6 Súčasti podliehajúce normálovým silám, teória II
Pohyblivé a nepohyblivé systémy Konštrukcie sa považujú za nepohyblivé, ak sú dostatočne vystužené (napr. Stenovými panelmi) alebo ak je vplyv teórie druhého rádu (posun uzlov pri zaťažení) preukázateľne menší ako 10%. Kyvadlo podopiera stropy spojené s výstužnou výstužnou časťou Obr. 1: Posunutý systém vystužený stenami alebo tuhými jadrami. Konštrukcie, ktoré sú vystužené zvislými prvkami (napr. Stenové panely, výťahové jadrá), sa môžu považovať za nepohyblivé, ak sú splnené nasledujúce podmienky pre približne symetricky usporiadané výstužné prvky [DIN 1045-1, 8.6. (5)]: 1 h spolu EF cm I c 1 pre m 3 (0, + 0,1 m) 1 pre m 4 0,6 (1) s h spolu m E cm I c celková výška konštrukcie až po vrchol základu počet podlaží celková tuhosť výstužných prvkov v uvažovanom smere F Súčet návrhových hodnôt zvislých zaťažení s γ F 1.0 Táto podmienka je známa už zo starej normy DIN 1045 (88) ako číslo nestability α. Nie sú vertikálne výstužné prvky usporiadané približne symetricky alebo sú nejaké - VI -
Štíhlosť stláčacích prvkov: lo λ (3) i s ekvivalentnou dĺžkou lo β l col (dĺžka vzpier podľa Eulerovho prípadu) l dĺžka stĺpov stláčacích prvkov i polomer gyrácie i IA Pre obdĺžnikový prierez je možné použiť známe vzťahy na zjednodušenie i 0,89 h voľne členené tuho upnutý elasticky upnutý systém tuho upnutý kĺbový tuho upnutý pevne upnutý pevne upnutý elasticky upnutý β (teoretický), 0 1,0 0,7 0,5 0,5 až 1,0 Obrázok: koeficienty β na určenie vzpernej dĺžky rôznych prípadov Euler pre rámové systémy vyrobené z podpier a účtovných kníh možno upínací efekt v uzloch určiť pomocou nomogramu na obrázku 3 v závislosti od tuhosti susedných skrutiek a podpier a možno vypočítať presnejšiu a zvyčajne ekonomickejšiu vzpieraciu dĺžku systému. Nomogram rozlišuje medzi neprenosnými a posuvnými systémami. Pri použití by sa malo zabrániť vyliahnutej oblasti. Koeficient β sa stanoví pomocou pomerov tuhosti k A a k B: k AI l + I l a I col1 col1 col col b1 lb 1 + 0,5 Ib lb I l + I l kb (4) I col0 col0 col1 col1 b3 lb3 + 0,5 Ib4 lb4 VI - 4
Obrázok 3: Interakčný diagram na určenie vzpernej dĺžky poschodových podpier. Vymedzenie štíhlosti V závislosti na štíhlosti jednotlivého tlakového člena sa rozhoduje, či sa pri dimenzovaní tlakového prvku má brať do úvahy vplyv teórie druhého rádu. Neposunuteľné a posuvné jednotlivé kompresné prvky sa považujú za štíhle, ak sú prekročené nasledujúce limitné hodnoty štíhlosti: λ λ max max 5 15 ν pre ν pre ν 0,41 35 (14) vedie k DIN 1045-1 pod [8.6.5 (8 )] rovnica zobrazená pre deformácie z vplyvu teórie 2. rádu VI - 11
1 l0 e K1 (15) r 10 Jedinou neznámou v rovnici (15) zostáva zakrivenie v kritickom priereze (1/r), ktoré závisí od geometrie prierezu a množstva výstuže, ako aj od napätia v priereze M a N je závislé. Pri pohľade na systém v bode s najväčším zakrivením prierezu, základňou stĺpca, možno vzťahy pre zakrivenie (1/r) odvodiť na základe lineárneho rozloženia napätia: e tot ee 1 N hd M, NA s A s1 ε s 0,9 d ε s1 Obr. 9: Posúdenie prierezu s najväčším zakrivením V dôsledku oceľovej rozťažnosti na ťahanej strane prierezu a stlačenia betónu na lisovanej hrane prierezu e c1-3,5 0/00 vzniká pre oceľové vrstvy na oboch stranách napätie ε s1/ε s> ε yd nad medzou klzu. Zakrivenie prierezu možno preto vypočítať vo vzťahu k vrstvám výstužnej ocele, pričom sa zohľadní existujúce normálové silové zaťaženie, nasledovne: 1 r K ε yd 0,9 d (16) N ud N s K 1 (17) N N ud bal VI - 1
Budova/stavba Štvrť II. O. 10% nie Systém nie je možné presúvať Systém nie je možné presúvať Systém nie je možné presúvať Berie sa do úvahy II. Jeden kompresný prvok (podpera) Systém je nepohyblivý Systém je pohyblivý M, N λ> λkrit áno Zohľadnenie Th. II. Poradie napr. pomocou metódy podpory modelu e tot no e tot e 0 + e a + e M II N e tot štandardné dimenzovanie napr. s interakčným diagramom Obrázok 11: Vývojový diagram návrhu s metódou podpory modelu. VI - 14
Dimenzovacie diagramy pre návrh stĺpov Stĺpy je možné dimenzovať spravidla pomocou interakčných diagramov pre symetricky zosilnené prierezy (µ-ν diagram). Súvisiace vnútorné sily µ a ν sa počítajú pre systémy bez rizika vybočenia z plánovaných vnútorných síl, pre systémy s požadovaným dôkazom podľa teórie druhého rádu od normálových silových zaťažení N a momentu M N e tot z teórie prvého a druhého rádu. Obrázok 1 zobrazuje príklad interakčného diagramu pre betón C1/15 až C50/60, ako aj vstupné hodnoty d 1/h 0,10 a výstužnú oceľ BSt 500. Obrázok 1: Príklad interakčného diagramu pre symetricky vystužené obdĺžnikové prierezy z [6] VI - 15
Ďalšie dimenzovacie diagramy, ktoré sa teraz objavili, hodnotia metódu podpory modelu s prihliadnutím na nežiaducu výstrednosť ea a výstrednosť e z časti teórie druhého rádu a uľahčujú tak použitie metódy podpory modelu. Obrázky 13 a 14 zobrazujú schémy z [6] a zošita DAfStb 45. Ďalšie dimenzovacie diagramy pre overenie podľa teórie druhého rádu sa objavia v brožúre DAfStb 55. Obrázok 13: Dimenzovací diagram pre metódu podpory modelu z [6] VI - 16
Obrázok 14: µ-nomogram ako pomôcka na dimenzovanie s prihliadnutím na časť teórie druhého rádu [3] 6.6 Kompresné prvky s biaxiálnym ohybom jednak kvôli plánovanému zaťaženiu stĺpika, jednak pri uvažovaní o častiach z teórie druhého rádu pre štíhle stĺpy. Okolnosti ovplyvňuje okamihy alebo výstrednosti v smere oboch osí prierezu. Pri overovaní teórie druhého rádu je os slabej zložky VI - 17, najmä v prípade nesymetrických prierezov
preskúmať proti možnému vybočeniu. Ďalej je tiež potrebné zvážiť, či v obidvoch smeroch existujú rovnaké podmienky skladovania. Aby bolo možné obísť presné overenie, ktoré je zvyčajne možné vykonať iba pomocou vhodného počítačového programu, je možné vykonať overenie samostatne v oboch smeroch prierezu podľa DIN 1045-1 pre obdĺžnikové prierezy, berúc do úvahy prípustné pomery relatívnych výstredností. Táto úvaha je však prípustná, iba ak je bod pôsobenia zaťaženia N v šrafovanej oblasti znázornenej na obrázku 15. Túto podmienku spĺňajú nasledujúce vzťahy: (e h) (e b) 0, 0 z 0 y alebo (18) s (e b) (e h) 0, 0 y 0 z e 0y, e 0z príslušným ťažiskom podľa teórie prvého rádu. Obrázok 15: Limity pre samostatné overovanie prierezov stĺpov v smere k dvom hlavným osiam VI - 18
6.8 Príklad Na nasledujúcom príklade je vysvetlené použitie normy DIN 1045-1 pre štíhle stĺpy s rizikom vybočenia. V prípade nestíhlych stĺpov sa návrh zjednodušuje priamou aplikáciou, napr. interakčných diagramov (diagramy µ-ν, pozri obrázok 1). Stĺp je hranový stĺp v suteréne štvorpodlažnej budovy s priamym zavedením zaťaženia cez nosník. Rozmery systému a komponentov: Stavebné materiály: Betónová výstužná oceľ C5/30 BSt 500 S Trieda prostredia: XC3 (vonkajší komponent) Charakteristické účinky: vertikálne účinky na hlavu stĺpa N gk 650 kn N qk 30 kn Ohybové momenty na hlave stĺpa v dôsledku neúmyselného upnutia susedného nosníka (M col, od spol. -cu metóda) M gk 16 knm M qk 10 knm Prierez stĺpu: v/š 5/45 cm Stuženie budovy a vodorovný prenos zaťaženia sa uskutočňuje pomocou niekoľkých stenových panelov, ako aj výťahom a jadrom schodiska. Celkovú štruktúru budovy možno považovať za nehnuteľnú podľa rov. (1) byť klasifikovaný. VI - 0
Betónový kryt: zvolený priemer tyče: d sl 0 mm, ds, bü 8 mm Betónový kryt pre triedu expozície XC3: min. C 0 tolerancia c 10 mm DIN 1045-1, 6. DIN 1045-1, tab. 4 nom c 0 mm + 10 mm 30 mm Minimálna pevnosť betónu pre triedu expozície XC3 je C0/5. Rozmery: Rozmery prierezu š/v 45/5 cm statická výška d: dh - nom cds, bü ½ ds, l pre 1 vrstvu pozdĺžnej výstuže d 5 3,0 0,8 ½, 0 0, cm zvolené: d 0 cm d 1 5 0 5 cm (vzdialenosť od ťažiska vrstvy pozdĺžnej výstuže k okraju prierezu) Úkony pre medzný stav únosnosti V medznom stave únosnosti je potrebné kombinovať pôsobenia od trvalých a premenných zaťažení: Úkon 1: trvalé zaťaženie Úkon: živé zaťaženia Výsledkom sú nasledujúce užitočné základné kombinácie: VI - 1
DIN 1045-1, 5.3.3 DIN 1045-1, tab. 1 Základná kombinácia 1: nepriaznivé účinky max N a max M s γ g 1,35 a γ q 1,5 Základná kombinácia: priaznivé účinky min N a min M s γ g 1.0 Základná kombinácia 3: nepriaznivé účinky pre okamih min N a max M s γ g 1,35 a γ q 1,5 GK 1: N 1,35 650 kn + 1,5 30 kn 1357,5 kn M 1, 35 16 kn. + 1,5 10 kn. 36,6 kn. GK: N 1,00 650 kn. M 1,00 16 kn. 650 kn. 16 kn. GK 3: N 1,35 650 kn. 877,5 kn. M 1,35 16 kn. + 1,5 10 knm 36,6 knm Moment pôsobí na hlavu stĺpa. Statický systém a rozloženie vnútorných síl M, N N-plocha M-plocha - l 4,0 - VI -
Náhradná dĺžka (vzperná dĺžka) a štíhlosť stĺpca Za daných okrajových podmienok je možné stĺpec overiť ako jeden kompresný prvok. Dištančná dĺžka stĺpa je l0 β l col l 0 1,0 4,0 m pozri obrázok DIN 1045-1, 8.6. (4) Štíhlosť stĺpu je potrebné brať do úvahy v dvoch smeroch: Štíhlosť v smere kolóny h 5 cm (porovnaj rovnicu 3): l 4,0 λ oi 0,89 0,5 58 Štíhlosť v smere kolóny b 45 cm: DIN 1045 -1, 8,6. (4) Polomer otáčania i pre obdĺžnikový prierez: i 0,89 hl 4,0 λ oi 0,89 0,45 3,3 Vymedzenie štíhlosti (pozri rovnicu 5): ν NA fc cd 1,36 MN 0,5 m 0, 45 m 14, MN 0,85 m² DIN 1045-1, 8.6.3 () DIN 1045-1, ekv. (9) λ 5 pre ν 0,41 Kritérium nie je splnené. max DIN 1045-1, ekv. (7) V danom prípade ide o stĺpy v nepohyblivej konštrukcii, ktoré nepodliehajú ďalšiemu priečnemu zaťaženiu medzi koncami stĺpov. Limitu štíhlosti teda možno určiť podľa rovnice (6). Pre e 01 0 (výstrednosť na základni stĺpca) sa kvocient e 01/e 0 stane nulovým: λkrit e01 5 () 5 (0) 50 35 DIN 1045-1, ekv. (39) 1 r K ε yd 0,9 d VI - 4
N ud NK 1 NN ud bal K 1 (na bezpečnej strane) DIN 1045-1, 8.6.5 (9) Vplyv zvýšenia únosnosti v dôsledku normálneho silového zaťaženia Zakrivenie na základni stĺpa je 1 r 0,00 1,44 10 0, 9 0,0 m 1 m DIN 1045-1, ekv. (39) Z toho možno určiť e takto: e K1 r l0 1,44 10 10 1 4,0 m² m² 1 m 10 0,043 m 4,3 cm DIN 1045-1, ekv. (38) Celková výstrednosť podľa teórie druhého rádu je teda: e tot e 1 + e s e 1 e 0 + ea 1,6 cm + 1,0 m, 6 cm e tot e 1 + e, 6 cm + 4, 3 6,9 cm DIN 1045-1, 8,6,5 (5) DIN 1045-1, ekv. (35) DIN 1045-1, ekv. (34) MN e tot 1,36 MN 0,069 m 0,09 MNm Návrh s interakčným diagramom pre symetrické prierezy výstuže Vstupné hodnoty: N 1,36 MN M 0,09 MN h 5 cm d 1 5 cm d1/h 5/5 0, 0 Interakčný diagram pre symetricky vystužené obdĺžnikové prierezy napr. v brožúre DAfStb 550 alebo Schneiderových stavebných stoloch [6] ν N bhf cd 136, MN 0, 45 m 0, 5 m 14, MN m² 0, 85 súvisiaca normálna sila µ M b h² f 0, 09 MNm 0, 45 m 0, 5 m² m² 14, MN m² CD 0, 4 súvisiaci moment VI - 5
Z diagramu odčítajte pre d1/d 0,0 a betón do C50/60: ω tot 0,7 Celkový obsah výstuže prierezu: 0,45 m 0,5 m As, tot As 1 + As 0,714,4 MN m² 4 10 5, 7cm² 435MN m² DIN 1045-1, 8.6.5 (9) Vplyv zvýšenia únosnosti v dôsledku normálneho silového zaťaženia s obsahom výstuže, ktorý je dnes známy DIN 1045-1, 8.6.5 (9). S týmto prvým obsahom výstuže predstavuje ďalší iteračný krok pre presnejšie stanovenie Koeficient K (rovnica 17) pre výstrednosť podľa teórie druhého rádu. N ud NK 1 NN ud bal N ud - (f cd A c + f yd A s) - (14,4 MN/m² 0,5 m 0,45 m + 435 MN/m² 5,7 10-4 m²) -. 7 MN Podpera môže absorbovať maximálnu tlakovú silu. 88 MN. N -1,36 MN (predvolené) DIN 1045-1, 8,6,5 (9) N bal -0,4 f cd A c 0,4 14,4 MN/m² 0,5 m 0,45 m -0, 64 MN Kolóna môže súčasne absorbovať 0,64 MN tlakovej sily s maximálnym momentovým zaťažením. VI - 6
, 7 MN + 136, MN K 0, 65, 7 MN + 0, 64 MN DIN 1045-1, rovnica (40) Vylepšená hodnota zakrivenia na základni stĺpa je teraz r 0, 00 0, 65 160, 10 0, 9 0, 0 m 1 1 m DIN 1045-1, ekv. (39) Z toho možno e opäť určiť takto: e 1 160, 10 4, 0² m² 1 m 10 0,08 m, 8 cm DIN 1045-1, ekv. (38) Nová celková excentricita podľa teórie druhého rádu je takto: e 1 1 cm +, 8 m 3,8 cm e tot 1,6 cm + 3,8 5,4 cm DIN 1045-1, 8,6,5 (5 ) DIN 1045-1, ekv. (35) DIN 1045-1, ekv. (34) MN e tot 1,36 MN 0,054 m 0,07 MNm ν 0,85 µ M b h² f 0,07 MNm 0,45 m 0,5² m² 14, MN m² cd 018, súvisiaci moment závislý od normálnej sily, načítaný z diagramu: ω tot 0,45 interakčný diagram pre symetricky vystužené obdĺžnikové prierezy napr. v brožúre DAfStb 550 alebo stavebných stoloch Schneider [6] VI - 7
Celkový obsah výstuže v priereze: 0,45 m 0,5 m s 0,45 10 4 16,5 cm² 14,4 MN m² 435 MN m² A, celkom Ďalšia iterácia na zlepšenie súčiniteľa K vedie iba k malým zmenám. Pre každú stranu je zvolená výstuha do strmeňa: 3 0 existujúce A s 3 3,14 cm² 18,8 cm² DIN 1045-1, 13,5. (1) DIN 1045-1, ekv. (155) DIN 1045-1, 13.5. () Kontrola minimálneho obsahu výstuže (pozri rov. 19): 015, 136, MN As, min. 015, N f yd 10 4 4, 68 cm² (splnené) 435 MN m² Kontrola maximálneho obsahu pozdĺžnej výstuže (pozri rov. 0): 18, 8 cm² existujú .ρ pozdĺž 0,017 1,7% 9,0% (splnené) 5 cm 45 cm Výber zosilnenia strmeňa DIN 1045-1, 13.5.3 (4) maximálny rozstup strmeňa s Bu 1 min ds, ls Bu min h kolóna (najmenší priemer kolóny) ako rozhodujúce kritérium je zvolené s Bü 300 mm s s Bü 1 min ds, l 1 0 mm 40 mm: konzola ds 8 mm každé 4 cm DIN 1045-1, 13.5.3 (5) v reze na spodný strop a horný Rozstup výstuže strmeňa je zmenšený na: červený. s konzola 0,6 4 cm 14 cm pre výšku 45 cm (najväčší rozmer podpery) DIN 1045-1, 13.5.3 (7) Tyče ležiace vo vnútri prierezu sa držia za konzolu, iba ak je ich vzdialenosť 15 ds, konzola z rohovej oblasti nepresahuje. max. roh 15 0 mm 300 mm Pozdĺžne tyče sú tak všetky držané. VI - 8
Výkres výstuže: VI - 9
6.9 Literatúra [1] DIN 1045-1, Konštrukcie z betónu, železobetónu a predpätého betónu, Časť 1: Dimenzovanie a konštrukcia, vydanie z júla 001 [] G. König, N. Út: Základy železobetónovej konštrukcie; Teubner Verlag, Leipzig 1998 [3] Kordina, Quast: Dimenzovanie štíhlych komponentov na medzný stav únosnosti ovplyvnený štrukturálnymi deformáciami Analýza stability; v konkrétnom kalendári 001, časť 1, s. 349 a nasl.; Ernst & Sohn Verlag, Berlín 001 [4] Brožúra DAfStb 45: Merania pre Eurokód, časť 1; Nemecký výbor pre železobetón; Berlin 199 [5] DAfStb-Heft 0: Dimenzovanie betónových a železobetónových komponentov podľa DIN 1045, vydanie september 1978; Nemecký výbor pre železobetón; Berlin 1979 [6] Schneider: Konštrukčné stoly pre inžinierov, Werner Verlag 001 VI - 30