujúcimi rozbaľovacími textami nájdete tri rôzne príklady výpočtu núl kvadratických funkcií:
Ak chcete vypočítať nuly kvadratickej funkcie \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), najskôr nastavte funkčnú rovnicu na nulu, \ (f (x) = 0 \).
Musí preto platiť toto: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)
Vzorec p-q je: \ (x _ = - \ vľavo (> \ vpravo) \ pm \ sqrt \ vpravo) ^ 2-q> \) a rieši kvadratické rovnice tvaru \ (x ^ 2 + px + q \).
Aby bolo možné použiť vzorec pq, musí mať kvadratická rovnica tvar \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), t. J. Prefaktor \ (a = 1 \) pred \ (x ^ 2 \) mať. Aby sme to dosiahli, najskôr rozdelíme rovnicu prefaktorom \ (a = -3 \)
Teraz má rovnica požadovaný tvar a platí \ (p = 2 \) a \ (q = 1 \). Ak teraz vložíme do vzorca p-q, dostaneme:
Koreň funkcie \ (f \) je preto na pozíciách \ (x_1 = x_2 = -1 \). Výsledok potvrdzuje vzorka:
Pretože funkcia má iba jeden koreň, vrchol musí byť tiež v bode \ (x = -1 \).
Ak chceme vypočítať nuly kvadratickej funkcie \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), najskôr nastavíme funkčnú rovnicu na nulu, \ (f (x) = 0 \).
Preto musí platiť toto: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)
Vzorec p-q je: \ (x _ = - \ doľava (> \ doprava) \ pm \ sqrt> \ doprava) ^ 2-q> \) a rieši kvadratické rovnice tvaru \ (x ^ 2 + px + q \).
Aby bolo možné použiť vzorec pq, musí mať kvadratická rovnica tvar \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), t. J. Prefaktor \ (a = 1 \) pred \ (x ^ 2 \) mať, čo je prípad tohto prípadu. Preto: \ (p = 4 \) a \ (q = 3 \)
Ak teraz vložíme do vzorca p-q, dostaneme:
Nula funkcie \ (f \) je preto na pozíciách \ (x_1 = -1 \) a \ (x_2 = -3 \). Výsledok potvrdzuje vzorka:
Ak chceme vypočítať nuly kvadratickej funkcie \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), najskôr nastavíme funkčnú rovnicu na nulu, \ (f (x) = 0 \).
Musí preto platiť toto: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)
Vzorec p-q je: \ (x _ = - \ doľava (> \ doprava) \ pm \ sqrt> \ doprava) ^ 2-q> \) a rieši kvadratické rovnice tvaru \ (x ^ 2 + px + q \).
Aby bolo možné použiť vzorec pq, musí mať kvadratická rovnica tvar \ (f (x) = x ^ 2 + px + q \), t. J. Prefaktor \ (a = 1 \) pred \ (x ^ 2 \) mať. Aby sme to dosiahli, najskôr rozdelíme rovnicu prefaktorom \ (a = 2 \)
Teraz má rovnica požadovaný tvar a platí \ (p = 2 \) a \ (q = 1 \). Ak teraz vložíme do vzorca p-q, dostaneme:
Pre \ (x_ \) neexistuje skutočné riešenie, pretože koreň záporného čísla nemožno extrahovať v skutočnom. To znamená, že funkcia nemá nulu.
Vysvetľujúce videá
A ďalšia matematická pieseň, ktorá nikdy nezabudne na chytľavú frázu:
Výpočet nuly (-ov) kvadratickej funkcie pomocou vzorca abc:
Ak sa má vyriešiť kvadratická rovnica tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) pre \ (x \), môže sa použiť vzorec abc. To je možné získať riešením vyššie uvedenej rovnice pre \ (x \). K tomu využijete štvorcový nadstavec.
1. krok: Najskôr sa faktor \ (a \) pred \ (x ^ 2 \) eliminuje vydelením rovnice \ (a \).
2. krok: Rovnica je doplnená štvorcom, takže dvojčlen tvaru \ (\ left (x + \ frac\ right) ^ 2 = x ^ 2 +> \ cdot + \ left (\ frac\ right) ^ 2 \) sa vygeneruje.
3. krok: Binomiál sa generuje pomocou binomických vzorcov.
4. krok: Rovnica je vyriešená pre \ (x \).
Vysvetľujúce texty
Za nasledujúcimi rozbaľovacími textami nájdete tri rôzne príklady výpočtu núl kvadratických funkcií:
Ak chcete vypočítať nuly kvadratickej funkcie \ (f (x) = - 3x ^ 2-6x-3 \), najskôr nastavte funkčnú rovnicu na nulu, \ (f (x) = 0 \).
Preto musí platiť toto: \ (- 3x ^ 2-6x-3 = 0 \)
Vzorec abc je: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) a rieši kvadratické rovnice tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c \).
V takom prípade platí \ (a = -3 \), \ (b = -6 \) a \ (c = -3 \). Vložené do vzorca abc potom vedie k:
Výsledok potvrdzuje vzorka:
Pretože funkcia má iba jeden koreň, vrchol musí byť tiež v bode \ (x = -1 \).
Ak chceme vypočítať nuly kvadratickej funkcie \ (f (x) = x ^ 2 + 4x + 3 \), najskôr nastavíme funkčnú rovnicu na nulu, \ (f (x) = 0 \).
Preto musí platiť toto: \ (x ^ 2 + 4x + 3 = 0 \)
Vzorec abc je: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) a rieši kvadratické rovnice tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c \).
V takom prípade platí \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) a \ (c = 3 \). Vložené do vzorca abc potom vedie k:
To má za následok \ (x_1 = \ frac = -1 \) a \ (x_2 = \ frac = -3 \) pre nuly. Výsledok potvrdzuje vzorka:
Ak chceme vypočítať nuly kvadratickej funkcie \ (f (x) = 2x ^ 2-8x + 14 \), najskôr nastavíme funkčnú rovnicu na nulu, \ (f (x) = 0 \).
Musí preto platiť toto: \ (2x ^ 2-8x + 14 = 0 \)
Vzorec abc je: \ (x _ = \ frac \ pm >> \) a rieši kvadratické rovnice tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c \).
V takom prípade platí \ (a = 2 \), \ (b = -8 \) a \ (c = 14 \). Vložené do vzorca abc potom vedie k:
Pretože záporný koreň nemá v skutočnosti žiadne riešenie, funkcia \ (f \) nemá žiadny koreň.
Vysvetľujúce videá
A ďalšia matematická pieseň, ktorá nikdy nezabudne na chytľavú frázu:
Najdôležitejšie veci na prvý pohľad
Prvé cvičenie
Teraz môžete byť sami aktívni. Vyriešte aspoň dve z nasledujúcich úloh. Ak to ešte nemôžete urobiť, je to v poriadku. Pozorne sa pozrite na roztok vzorky. V sekcii „Cvičenie robí perfektné“ máte ešte viac príležitostí precvičiť si celú vec.
Úloha 1
Vypočítajte koreň (koreň) funkcií
a) \ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 \)
b) \ (f_2 (x) = \ fracx ^ 2-x + \ frac \)
c) \ (f_3 (x) = 6x ^ 2-12x \)
d) \ (f_4 (x) = x ^ 2-4x-5 \)
cvičenie 2
Vyriešte nasledujúce rovnice.
a) \ (7x ^ 2 + 3x = -5 \)
b) \ (2x ^ 2 = 4-8x \)
c) \ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \)
Úloha 3
a) Načrtnite kvadratickú funkciu s nulou, jednou alebo dvoma nulami. Čo ich necháva vyniknúť?
b) Bez výpočtu sa rozhodnite, či majú nasledujúce funkcie jednu, dve alebo žiadne nuly.
Riešenie 1
a) Nuly sú na \ (x _ = \ pm2 \). Aby sme určili nuly, najskôr sme nastavili funkciu na nulu:
\ (f_1 (x) = 2x ^ 2-8 = 0 \)
Nuly možno teraz určiť pomocou jednoduchých transformácií ekvivalencie, pomocou vzorca p-q alebo abc.
Jednoduché ekvivalentné transformácie:
\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2 = 8 \) | \ (+ 8 \)
\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2 = 4 \) | \ (: 2 \)
Výsledkom sú \ (x_1 = 2 \) a \ (x_2 = -2 \)
vzorec p-q:
Výsledkom sú \ (x_1 = 2 \) a \ (x_2 = -2 \)
vzorec abc:
Výsledkom sú \ (x_1 = 2 \) a \ (x_2 = -2 \)
b) Funkcia nemá nulu. Aby sme to určili, najskôr nastavíme funkciu na nulu:
Rovnicu je možné vyriešiť pomocou vzorca p-q alebo abc.
vzorec p-q:
Pretože koreň záporného čísla nemá reálne riešenie, nemá rovnica riešenie a funkcia preto nemá nulu.
vzorec abc:
Pretože koreň záporného čísla nemá v skutočnom svete riešenie, rovnica nemá riešenie a funkcia preto nemá nulu.
c) Nula je \ (x_1 = 0 \) a \ (x_2 = 2 \). Aby sme určili nuly, najskôr sme nastavili funkciu na nulu:
Nuly možno teraz určiť pomocou jednoduchých transformácií ekvivalencie, pomocou vzorca p-q alebo abc.
Jednoduché ekvivalentné transformácie:
\ (\ leftrightarrow \) \ (x ^ 2-2x = 0 \) | Okrem \ (x \)
Produkt je nulový práve vtedy, ak je jeden z dvoch faktorov nulový. Produkt \ (\ cdot \) je potom nulový práve vtedy, ak \ (x_1 = 0 \) alebo \ ((x_2-2) = 0 \) \ (\ leftrightarrow \) \ (x_2 = 2 \)
vzorec p-q:
To znamená, že \ (x_1 = 1-1 = 0 \) a \ (x_2 = 1 + 1 = 2 \)
vzorec abc:
d) Aby sme určili nulu (nuly), najskôr nastavíme funkciu na nulu:
vzorec p-q:
To znamená, že \ (x_1 = 2 + 3 = 5 \) a \ (x_2 = 2-3 = -1 \)
vzorec abc:
Riešenie 2
a) Rovnica sa najskôr vloží do tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) a \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), aby sa potom dalo vyriešiť vzorcom abc alebo p-q.
\ (7x ^ 2 + 3x = -5 \) | \ (+ 5 \)
Riešenie pomocou vzorca p-q:
Kvadratická rovnica nemá skutočné riešenie.
Riešenie pomocou vzorca abc:
Kvadratická rovnica nemá skutočné riešenie.
b) Rovnica sa najskôr vloží do tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) a \ (x ^ 2 + px + q = 0 \), aby sa potom dalo vyriešiť vzorcom abc alebo p-q.
\ (2x ^ 2 = 4-8x \) | \ (- 3 \)
\ (\ leftrightarrow \) \ (2x ^ 2-4 = -8x \) | \ (+ 8x \)
Riešenie pomocou vzorca p-q:
Riešenie pomocou vzorca abc:
c) Rovnica sa najskôr vloží do tvaru \ (ax ^ 2 + bx + c = 0 \) a \ (x ^ 2 + px + q = 0 \) a potom sa vyrieši vzorcom abc alebo p-q.
\ (4 (x ^ 2-1) = 4x + 4 \) | \ (- 3x \)
\ (\ leftrightarrow \) \ (4x ^ 2-4-4x = 4 \) | \ (- 4 \)
Riešenie pomocou vzorca p-q:
Riešenie pomocou vzorca abc:
Riešenie 3
a)
Funkcie sa líšia polohou svojho vrcholu. Rozlišujeme dva prípady: parabola otvorená hore a parabola otvorená dole.
Lži žiadna nula pred, vpredu,…
takže vrchol je nad osou x, keď sa paraboly otvárajú smerom hore.
takže vrchol je pod osou x, keď sa paraboly otvárajú nadol.
Lži nula predtým na ňom vrchol leží na osi x s hore aj dole otvorenými parabolami. Nula teda zodpovedá vrcholu.
Klamstvo dve nuly pred, vpredu,…
takže vrchol je pod osou x, keď sa paraboly otvárajú smerom hore.
takže vrchol je nad osou x, keď sa paraboly otvárajú smerom nadol.
b) Graf funkcie \ (f_1 \) je parabola, ktorá sa otvára nahor. Vrchol je možné čítať priamo z funkčnej rovnice pomocou \ (S_ (3 | 2) \). Vrchol teda leží nad osou x a funkcia \ (f_1 \) nemá nulu.
Graf funkcie \ (f_2 \) je parabola, ktorá sa otvára smerom nadol. Vrchol je možné čítať priamo z funkčnej rovnice pomocou \ (S_ (1 | 2) \). Vrchol teda leží nad osou x a funkcia \ (f_2 \) má presne dve nuly.
Graf funkcie \ (f_3 \) je parabola, ktorá sa otvára nadol. Vrchol je možné odčítať priamo z funkčnej rovnice pomocou \ (S _- \ frac | 0 \). Vrchol teda leží na osi x a funkcia \ (f_3 \) má presne jednu nulu, ktorá zodpovedá vrcholu.