O definícii kompaktných slabých kardinálov
Čítal som v teórii Jechovho súboru kapitolu o veľkých kardináloch. Po diskusii o merateľných kardináloch sa obracia na slabo kompaktných kardinálov, o ktorých sa v knihe hovorilo oveľa skôr. Vrátil som sa ku kapitole o slabých kardináloch a začal som ju predefinovať.
Nakoniec dospel k tomuto bodu:
Denumim [k] ^ n = \ $. Ak je $ \ lambda $ kardinál, zavoláme $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $, keď pre každý oddiel $ [\ kappa] ^ 2 $ v $ 2 $ máme $ H \ subseteq \ kappa $, čo je mohutnosti $ \ lambda $ a pre ktoré je $ [H] ^ 2 $ striktne na jednej strane.
A hovoríme, že $ \ kappa $ je slabo kompaktný, ak spĺňa vlastnosť $ \ kappa \ to (\ kappa) ^ 2 $.
Problém je v tom, že som sa vo všetkých týchto definíciách trochu stratil a ani si nie som istý zápisom $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $.
Moje otázky sú, ak áno, môže mi niekto pomôcť pochopiť určité definície a pre kompaktných slabých kardinálov existuje ekvivalentná definícia, ktorá mi môže pomôcť lepšie pochopiť ich vlastnosti.?
2 odpovede
Existuje mnoho spôsobov, ako uvažovať o týchto definíciách. Tu je metóda, ktorú môžeme pochopiť, napríklad čo znamená $ [\ kappa] ^ 2 $ a čo znamená mať homogénnu podmnožinu, ktorá mi pripadá intuitívna.
Predpokladajme, že máte úplne neusmernený graf s mnohými uzlami $ \ kappa $. To znamená, že máte $ \ kappa $ a každý z nich spojíte čiarou. Teraz predpokladajme, že máme dve farby, červenú a modrú, a že každá čiara medzi dvoma uzlami je zafarbená buď červenou alebo modrou farbou. Podmnožina týchto uzlov $ \ kappa $ sa nazýva homogénna, ak majú čiary medzi každým z jej uzlov rovnakú farbu (to isté, ako keby hovoril, že má kompletný podgraf, ktorého čiary sú jednej farby).
Teraz hovoríme, že $ \ kappa \ to (\ lambda) ^ 2 $ je pravda, ak bez ohľadu na to, ako tieto čiary vymaľujeme pomocou dvoch farieb, môžeme nájsť homogénnu množinu mohutnosti $ \ lambda $. To znamená, že pre každý spôsob, akým farbu riadkov nájdeme $ \ lambda $ mnoho uzlov, že každý riadok medzi nimi má rovnakú farbu.
Inými slovami, pre každú funkciu $ f: [\ kappa] ^ 2 \ až 2 $ (dá sa to považovať za funkciu, ktorá posiela každé dva prvky $ \ kappa $ jednej z dvoch farieb), môžeme nájsť ($ h $), ktoré má mohutnosť $ \ lambda $, takže pre každé $ x, y, z, w \ v H $ máme $ f (\) = f (\) $.
Zovšeobecniť túto funkciu, ak pre každú funkciu $ f: [\ kappa] ^ n \ to \ mu $ (opäť môžete vidieť túto funkciu ako funkciu, ktorá posiela každý $ n $ prvkov $ \ kappa $ jednému z $ \ mu $ alebo že rozdeľuje podmnožiny $ \ kappa $ kardinality $ n $ na $ \ mu $ oddiely), môžeme nájsť množinu $ H $ tak, aby $ \ left | H \ vpravo | = \ lambda $ a za každých $ x_1, \ ldots, x_n, y_1, \ ldots, y_n \ v H $ máme $ f (\) = f (\
Zápis šípky, aj keď sa spočiatku javí ako čudný, sa používa, pretože vlastnosť zostáva pravdivá, ak nahradíme kardinála v ľavej časti šípky väčším kardinálom alebo ak nahradíme ľubovoľného kardinála v pravej časti šípky menším kardinálom (ak je dolný index na ľavej strane šípky vynechaný, potom sa predpokladá, že je 2). Malo by byť zrejmé, že zápis má zmysel iba vtedy, ak $ \ lambda pridal 7. septembra 2010 o 2:48 autora Jonathana