Príklady produktových pravidiel
Príklady zahŕňajú iba racionálne a trigonometrické funkcie, pretože s pravidlom produktu sa zvyčajne pracuje skôr, ako sa zavedú ďalšie triedy funkcií. V každodennom školskom živote - najmä v základných kurzoch - sa pravidlo vyžaduje najčastejšie v súvislosti s exponenciálnou funkciou, ktorá sa zvyčajne zavádza bezprostredne po pravidlách odvodenia.
Aj keď každú sumu môžete odvodiť pre sumy, s produktom to nie je také ľahké:
Pravidlo produktu
$ f (x) = u (x) \ krát v (x) $ $ \ Rightarrow $ $ f '(x) = u' (x) \ krát v (x) + u (x) \ krát v '(x ) $
Kedy potrebujete produktové pravidlo?
Zjednodušene povedané: vždy ho potrebujete, ak máte funkciu formulára „Termín s $ x $ krát Termín s $ x $“ (ak sa premenná volá $ x $). Nezáleží na tom, ktorý faktor sa volá $ u (x) $ alebo $ v (x) $. Ak pravidlo produktu nie je výslovne vyžadované, je možné jeho pretvorenie často uľahčiť, najmä pri racionálnych funkciách.
Príklady
- $ f (x) = (5x ^ 2-3) \ cdot (8x ^ 3 + 2x) $
Na začiatok napíšeme faktory a odvodíme ich osobitne:
$ \ beginu (x) & = 5x ^ 2-3 & u '(x) & = 10x \\ v (x) & = 8x ^ 3 + 2x & v' (x) & = 24x ^ 2 + 2 \ end $
Do pravidla produktu sa vkladá toto:
$ f '(x) = 10x \ cdot (8x ^ 3 + 2x) + (5x ^ 2-3) \ cdot (24x ^ 2 + 2) $
Ak si úloha následne vyžaduje zjednodušenie termínu, je potrebné zlomiť zátvorky:
$ \ beginf '(x) & = 80x ^ 4 + 20x ^ 2 + 120x ^ 4 + 10x ^ 2-72x ^ 2-6 \\ & = 200x ^ 4-42x ^ 2-6 \ end $
Pri tejto úlohe je legitímne sa pýtať, či má uplatnenie pravidla produktu zmysel. V skutočnosti by bolo jednoduchšie najskôr zlomiť zátvorku a potom odvodiť. Ak je vaša voľba na vás, urobte to. Ak sa od vás vyžaduje, aby ste použili pravidlo produktu, mali by ste sa ním riadiť. - $ f (x) = x ^ 5 \ cdot \ frac $
Toto je jeden z (nezmyselných) príkladov, ktoré sa, bohužiaľ, v školských knihách stále dajú nájsť v hojnom počte, aj keď pri predchádzajúcom zjednodušení by sa dalo podľa mocenských zákonov odvodiť oveľa ľahšie. Aby sme mohli odvodiť pravidlo produktu, najskôr napíšeme
$ f (x) = x ^ 5 \ cdot x ^ $
a potom odvodiť:
$ \ beginf '(x) & = 5x ^ 4 \ cdot x ^ + x ^ 5 \ cdot (-2x ^) \\ & = 5x ^ 2-2x ^ 2 \\ & = 3x ^ 2 \ end $
Ak najskôr zjednodušíte, nie je potrebné pravidlo produktu ani nasledujúce zhrnutie:
$ f (x) = x ^ 3 \; \ Rightarrow \; f '(x) = 3x ^ 2 $ - $ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) $
V takom prípade je nevyhnutné pravidlo produktu. Faktory sú také jednoduché, že si môžete okamžite zapísať výsledok:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) $
Nie je možné to tu zhrnúť. - $ f (x) = \ cos ^ 2 (x) $
Toto je skratka pre $ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 $. Túto funkciu je možné odvodiť podľa reťazcového pravidla, ale produktové pravidlo je možné aj napísaním štvorca ako produktu dvoch rovnakých faktorov:
$ f (x) = (\ cos (x)) ^ 2 = \ cos (x) \ cdot \ cos (x) $
Teraz sa znova použije pravidlo produktu:
$ \ beginf '(x) & = - \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + \ cos (x) \ cdot (- \ sin (x)) \\ & = - 2 \ sin (x) \ cos (x) \ end $ - $ f (x) = 3 \ cdot (x ^ 4-4x) $
Toto v skutočnosti neplatí pre pravidlo produktu, ale pre pravidlo faktora, pretože prvý faktor nezávisí od premennej $ x $. Ak stále uplatňujete pravidlo produktu, nezabudnite, že derivácia čísla je nula a v tomto prípade ju nemožno vynechať, pretože ide o faktor a nie súčet:
$ \ beginf '(x) & = \ podprsenka \ cdot (x ^ 4-4x)> _ + 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 3 \ cdot (4x ^ 3-4) \\ & = 12x ^ 3-12 \ end $ - $ f (x) = - 2 \ cdot x \ cdot \ cos (x) + \ frac 25x ^ 5 $
Nenechajte sa zmiasť: nejde o tri faktory, ale iba o dva, pretože prvým faktorom je číslo. Prvý súčet je odvodený podľa pravidla produktu ($ u (x) = - 2x $; $ v (x) = \ cos (x) $), druhý „normálny“, teda jednoducho podľa pravidla napájania:
$ \ beginf '(x) & = - 2 \ cdot \ cos (x) -2x \ cdot (- \ sin (x)) + 2x ^ 4 \\ & = - 2 \ cos (x) + 2x \ sin ( x) + 2x ^ 4 \ end $
Príležitostne sa pravidlo produktu rozšíri o tri faktory.
Pravidlo produktu pre tri faktory
$ f (x) = u (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) \; $ $ \ Rightarrow \; $ $ f '(x) = u' (x) \ cdot v (x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v '(x) \ cdot w (x) + u (x) \ cdot v (x) \ cdot w' (x) $
Takže každý z troch faktorov je odvodený a vynásobený ďalšími dvoma pôvodnými faktormi; tieto výrazy sa potom pridajú.
Odvodenie
Najprv dáme zátvorky, aby sme mali iba dva faktory, aj keď druhým faktorom je opäť produkt:
$ f (x) = u (x) \ cdot \ doľava [v (x) \ cdot w (x) \ doprava] $
Tento produkt môžeme odvodiť podľa pravidla pre dva faktory:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ doľava [v (x) \ cdot w (x) \ doprava] + u (x) \ cdot \ doľava [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$
Termín $ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '$ je tiež odvodený podľa pravidla produktu pre dva faktory:
$ \ left [v (x) \ cdot w (x) \ right] '= v' (x) \ cdot w (x) + v (x) \ cdot w '(x) $
Nasadiť:
$ f '(x) = u' (x) \ cdot \ doľava [v (x) \ cdot w (x) \ doprava] + u (x) \ cdot \ doľava [v '(x) \ cdot w (x) ) + v (x) \ cdot w '(x) \ vpravo] $
Teraz otvoríme zadnú zátvorku a vynecháme nadbytočnú zátvorku v prvom súčte a výsledok je tu:
$ f '(x) = u' (x) \ krát v (x) \ krát w (x) + u (x) \ krát v '(x) \ krát w (x) + u (x) \ krát v. (x) \ cdot w '(x) $
príklad
$ f (x) = x ^ 2 \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) $
Existujú tri faktory, ktoré nemožno vopred zjednodušiť ani zhrnúť [1]. Preto sa pravidlo uplatňuje na tri faktory:
$ f '(x) = 2x \ cdot \ sin (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ cos (x) + x ^ 2 \ cdot \ sin (x) ) \ cdot (- \ sin (x)) $
Výsledok možno napísať iba o niečo kratšie:
$ f '(x) = 2x \ sin (x) \ cos (x) + x ^ 2 \ cos ^ 2 (x) -x ^ 2 \ sin ^ 2 (x) $
V každodennom školskom živote je produktové pravidlo takmer vždy postačujúce pre dva faktory. Na „nácvik techniky“ sa viac používajú derivácie s tromi faktormi.
[1] Každý, kto pozná vety o sčítaní trigonometrických funkcií, pozná možnosť zjednodušenia. V škole sa to však rieši veľmi zriedka.