Vybíjanie kondenzátora cez rezistor - Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Ak študenti ešte na hodinách matematiky nepoznali exponenciálnu funkciu, budú si musieť zvoliť prístup k téme prostredníctvom modelovania s iteračným výpočtom.
Ak je k dispozícii exponenciálna funkcia, môžete tiež nasledovať cestu zobrazenú na tejto stránke a vyriešiť diferenciálnu rovnicu prvého rádu.
1.) Schéma zapojenia.
Proces nabíjania
Ak je prepínač v polohe 1, kondenzátor sa nabíja zo zdroja cez odpor.
Súčasný smer je červená vyžrebované. Je proti smeru hodinových ručičiek.
Proces vykládky
Ak je prepínač v polohe 2, zdroj je „odpojený“. Predtým nabitý kondenzátor sa teraz vybíja cez ten istý odpor.
Súčasný smer je zelená vyžrebované. Je to v smere hodinových ručičiek.
2.) Teória výboja kondenzátora a diferenciálna rovnica.
2.1.) Napätie na kondenzátore.
Pre vzťah medzi nábojom Q na kondenzátore a napätím Uc platí toto:
Počas procesu vybíjania je napätie Uc cez kondenzátor jediným zdrojom v obvode.
Čím viac sa kondenzátor vybíja, tým je toto napätie nižšie.
2.2.) Aký veľký je vybíjací prúd?
Pre vybíjací prúd platí:
Znamienko mínus berie do úvahy, že tok prúdu pri vybíjaní má presne opačný smer ako pri nabíjaní (pozri vyššie)
2.3.) Prúdová intenzita súvisí so zmenou nabíjania.
Sila prúdu sa počíta podľa rovnice z 2.2. určené aktuálnym množstvom náboja na doskách kondenzátora Q (t).
Teraz náboj prúdi z kondenzátora, to znamená, že množstvo náboja Q (t) na kondenzátore je čoraz menšie. Preto prúd I (t) klesá čoraz viac.
Každú sekundu vytečie z kondenzátora na začiatku procesu vybíjania veľa náboja a neskôr sa nabije menej.
Platí nasledujúce:
Táto okamžitá sila prúdu je analogická k Aktuálna rýchlosť v mechanike.
Viac sa o tom dozviete na stránke Nabíjanie kondenzátora.
2.4.) Diferenciálna rovnica výboja.
Ak teraz urobíme rovnicu (2) a (3), prídeme k Diferenciálna rovnica (DGL) 1. rádu výboj kondenzátora.
Formu DGL 1. rádu poznáme z matematiky. DGL rastovej funkcie má napríklad formu
Vyššie uvedený DGL vyzerá podobne, vľavo je derivácia, vpravo samotná funkcia.
3.) Riešenie diferenciálnej rovnice.
3.1.) Prvá orientácia.
Aby sme uľahčili hľadanie správnej funkcie, mali by sme najskôr zvážiť hodnoty jednotlivých premenných na samom začiatku a hneď na konci procesu vybíjania.
kondenzátor je úplne nabitý.
kondenzátor je vybitý.
3.2.) Správna funkcia riešenia.
Funkciou riešenia diferenciálnej rovnice je Exponenciálna funkcia.
Tu o nich nemusíme veľa vedieť, ale je to dôležité:
| Ak odvodíte exponenciálnu funkciu, reprodukuje sa až po prefaktor. Konštantný faktor v exponente je pred funkciou. (Pripomienka: f 'by bola derivácia podľa súradnice polohy. Fyzici používajú na určenie derivácie podľa času bod f). | |
| Pre t = 0 s má exponenciálna funkcia hodnotu 1. (To je ako 10 0 = 1). | |
| Pre t = ∞ sa exponenciálna funkcia zmení na 0. (Toto je tiež ako 10 -veľké číslo = 0). |
Aká je správna funkcia riešenia?
Pri troche premýšľania je ľahké prísť na správny nápad:
Ak chcete, môžete kombinovať C * Uq a vytvoriť počiatočný poplatok Qo.
Pre t = 0 s má exponenciálna funkcia hodnotu 1, takže dostaneme počiatočný náboj Q (t = 0 s) = C * Uq = Qo.
Pre t = ∞ sa exponenciálna funkcia stáva 0, takže náboj na kondenzátore je potom tiež 0.
3.3.) Aký je správny exponent?
Aká je však hodnota faktora a v exponente?
Aby sme to dosiahli, musíme vziať do úvahy, že exponent musí byť celkovo bezrozmerný.
Pretože čas t má rozmer „s“, musí mať rozmer „1/s“ a nejako obsahovať odpor R a kapacitu C.
Pre jednotky vyskúšajme najskôr súčin R a C.
(Potrebné rovnice pre transformácie sú uvedené vyššie):
Takmer v poriadku! Faktor a musí byť jeho recipročný!
Funkcia riešenia je teda teraz:
3.4.) Vzorka roztoku.
Najprv odvodíme funkciu:
. a vložte ju do diferenciálnej rovnice:
Náš prístup zrejme rieši diferenciálnu rovnicu. Našli sme správne funkcie riešenia.
Takže sú:
4.) Polčas rozpadu.
Proces vykládky je spočiatku rýchly. Trvá však nekonečne dlho, kým sa kondenzátor 100% nevybije. Preto nemá zmysel určovať čas vybíjania.
Namiesto toho použite Polčas rozpadu th, to je čas, v ktorom je kondenzátor nabitý iba na polovicu, to znamená čas, ktorý uplynie do Uc = Uq/2. Platí nasledujúce:
Poznámka:
Je to presne ten istý čas, keď je kondenzátor počas procesu nabíjania nabitý iba na polovicu.
Polčasy počas procesu nabíjania a procesu vybíjania sú teda rovnaké.
5. Zhrnutie.
Tu sú krivky a funkcie pre Proces vykládky zhrnuté: