Optimum domácnosti
Teraz máme dve dôležité informácie o (modelových) domácnostiach: na jednej strane vieme, čo si môžu dovoliť. Po druhé, vieme, čo chcú. Obidve môžeme zobraziť graficky: Čo si môžete dovoliť, ukážeme v priestore s tovarom s rozpočtovým obmedzením. To, čo chcú, im môžeme ukázať na rovnakom diagrame pomocou indiferenčných kriviek. Aby bolo možné zistiť, ako môžu najlepšie splniť svoje želania v rámci rozpočtového obmedzenia, je potrebné iba spojiť tieto dva aspekty.
Za týmto účelom využijeme číselný príklad, ktorý sme použili pri zostavovaní rozpočtovej položky. S príjmom E 1 000 EUR môže domácnosť nakupovať tovar X a Y, ktorý stojí 5 EUR a 4 EUR každá. Rozpočtové obmedzenie, ktoré sme určili, je tu znázornené na obrázku 1. Domácnosť mohla platiť za balík tovaru R svojimi príjmami; Môže si dovoliť S bez toho, aby úplne vyčerpal svoj príjem, a príjem 1000 EUR by nestačil na zakúpenie balíka tovaru Q.
Žltá oblasť zobrazuje rozpočtové obmedzenie domácnosti s príjmom 1 000 EUR, ktorá si môže kúpiť dobré X za 5 EUR a dobré Y za 4 EUR.
Chceme predpokladať, že domácnosť má preferencie týkajúce sa tovaru, ktoré je možné znázorniť pomocou úžitkovej funkcie U = XY. Toto je rovnaká užitočná funkcia, ktorú sme našli v príklade syrového roll-piva a pre ktorú sme už vytvorili indiferenčné krivky. Obrázok 2 zobrazuje tri vybrané indiferenčné krivky pre túto užitočnú funkciu. Hodnoty indexu kriviek na obrázku mierky sú 5 000, 12 500 a 20 000.
Vybrané indiferenčné krivky pre úžitkovú funkciu U = XY.
Napríklad sme mohli zmapovať preferencie domácnosti pomocou úžitkovej funkcie U = (XY) 0,5. Keby sme použili túto funkciu, dostali by sme identické mapovanie pre hodnoty indexu úžitku 70,71, 111,80 a 141,42.
Pri úžitkovej funkcii U = (XY) 0,5 platí prvý Gossenov zákon pre oba tovary, pretože druhé čiastkové derivácie sú záporné. Rovnaké preferencie predstavuje aj U = XY. Vzťahuje sa 1. Gossenov zákon aj na túto užitočnú funkciu?
Teraz spojíme dve myšlienky o tom, čo domácnosť chce a čo si môže dovoliť, jednoduchým umiestnením dvoch diagramov z obrázkov 1 a 2 na seba (pozri obrázok 3). Domácnosť by chcela dosiahnuť indiferenčnú krivku I3 (pretože ukazuje najväčší prínos z troch nakreslených ľahostajných kriviek), ale rozpočtové obmedzenie to neumožňuje. Najvyššia dosiahnuteľná krivka ľahostajnosti je zjavne tá, ktorá ovplyvňuje rozpočtový riadok. Predpoklad rovnováhy (konvexnosť indiferenčných kriviek; klesajúca hraničná miera substitúcie) zaisťuje, že existuje jasný tangenciálny bod.
Kombináciou rozpočtových obmedzení a ľahostajných kriviek získa človek informácie, ktoré si praje, aby ich mohla domácnosť splniť za dané ceny a príjmy.
Bod dotyky je vyznačený na obrázku 4. Domácnosť dosahuje najväčší možný úžitok, keď utráca svoje príjmy za balík tovarov P, t. J. Nákup 100 X a 125 Y - ako je možné zistiť z grafu „metódou pozorného pohľadu“. Tento balík tovaru alebo bod P sa nazýva optimum domácnosti alebo rovnováha domácnosti.
Domácnosť je v rovnováhe, keď spotrebuje balík P.
v Zostatok domácnosti (alebo optimálny) svahy rozpočtovej položky a krivka ľahostajnosti.
Budúce Vianoce určite prídu .
Pomocou konceptu rovnováhy domácnosti zvážte, prečo je dar peňazí zvyčajne (a za predpokladov, ktoré sa dosiahli) príjemnejší ako dar v naturáliách.
Inak by P nebola dotyčnica, ale priesečník. Stanovili sme (absolútny) sklon indiferenčnej krivky v predchádzajúcej časti ako pomer hraničnej užitočnosti X a Y (pozri tam obrázok 6 a rovnicu [5]). (Absolútny) sklon rozpočtovej položky zodpovedá cenovému pomeru tovaru X a Y (pozri obr. 4). Takže v rozpočtovej rovnováhe to pomer hraničnej užitočnosti týchto dvoch tovarov zodpovedá ich cenovému pomeru. Toto vyhlásenie sa vzťahuje aj na prípad n-tovaru, takže ho možno formulovať všeobecne:
V optimále pre domácnosť zodpovedá hraničný úžitkový pomer dvoch tovarov ich cenovému pomeru.
Pretože pomer hraničnej užitočnosti zodpovedá zápornej inverznej hraničnej miere substitúcie, platí tiež toto:
(Absolútna) hraničná miera substitúcie zodpovedá v rovnováhe domácností inverznému cenovému pomeru tovaru.
Toto sú výroky, ktoré znejú zvláštne a sú ťažko pochopiteľné. Z protikladu je však zrejmé, že to tak musí byť. Za týmto účelom uvažujeme prípad na obrázku 5, v ktorom domácnosť nie je v bode R v rovnováhe. Pomer hraničnej užitočnosti sa nezhoduje s pomerom cien tovaru. To predstavuje 5/4 = 1,25 a ukazuje sklon rozpočtovej položky so záporným znamienkom. Domácnosť si teda môže dovoliť o 1,25 jednotky viac Y pri konštantných výdavkoch, ak sa vzdá jednej jednotky X.
Počnúc písmenom R môže domácnosť zvýšiť svoju užitočnosť, pretože dokáže vymeniť dobré Y na trhu za menej X, ako by bola ochotná vzdať sa v prípade ľahostajnosti.
Teraz je v R položená dotyčnica, aby bolo možné rozpoznať, ako by si domácnosti v prípade ľahostajnosti vymieňali tovar navzájom. Modrá čiara a je takmer päťkrát dlhšia ako zelená čiara b. Takže v prípade ľahostajnosti by bola domácnosť ochotná vzdať sa 5 jednotiek X za 1 jednotku Y. Keby sa skutočne vzdal 5 jednotiek X, mohol by si na oplátku kúpiť 6,25 jednotiek Y. Za prevládajúce trhové ceny môže zameniť Y za X oveľa lacnejšie, ako by to bolo potrebné pre ľahostajnosť. Na ľahostajnosť by mu stačila jedna jednotka Y, v skutočnosti dostane 6,25 jednotky. Vo výsledku sa posunie o rozpočtový riadok vyššie, t.j. spotrebuje viac Y a menej X.
Každý, komu má jablko hodnotu dvoch hrušiek, si určite dá hrušku, ak za ňu môže vymeniť jablko. To je samozrejmosť. Je to však - tak jednoduché, ako to znie - kľúč k pochopeniu modelu.
Zatiaľ čo „blúdi“ z R v smere P, spotreba Y rastie a spotreba X klesá. Na základe zákona o klesajúcej marginálnej miere substitúcie to vedie k zníženiu zhodnocovania Y a zhodnocovaniu X k zvýšeniu. Kým domácnosť nedosiahne bod P, v zásade sa uplatňujú rovnaké úvahy ako v bode R: domácnosť si môže na trhu vymieňať tovar v lepšom pomere, ako je potrebné na udržanie konštantného jeho používania. V samotnom bode P môže vymieňať tovar na trhu presne v takom pomere, ktorý udržiava jeho konštantné použitie.
Ďalším spôsobom, ako objasniť, prečo R na obr. 5 nemôže byť optimom domácnosti, je nasledujúci: Ak sa posuniete po indiferenčnej krivke z R v smere S, výhoda zostane konštantný. Zároveň však idete pod hranicu rozpočtu. Domácnosť už nemíňa celý svoj príjem ako v R. Je zrejmé, že to znamená, že „môže kúpiť rovnaké výhody za menej peňazí“. Ale potom to nemuselo byť v R v optimálnej situácii. Domácnosť na druhej strane nemôže „kúpiť“ výhody dosiahnuté v P s čiastkou nižšou, ako je jej celkový príjem. Z toho vyplýva, že od spoločnosti P. nie je možné žiadne zlepšenie. P je teda optimálne. (Táto argumentácia úzko súvisí s úvahou známou pod kľúčovým slovom „duálny problém“: Pre danú úroveň úžitku I2 je príjem za dané ceny minimalizovaný. Cieľom je hľadať čo najnižšie výdavky domácnosti na dosiahnutie tejto úrovne úžitku. Týmto spôsobom sa P javí ako rovnováha domácnosti - a raz to nie je klamné.)
Skontrolujte, či s úžitkovou funkciou U = (XY) 0,5 a potrebnou podmienkou pre rovnováhu domácnosti získate z rovnice [1] rovnaký výsledok ako v číselnom príklade v susednom texte s úžitkovou funkciou U = XY.
Predtým, ako sa pán K. rozhodol schudnúť, bola jeho úžitková funkcia U = 3S 0,5 A 0,5, kde S znamená čokoládu a A jablká. Cena za jeden kg čokolády je pS = 4, cena za jeden kg jabĺk pA je 2 EUR. Pán K. minie každý mesiac 200 EUR na jablká a čokoládu. Podľa jeho rozhodnutia bola úžitková funkcia pána K. U = 4S 0,25 A.
O koľko kg menej čokolády zje pán K.?
Diskutovať (s náčrtmi):
a) Ak domácnosť optimálne spotrebuje 21 jednotiek dobrého x a 42 jednotiek dobrého y, potom dobré x je presne dvakrát drahšie ako dobré y.
b) Ak sa príjem domácnosti strojnásobí, spotreba sa zvýši z x na 63 a tá z r na 126 jednotiek
Ktokoľvek, kto vie, ako maximalizovať U (x, y) pod obmedzením EВ = В pxxВ + pyy, mohol tiež vypočítať nevyhnutnú podmienku pre rovnováhu domácnosti:
Za číselný príklad s úžitkovou funkciou U = XY dostaneme jeden
a pomocou rovnice rozpočtovej položky 1000 = 5x + 4y optimálne množstvá y * = 125 a x * = 100.
Hlavný výsledok tejto časti je v dvoch verziách:
Graficky: Rozpočet je v rovnováhe, kde sa rozpočtová položka dotýka (najvyššej) indiferenčnej krivky.
Analytické: Domácnosť je v rovnováhe, ak pomer hraničnej užitočnosti zodpovedá pomeru cien tovaru (pozri rovnicu [1]).
Tento výsledok sa tiež nazýva Gossenov druhý zákon (synonymum: Equimarginalprinzip, pravidlo hraničného vyrovnania úžitku, zákon vyrovnania váženého hraničného úžitku, Gossenov zákon okrajového úžitku) známy.
Nutná podmienka pre funkciu maximálne dvoch funkcií U (x, y)
V krajnom bode A nevedú infinitezimálne zmeny v hodnotách x a y k zmenám vo funkčnej hodnote.
je možné graficky vidieť v bode A na obrázku 1, že okrajové pohyby rovnobežné s osami udržiavajú konštantnú hodnotu funkcie (to by platilo aj v prípade najnižšieho bodu citróna, takže podmienka nie je dostatočná, ale iba nevyhnutná, pretože platí aj pre minimum).
Na druhej strane v bode B sa uznáva, že zvýšenie hodnoty y by zvýšilo hodnotu funkcie. Je zrejmé, že v B ešte nie je najvyšší bod citróna.
V dôsledku rozpočtového obmedzenia, ktoré je na obrázku znázornené priamkou ako e, nie sú možné žiadne nezávislé pohyby dx a dy. Zmena x súvisí s príslušnou zmenou y prostredníctvom pomeru cien tovaru (sklon rozpočtovej položky):
Z grafického hľadiska je to synonymum pre rezanie citróna vertikálne naprieč e a hľadanie najvyššieho bodu reznej hrany.
Rovnica [2a] vložená do [1] výťažkov
alebo slovami: Pomer hraničnej užitočnosti musí byť v rozpočtovej rovnováhe zhodný s pomerom cien príslušných tovarov (pozri tiež. Lagrangeova metóda pre elegantnejšiu metódu).
Alternatívna interpretácia je možná na základe grafického znázornenia indiferenčnej krivky a rozpočtovej položky (bod P na obr. 4): Na indiferenčnej krivke je zmena úžitkovej hodnoty dU podľa definície nulová. Jeho sklon možno teda uviesť ako [1]
Najvyššia krivka ľahostajnosti sa dosiahne tam, kde sa rozpočtový riadok dotkne krivky ľahostajnosti. Indiferenčná krivka a rozpočtová položka sa môžu tangensy vyskytnúť, iba ak majú rovnaký sklon dy/dx (inak by sa pretínali). Sklon rozpočtovej položky z [2a] musí preto súhlasiť so sklonom krivky indiferencie z [4]:
The Druhý Gossenov zákon od Hermanna Heinricha Gossena (1810-1858) možno nájsť - samozrejme ako prvé - v jeho hlavnej práci „Vývoj zákonov ľudského styku a z neho vyplývajúcich pravidiel ľudského konania“:
Gossenov druhý zákon
„Osoba, ktorá si môže slobodne zvoliť medzi niekoľkými potešeniami, ale ktorej čas nestačí na úplnú prípravu všetkých, musí byť, akokoľvek rozdielna, absolútna veľkosť týchto potešení, aby sa suma jeho pôžitku zvýšila na maximum prinesie ešte skôr, ako sa úplne pripraví na najväčšiu, všetky čiastočne pripravené a v takom pomere, že množstvo potešenia v okamihu, keď je jej príprava prerušená, pre všetkých stále zostáva rovnaký. “
Dnes je známy pod rôznymi názvami: Equimarginalprinzip, pravidlo hraničného vyrovnania úžitku, zákon vyrovnania váženého hraničného úžitku, Gossenov zákon hraničného vyrovnania úžitku.
Aj keď to znie trochu zastaralo, presne popisuje situáciu, v ktorej sa rozpočtový riadok dotýka krivky najvyššej ľahostajnosti. Gossen bol však stále presvedčený o kardinálnej merateľnosti užitočnosti, aby si myslel, že by mohol naznačovať zvýšenie užitočnosti, ktoré by vyústilo, ak by sa na určité dobro malo minúť jedno euro. Analogickým spôsobom, ale o niečo modernejším spôsobom, ako je uvedené vyššie, by sa dal Gossenov druhý zákon formulovať takto: „Posledné euro vynaložené na dobrý x musí generovať rovnaké zvýšenie užitočnosti ako posledné euro vynaložené na dobrý y.“ ak to tak nie je, potom by sa dávka mohla zvýšiť, ak by človek minul o euro menej na x a o euro viac na y (alebo naopak). Prvý Gossenov zákon potom zaručuje, že pokiaľ sa uplatňuje na obidva výrobky, existuje optimum. Celkom formálne a pre akýkoľvek počet tovarov možno Gossenov druhý zákon formulovať aj takto: „Hraničná užitočnosť každého tovaru vydelená cenou tohto tovaru musí byť rovnaká pre všetky tovary.“
Gossen bol presvedčený, že ľudia sa musia iba držať tohto pravidla, aby dosiahli najväčšie šťastie. Chcel, aby sa jeho pravidlá chápali ako návody na konanie, ktorým sa pripisovala kvalita prírodných zákonov. Pravdepodobne aj preto, že ako jeden z prvých využíval matematiku na odvodenie svojich výsledkov. Bez nich by podľa Gossena nebola možná ekonomika. A ak ste to dokázali vypočítať a „dokázať“, muselo to byť nepochybne správne, správne!?
| Hodiny | „VWL“ | „BWL“ | štatistika |
| 0 | 20 | 40 | 80 |
| 1 | 45 | 52 | 90 |
| 2 | 65 | 62 | 95 |
| 3 | 75 | 71 | 97 |
| 4 | 83 | 78 | 98 |
| 5 | 90 | 83 | 99 |
| 6. | 92 | 86 | 99 |
Martin Bergmann už vyštudoval právo; momentálne sa pripravuje na prechodný diplom. Popri štúdiu pracuje B. na čiastočný úväzok v právnickej kancelárii, takže na prípravu na skúšku má iba 6 hodín denne. Samozrejme, už sa nepripravuje na spravodlivosť. Zaujíma sa o čo najlepší stredne pokročilý diplom, ktorého celková známka sa počíta ako jednoduchý priemer jednotlivých ročníkov. Má podozrenie, že pri alternatívnom zaťažení 100 možných bodov za skúšku môže dosiahnuť tieto výsledky:
„
Ako si B. rozdelí svojich šesť hodín času na prípravu každý deň? Ako ste sa dostali k výsledku?
Nájsť podobné stránky na WWW: