Tlmené harmonické kmity - fyzika

V predchádzajúcich častiach sme sa pozreli na netlmené harmonické kmity. Pri netlmenej oscilácii nevznikajú žiadne trecie sily (napr. Odpor vzduchu). Oscilácia môže preto pokračovať bez spomalenia v dôsledku trenia.

Tlmené vibrácie

Netlmené vibrácie sú možné iba vtedy, ak nevznikajú trecie sily. Skutočné vibrácie sú naopak spomalené pôsobením trenia a v určitom okamihu sa zastavia (pokiaľ nie je pravidelne dodávaná energia). Takéto vibrácie sa nazývajú tlmené vibrácie určený.

Všimnite si

Energia sa uvoľňuje do životného prostredia trením. Ponechanie takého systému na vlastných zariadeniach v konečnom dôsledku povedie k zastaveniu činnosti.

Pri pružinovom kyvadle sa väčšina vibračnej energie premení na tepelnú pri deformácii pružiny. Tu však môže hrať úlohu aj odpor vzduchu (v závislosti od veľkosti závažia visiaceho na kyvadle).

Pohybová rovnica

Tlmené kmity spôsobené trením je možné opísať pomocou takzvanej tlmiacej konštanty $ \ delta $. To naznačuje, ako silno sú vibrácie tlmené.

V prípade tlmeného kmitania už amplitúda $ A $ nie je časom konštantná, ale mení sa v dôsledku trenia. Ak existuje trecia sila závislá od rýchlosti $ v $ (napr. Odpor vzduchu), amplitúda $ A (t) $ exponenciálne klesá od počiatočnej hodnoty:

metóda

$ A (t) = A \ cdot e ^ $ Amplitúdová funkcia

tlmené

Na obrázku vyššie je vidieť harmonické tlmené kmitanie. Oscilácia začína na amplitúde $ A $. Amplitúda $ A $ exponenciálne klesá s amplitúdovou funkciou $ A (t) = A \ cdot e ^ $ v dôsledku trenia.

Pohybové rovnice (pozri časť Harmonické oscilácie: Pohybové rovnice) sa musia prispôsobiť podľa zmeny amplitúdy $ A $ na:

metóda

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t) $ Odchýlka (zákon času a miesta)

Začiatok pohybu nie v pokojovej polohe:

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ varphi_0) $

Začiatok pohybu v bode obratu (fázový posun o $ \ varphi_0 = \ frac $):

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ cos (\ omega_d \ cdot t) $

$ s (t) = A \ cdot e ^ \ cdot \ sin (\ omega_d \ cdot t + \ frac) $

Pri odvodení funkcie $ s (t) $ treba samozrejme odvodiť aj amplitúdovú funkciu. Výsledkom jednorazovej derivácie výchylky je rýchlosť $ v (t) $ a dvojnásobnou deriváciou zrýchlenia $ a (t) $.

Pre tlmenú prirodzenú frekvenciu $ \ omega_d $ jednotlivých kyvadiel platí toto:

metóda

To znamená pre všetky tri kyvadla:

metóda

Jarné kyvadlo: $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $

Nitkové kyvadlo (matematické kyvadlo): $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $

Fyzické kyvadlo: $ \ omega_d = \ sqrt< \frac - \delta^2> $

V súlade s tým musí byť upravené aj trvanie oscilácie $ T $ a frekvencia oscilácií $ f $:

metóda


Hlavný efekt: Pomer q q $ dvoch susedných amplitúd je daný:

metóda

The logaritmický dekrement $ \ Lambda $ má za následok:

metóda

$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $ logaritmický pokles

Nasledujúca grafika zobrazuje pohybové rovnice a funkcie amplitúdy pre rôzne počiatočné body pohybu:

Celková energia

Pri tlmených osciláciách celková energia časom klesá. Musí to byť teda produkt

metóda

v celkovej energii.

Pre kyvadlo závitu platí toto:

Príklad použitia: tlmené kmitanie

príklad

Tlmená oscilácia začína maximálnou amplitúdou a po 15 s má iba 2% svojej pôvodnej amplitúdy. Aký veľký je koeficient rozpadu kmitania?

Tu môžeme použiť funkciu amplitúdy:

Po $ t = 15 s $ sú zadané iba 2% počiatočnej amplitúdy $ A $:

Túto rovnicu môžeme ďalej vyriešiť pre $ \ delta $:

$ ln (0,02) = - \ delta \ cdot 15 s $

Koeficient rozpadu je 0,261 s ^ $.

Príklad aplikácie: logaritmický pokles

príklad

Je potrebné určiť logaritmický pokles $ \ Lambda $ matematického kyvadla (= vláknové kyvadlo). Maximálna amplitúda sa po 1,5 min znížila na $ \ frac $. Dĺžka kyvadla je $ l = 1,8 mil. $. Vypočítajte tiež rozdiel $ \ trojuholník \ omega $ medzi vlastnými frekvenciami tlmeného a netlmeného kyvadla.

Logaritmický pokles $ \ Lambda $ sa stanoví takto:

$ \ Lambda = \ ln (q) = \ delta \ cdot T_d $

Amplitúda $ A (t = 1,5 minúty) $ je $ \ frac $ počiatočná amplitúda:

Teraz môžeme najskôr určiť koeficient rozpadu $ \ delta $ z funkcie amplitúdy:

$ ln (\ frac) = - \ delta \ cdot 90 s $

Ďalej musíme určiť periódu kmitania $ T_d $:

Je to vláknové kyvadlo s prirodzenou frekvenciou $ \ omega_d = \ sqrt - \ delta ^ 2> $:

Vkladanie hodnôt:

Výsledok logaritmického zníženia je nasledovný:

$ \ Lambda = 0,02 s ^ \ cdot 2,692 s = 0,054 $

Ďalším krokom je určenie rozdielov medzi vlastnými frekvenciami netlmenej a tlmenej oscilácie:

$ \ trojuholník \ omega = \ omega - \ omega_d $

$ \ trojuholník \ omega = 0,0000857 = 8,57 \ cdot 10 ^ $

Príklad aplikácie: amplitúda

príklad

Druhá amplitúda tlmeného kmitania je o 1,5 mm menšia ako prvá amplitúda 25 mm. Aká veľká je 8. amplitúda?

Pomer dvoch susedných amplitúd možno určiť pomocou:

V cvičení sme dali prvú amplitúdu s $ A_1 = 25 mm $ a druhú amplitúdu s $ A_2 = 25 mm - 1,5 mm = 23,5 mm $. Ďalej môžeme nájsť pomer $ q $:

Teraz chceme určiť veľkosť 8. amplitúdy. Za týmto účelom môžeme upraviť vzorec tak, aby:

Ďalší zaujímavý obsah k tejto téme

Zastúpenie funkcií v prenosovom bloku

Možno je pre vás téma prezentácie funkcií v prenosovom bloku (prezentačné varianty riadiacich štruktúr) z nášho online kurzu tiež Riadiace inžinierstvo Zaujímavé.

Nútené vibrácie

Možno je téma Forced Vibrations (vibrácie) z nášho online kurzu tiež pre vás fyzika Zaujímavé.

Vibrácie

Možno je téma vibrácií z nášho online kurzu tiež pre vás fyzika Zaujímavé.