Pozičné vzťahy dvoch kruhov v pomocných učebných pomôckach pre študentov slovníka matematiky
Dva kruhy nemôžu mať žiadny spoločný bod, dotýkať sa presne jedného bodu alebo sa pretínať presne v dvoch bodoch.
Možné rezy sa získajú analyticky preskúmaním zodpovedajúcich kruhových rovníc pre bežné riešenia.
Pomocou tzv Štvorlístok, v ktorých sa vyskytujú všetky možné pozičné vzťahy, je potrebné prediskutovať možné pozičné vzťahy medzi dvoma kruhmi.
Kruhy k 1 a k 4 nemajú žiadny spoločný bod. Okrem toho majú navzájom špeciálne postavenie - majú rovnaký stred. Dva kruhy v tejto polohe sa tiež nazývajú sústredné .
Kružnice k 2 a k 3 majú spoločný presne jeden bod. Tento spoločný bod sa tiež nazýva kontaktný bod kružníc k 2 a k 3. V tomto prípade je pôvod O kontaktným bodom.
Všeobecne platí, že bod dotyku B dvoch kružníc k a k 'leží vždy na Rovné čiary spájajúce tieto dva stredy M a M 'z dvoch kruhov, pretože ak by tam nebol, jeden by získal druhý bod B' ≠ B zrkadlením B v M M '¯, ktorý by tiež ležal na oboch kruhoch. To by bolo v rozpore s jedinečnosťou kontaktného bodu B.
Kružnice k 1 a k 2 sa pretínajú presne v dvoch bodoch (priesečníkoch n).
Pretože obvod trojuholníka je jasne definovaný, nemôžu mať dva rôzne kruhy spoločné viac ako dva body. Z toho vyplýva aj nasledujúce všeobecné vyhlásenie.
- Veta: Ak sa dva kruhy k a k 'pretínajú v dvoch bodoch A a B, priamka vedená cez A a B je kolmá na priamku spájajúcu dva stredy kruhov M 1 a M 2 .
Dôkaz:
Podľa vyššie uvedených úvah nemôže bod A ležať na priamke spájajúcej dva stredové body. Ak teraz odrážame bod A pri M 1 M 2 ¯, potom obrazový bod A 'zjavne leží na oboch kružniciach k a k', takže musí platiť A '= B.
Teraz chceme pozičný vzťah dvoch kruhov analyticky určiť. To isté platí pre kruhy aj pre rovné čiary a roviny:
Úseky geometrických objektov sa získavajú hľadaním bežných riešení rovníc, ktoré popisujú zodpovedajúce objekty.
Výpočty potrebné na to nie sú zvlášť náročné ani pre okres. Ak by sme však mali pracovať s neznámymi koeficientmi všeobecne, prehľad by sa stratil veľmi rýchlo. Preto by mal stačiť typický príklad, v ktorom sú diskutované všetky potrebné kroky.
- Príklad: Je potrebné skúmať, ako kružnica so stredom M 1 (0; 3) a polomerom r 1 = 1 L E a kružnica so stredom M 2 (3; 0) s polomerom r 2 = 7 L E ležia navzájom.
Súradnice (x S; y S) možných spoločných bodov musia vyhovovať rovniciam oboch kružníc, takže musí platiť:
(I) x S 2 + (y S - 3) 2 = 1 (I I) (x S - 3) 2 + y S 2 = 7
Teraz najskôr vyriešime zátvorky:
(I ') x S 2 + y S 2 - 6 y S + 9 = 1 (I I') x S 2 - 6 x S + 9 + y S 2 = 7
Ak odčítate druhú rovnicu od prvej, všetky štvorcové výrazy sa vynechajú:
6 x S - 6 y S = - 6 b z w. y S = x S + 1 (∗)
Dáme túto rovnicu do (I), vypočítame zátvorky a nakoniec dostaneme:
x S 2 - 2 x S + 3 2 = 0 (∗ ∗)
V tomto okamihu je však v tomto príklade rozhodnuté aj o všeobecnom pozičnom vzťahu oboch uvažovaných kruhov. Naše úvahy viedli k kvadratickej rovnici v x S, ktorá nemôže mať žiadne, presne jedno alebo dve rôzne riešenia.
Preto kruhy opísané rovnicami (I) a (II) nemajú žiadny spoločný bod, presne jeden alebo presne dva body. Sada riešení - vrátane pozičného vzťahu dvoch kružníc - závisí od diskriminátora D, pre ktorý v tomto prípade platí D = 1 - 3 2 0. Rovnica (∗ ∗) preto nemá skutočné riešenie a následne dva kruhy, ktoré sme zvažovali, nemajú žiadny spoločný bod.
Ak by vznikli riešenia, y-súradnice spoločných bodov by sa dali ľahko určiť pomocou rovnice (∗).
Pretože kvadratická rovnica nemôže mať viac ako dve riešenia, nemôžu mať dva rôzne kruhy spoločné viac ako dva body. To opäť potvrdzuje naše (obrazovo-geometrické) úvahy uvedené vyššie.
Poznámka: Ak sú kruhy opísané vektorovými rovnicami, postup môže byť analogický alebo sa z vektorovej rovnice vytvorí zodpovedajúca súradnicová rovnica.