Napríklad na ...
Interakcie sú kontrasty, ktoré vychádzajú z produktu iných kontrastov. Kontrasty nám pomáhajú pochopiť, či účinky, ktoré nájdeme prostredníctvom iných kontrastov, závisia od charakteristík iných faktorov. Poďme si predstaviť niekoľko príkladov:
- Je možné, že účinnosť stratégie učenia závisí od predchádzajúcich vedomostí učiaceho sa. Študenti, ktorí majú vysokú úroveň predchádzajúcich vedomostí, majú prospech z učebnej stratégie, študenti bez predchádzajúcich znalostí z nich nemajú prospech.
- Účinnosť rôznych druhov hnojív v prírode interaguje v závislosti od toho, či sa hnojivo pridáva v zime alebo na jar. Pretože rastliny v zime takmer nerastú, hnojivo nefunguje v zime, ale funguje to až v lete.
- Mohlo by sa tiež stať, že účinnosť rôznych diét závisí od pohlavia človeka. Zatiaľ čo Diéta 3 je u mužov účinnejšia ako Diéta 2 a Diéta 1, u žien sa tento účinok nenachádza.
Interakcie nám preto umožňujú klásť konkrétnejšie otázky týkajúce sa súboru údajov a stanoviť okrajové podmienky pre účinky. V tejto časti sa pokúsime presnejšie pochopiť interakcie pomocou lineárneho modelu.
10.3.1 Hlavné účinky a konkrétne kontrasty
Najprv začnime s jednoduchšou interpretáciou hlavných efektov. Postup kontroly hlavných efektov sa nelíši od postupu v predchádzajúcich moduloch. Vytvoríme dva modely (rozšírený a kompaktný) a pomocou F-testu skontrolujeme, či ďalšie parametre znižujú chyby nadpriemerne. Pretože koeficienty týchto parametrov umožňujú konkrétnu interpretáciu, môžeme ich použiť na zodpovedanie štatistických otázok. Napríklad pomocou t-testu pre nezávislé vzorky sme mohli testovať priemerné rozdiely, pretože koeficient \ (b_1 \) predstavuje priemerné rozdiely. Na druhej strane skontrolujeme hlavné efekty odstránením všetkých kontrastov z rozšíreného modelu a testovaním rozdielov v charakteristikách faktora:
| \ (\ lambda_ \) | Diéta 1/2 vs. Diéta 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ lambda_ \) | Diéta 1 vs. Diéta 2 | 1 | -1 | 0 | 1 | -1 | 0 |
| \ (\ lambda_ \) | Muži vs. | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakcia \ (\ lambda_ \) a \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakcia \ (\ lambda_ \) a \ (\ lambda_ \) | 1 | -1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
Táto nasledujúca dvojica modelov napríklad testuje, či sa diéty líšia v účinnosti. Pretože dva kontrasty popisujú účinnosť diét, odstránime ich z kompaktného modelu, aby sme skontrolovali hlavný efekt diéty:
Špecifické kontrasty nám umožňujú testovať špecifické hypotézy. Napríklad otázka, či je Diéta 3 lepšia ako Diéta 1 a 2?
\ [\ begin \ hat & = b_0 + b_1 * X_1 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \\ \ hat & = b_0 & + b_2 * X_2 + b_3 * X_3 + b_4 * X_4 + b_5 * X_5 \ end \]
10.3.2 Beta koeficienty v interakciách
Je oveľa ťažšie pochopiť, čo parametre znamenajú v interakciách. Pozrime sa na kontrast \ (\ lambda_ \):
| \ (\ lambda_ \) | Diéta 1/2 vs. Diéta 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| \ (\ lambda_ \) | Muži vs. | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakcia \ (\ lambda_ \) a \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
| \ (\ lambda_ \) | Interakcia \ (\ lambda_ \) a \ (\ lambda_ \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * 1 \) | \ (1 * (-2) \) | \ (1 * (-1) \) | \ (1 * (-1) \) | \ ((- 2) * (-1) \) |
Formálne vieme, že kontrastné váhy sú znásobením iných kontrastov. Ďalej sa pokúsime vypočítať koeficient beta pre kontrast:
Najprv musíme nájsť skupinové prostriedky:
| 1 | 0 | -3,050000 |
| 1 | 1 | -3,650000 |
| 2 | 0 | -2,607143 |
| 2 | 1 | -4,109091 |
| 3 | 0 | -5,88 000 |
| 3 | 1 | -4,233333 |
Pomocou týchto stredných hodnôt môžeme teraz vypočítať koeficient beta:
Koeficienty beta celého modelu sú:
Teraz sme previedli kontrastné váhy pre náš rozšírený model do dátového rámca. Potom môžeme tieto kontrasty preniesť do funkcie lm na výpočet parametrov:
Výsledkom je nasledujúci model:
\ [Y_i = -3,92 + 0,567 * X_1 + 0,004 * X_2 -0,076 * X_3 -0,449 * X_4 + 0,225 * X_5 \]
10.3.3 Význam koeficientu beta kontrastu \ (\ lambda_ \)
Aby sme pochopili, čo znamená koeficient interakcie beta, pomôže vám to najskôr prejsť jednoduchším príkladom kontrastu \ (\ lambda_ \):
| \ (\ lambda_ \) | Diéta 1/2 vs. Diéta 3 | 1 | 1 | -2 | 1 | 1 | -2 |
Koeficient \ (0,567 \) predstavuje rozdiel priemernej hodnoty medzi skupinami Diet1 a Diet2 a skupinou 3. Pomocou tohto kontrastu kontrolujeme, či diéta 3 vedie k väčšej redukcii hmotnosti ako ostatné dve diéty. Na podporu tohto tvrdenia preformulujeme výpočet koeficientu beta:
Pre našu hypotézu Diet3 vs. Diet1/2 je koeficient:
Ak urobíme malú algebru, môžeme previesť koeficient na nasledujúcu formu:
Potom každú stranu vydelíme 2:
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) nie je nič iné ako priemerná hodnota ľudí, ktorí dostali diétu 1.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) je priemer ľudí, ktorí dostali diétu 2.
- \ (\ frac_ + \ bar _> \) je priemer ľudí, ktorí dostali diétu 3. Môžeme teda preformulovať rovnicu tak, že dáme tieto výpočty, keď skupina znamená:
Koeficient preto nekontroluje nič iné ako otázku, či sa stredná hodnota skupiny 3 rovná strednej hodnote ďalších dvoch skupín stravovania:
Aby sme prešli beta koeficientom interakcie, urobíme teraz podobnú vec.
10.3.4 Význam beta koeficientu kontrastu \ (\ lambda_ \)
Rovnaký princíp použijeme aj pri prvej interakcii \ (\ lambda_ \). Interakcia testuje, či účinok diéty 3 vs. diéty 1/2 závisí od toho, či sa diéty podávajú mužom alebo ženám.
| \ (\ lambda_ \) | Interakcia \ (\ lambda_ \) a \ (\ lambda_ \) | 1 | 1 | -2 | -1 | -1 | 2 |
Parameter \ (b_4 \) sa počíta takto:
Vydelením čitateľa a menovateľa každým 2 dostaneme:
Teraz vidíte, že v zátvorkách je rovnaká otázka, ktorú sme si položili s \ (\ lambda_ \). Je diéta 3 účinnejšia ako diéta 1 a diéta 2?
Tentokrát nás však zaujíma, či sú rozdiely v týchto diétach rovnaké pre mužov aj ženy?
A koeficient \ (b_4 \) predstavuje presne túto otázku. V nulovej hypotéze predpokladáme, že medzi týmto rozdielom nie je žiadny rozdiel:
Akonáhle je F-test významný, predpokladáme, že účinok diéty 3 oproti diéte 1/2 je u mužov a žien odlišný. V takom prípade vypočítame jednoduché efekty, aby sme zistili, aký je rozdiel.
10.3.5 Vizualizácia
Pre lepšie pochopenie interakcií je často vhodné pozrieť sa na vizualizáciu stredných hodnôt. Vizualizácia by mala vyzerať tak, že strava je znázornená na osi X a redukcia hmotnosti je znázornená na osi Y. Jednotlivé riadky označujú pohlavie. Najprv musíme vypočítať mieru rozdielu redukcie hmotnosti a previesť faktory na faktory v R:
Ďalej vypočítame priemerné hodnoty pre každú skupinu:
A vizualizujte si stredné hodnoty skupiny:
V skutočnosti sa zdá, že účinok diéty 3 je oveľa lepší pre ženy ako pre mužov. Na vyskúšanie tejto intuície vypočítame jednoduché efekty po významnej interakcii.
10.3.6 Jednoduché efekty a post-hoc analýza
Interakcie nám jednoducho hovoria, že v jednom efekte je rozdiel v závislosti od závažnosti iného faktora. Nepovedia nám, aký je to rozdiel. Za týmto účelom vypočítame buď jednoduché efekty, alebo post-hoc testy.
Jednoduché efekty nie sú ničím iným ako analýzou rozptylu, ktorú vypočítame pre niekoľko hodnôt faktora. Napríklad by sme mohli otestovať kontrast Diéta 3 vs. Diéta 1/2 v jednosmernej analýze odchýlky u mužov a žien.
V post-hoc testoch zvyčajne porovnávame všetky možné skupinové páry navzájom a kontrolujeme ich významnosť. Alebo inak: Vypočítame t-test pre každý pár skupín a opravíme hladinu alfa, aby sme sa vyhli inflácii chyby typu I. K tomu sa ešte vrátime v podrobnom príklade.
Tiež sa uistite, že nemožno interpretovať hlavné účinky interakcií, pretože hlavné účinky závisia od charakteristík iného faktora. Preto je vždy vhodné hlásiť jednoduché účinky počas interakcií a neinterpretovať hlavný účinok.