Čo rozlišuje zvukové vlny od čísel - Deus ex Machina
Matematika a hudba sú často uložené v jednej posteli - aj keď prekrývanie je obmedzené. Pracovné manželstvo, alebo len fáma?
Vlastne som vlk v ovčom rúchu a nie celkom si verím, keď - tak ako pred časom - jazdím na bielom bojovom koňovi, aby som získal viac vedeckého vzdelania. Potom, čo som v tomto salóne využil príležitosť a naservíroval množstvo narcistických chúťok pre inžinierov a matematikov, je čas opäť vziať do úvahy čitateľov humanitných vied.
Občas sa povráva, že matematika a hudba sú! tak úzko súvisí. Priznávam: nie pre mňa. Hudba je samozrejme zvukové vlny, zvukové vlny sú fyzika a nejako matematika, ale nevidím priame spojenie. Podobne je to aj s povesťou, že hudobníci sú často matematikmi a naopak. V staroveku existoval Pytagoras, o 600 rokov neskôr Ptolemaios, obaja sa dôležitým spôsobom zaoberali matematikou a hudobnou teóriou, ale potom už nič nepríde. Leibniz, každý z nás, univerzálny génius, nemal nič spoločné s hudbou. Goethe zase robil s hudbou, ale nie s matematikou. Švajčiarsky matematik Leonhard Euler nedávno prispel do hudobnej teórie niekoľkými neznámymi príspevkami, nič viac som však nenašiel (aj keď som vďačný za ďalšie informácie!). Od Einsteina vieme, že miloval hudbu všeobecne a najmä svoje husle, ale táto láska ho neposunula k veľkým vedeckým objavom hudobného významu.
Musí však existovať dôvod, prečo bola hudobná teória zahrnutá do matematického kvadrívia siedmich slobodných umení v stredoveku - aj keď by sa muzikológovia dnes chceli radšej venovať ďalším trom vedám.
Aký je teda dôvod povesti, že hudba a matematika spolu súvisia? Anekdoty hlásia, že pri výrobe nástrojov sa používal zlatý pomer (pomer matematickej vzdialenosti „a: b“ a „a + b: a“) - nikto nemôže s istotou povedať, či to Stradivarius postavil vedome, alebo či to nebola náhoda.
Azda najzrejmejším príkladom je v skutočnosti otázka ladenia, pomerov strún a zvukových vĺn - a práve táto téma zaujala mnohých spomínaných teoretikov. Podstata ladenia spočíva v tom, že napríklad vrstvenie 12 pätín teoreticky zodpovedá približne 7 oktávam - ale nie celkom, to znamená, že nakoniec vyjde rovnaký tón, ale s mierne odlišnou výškou. Tento rozdiel je tiež známy ako Pytagorova čiarka a pre hudobníkov bol dôležitý už od stredoveku: so zavedením klávesových nástrojov bolo treba urobiť rozhodnutie. Rozstup a intervaly je možné vyjadriť ako pomery výšky tónu - čo je pravdepodobne to, čo ich robí zaujímavými predovšetkým pre matematikov. Oktáva zodpovedá pomeru delenia 1: 2, pätina pomeru 3: 2. To znamená, že ak stlačíte husľovú strunu v bode na doske, kde je zostávajúca vibrujúca struna dvakrát tak dlhá ako odpojená, pôvodný tón struny znie presne o jednu [Upraviť: piata] vyššie. To by bol potom čistý interval. Ak ale na seba naskladáte veľa čistých oktáv a dokonalých pätín, posledné noty sa bohužiaľ rozpadnú.
Väčšina nástrojov môže byť flexibilne nastavená v tóne a každá nota a každý interval je následne intonovaný tak úhľadne, ako to vyžaduje príslušná klávesa. Pri klávesových nástrojoch sa naopak musíte odhodlať ku klávesu. Aj keby Bach údajne mohol preladiť svoje cembalo za 15 minút, je to ďaleko nad možnosti moderných ladičov klavírov a kto by si to chcel dovoliť stále?
Aj za Bachových čias boli preto nástroje vyladené tak, aby sa rozpor nejako rozdelil medzi zostávajúce intervaly. Do obdobia neskorého baroka prevládalo ladenie stredných tónov, v ktorom boli tretiny (a intervaly kvinty a oktávy, ktoré boli aj tak vnímané ako obzvlášť čisté) ladené čisto - ale iba v prvých tóninách kruhu pätín, teda z teoreticky možných 12 tónín (a ich zodpovedajúci menší partneri), iba prvých 8 znelo čisto, s klesajúcou tendenciou.
Pomerne špinavým riešením je rovnaké ladenie, pri ktorom znejú iba oktávy čisto, zatiaľ čo všetky ostatné intervaly dostávajú časť Pytagorovej čiarky - teda zvuk nečistý. Úžasne tento variant zvíťazil, pravdepodobne aj preto, že si ho netrénované uši takmer nevšimnú.
Oveľa známejšou je na druhej strane Well-Tempered Mood, ktorej Bach pravdepodobne venoval aj svoje veľké dielo „The Well-Tempered Clavier“. Andreas Werckmeister (po ktorom sú pomenované niektoré z nespočetných variácií tejto ladiacej metódy) bol jedným z prvých, ktorý otravnú čiarku nerozdával systematicky, ale skôr podľa pocitu. Podľa toho, aké dôležité boli intervaly a kľúče používané a aké citlivé alebo matné je ľudské ucho na nečistoty, boli intervaly vyladené čisté alebo nečisté. Kvôli frekvencii používania a dôležitosti intervalov C dur boli klávesy obzvlášť čisté a klávesy s mnohými náhodnými ponukami dosť nečisté - čo viedlo k kľúčovej charakteristike, ktorá je dodnes podstatnou súčasťou hudobnej vedy.
To konkrétne znamená, že na modernom klavíri je rovnako možné ľahko hrať predohru a fúgu F dur z prvého zväzku rovnako ľahko ako v C dur - nezáleží na zvuku. Na klavíri naladenom na rovnakú úroveň by však bol rozdiel veľmi dobre počuť. Bach takmer určite toto dielo skomponoval na oslavu nového úspechu dobre naladeného ladenia, vďaka ktorému bolo možné hrať na všetkých klávesoch na klávesovom nástroji - aj keď v dobre temperovanom variante, nie v rovnako temperovanom variante, ako ho používame dnes. Všeobecne platí, že Bach mal pravdepodobne veľa spoločného s číslami: jeho diela sa hemžia číselnou symbolikou, ale aj tam možno len hádať, koľko z nich je zámerných. Keď je chorál o desiatich prikázaniach zhudobnený a trúbka začne desaťkrát, rád prijmem úmysel. Ak majú naopak dve čísla spolu 129 taktov, a toto (3 × 43 = 129) sa interpretuje ako odkaz na trojité vyznanie viery, rýchlo mi dôjde trpezlivosť - to je dohadovanie bez možnosti dôkazov alebo argumentov. Nehovoriac o okultnej stránke s slobodomurárskym myslením a vyšším významom štvorcov a trojuholníkov.
Ďalšou často uvádzanou oblasťou, kde hudba a matematika vstupujú do - v niektorých očiach príšerných - manželstiev, je moderná hudba. Najmä dvanásťtónová hudba alebo sériová hudba sú tak prísne štruktúrované, že človek cíti, že pripomína matematiku, a niečo z krásy týchto diel sa dá odhaliť iba intenzívnym skúmaním nôt. Napríklad v dvanásťtónovej hudbe sa tvoria série tónov, ktoré sa môžu meniť iba obmedzeným spôsobom a podľa prísnych pravidiel, čo sa v polyfonickom prostredí stáva mimoriadne zložitým - a to natoľko, že si profesor kedysi myslel, že počítačový algoritmus dokáže ľahšie zostaviť dvanásťtónovú hudbu ako ľudský génius. Je tiež vhodné, že napríklad Boulez tiež pracoval s tabuľkami čísel, aby objasnil vzory. Napriek tomu - aj keď so mnou budú niektorí nesúhlasiť - nejde o matematiku. Čísla a matematika sú v skutočnosti dve úplne odlišné veci. A dvanásťtónová alebo sériová hudba je stále tiež hudbou. Človek sa musí snažiť porozumieť tomu, zlomiť zvyky svojho ucha a vážne sa s tým vyrovnať, ale stále je to umenie - také, ktoré sa jedinečne vzpiera racionalite.
Umenie je, keď sa intervaly a zvukové vlny (t. J. Matematika a akustika) stávajú viac. 2 + 2 = 5, ktoré sa dotýka ľudí a umožňuje zabudnúť na všetko ostatné. Hudba, jednoducho.