Iteračný proces - lexikón matematiky
Lexikón matematiky: Iteračné metódy
Procesy, ktoré počítajú riešenie úlohy ako limitnú hodnotu nekonečnej série približných riešení.
Oproti tomu priame postupy sú metódy, ktoré (v prípade výpočtov bez zaokrúhľovania) vypočítajú presné riešenie úlohy po konečnom počte krokov.
Na niektoré problémy, napr. B. pri riešení úloh s vlastnými hodnotami je vždy potrebné použiť numerické riešenie pre iteračné metódy, pretože tieto problémy i. vo všeobecnosti to nemôžeme vyriešiť priamo.
Na ďalšie problémy, napr. B. možno použiť riešenie lineárnych sústav rovníc Ax = b, priame alebo iteračné metódy. Metódy priameho riešenia lineárnych sústav rovníc zvyčajne menia danú maticu koeficientov A a transformujú pôvodný problém na problém, ktorý sa dá ľahšie vyriešiť. V iteračnom riešení lineárnych sústav rovníc sa matica koeficientu A nemení; iteračným krokom je tu často vykonávanie násobenia matice-vektor. Zatiaľ čo priame metódy počítajú presné riešenie problému aspoň teoreticky, pre konverzné metódy sú dôležité otázky konvergencie a rýchlosti konvergencie.
Metóda iterácie pevných bodov je zvlášť zaujímavá v numerickej matematike, ktorá sa chápe ako metóda iterácie výpočtu pevného bodu na základe Banachovej vety o pevnom bode; pozri tiež iterované čísla.
Na záver niekoľko poznámok k chovaniu iteračnej metódy na riešenie rovnice pevného bodu T (x) = x v blízkosti pevného bodu. Nech \ (M \ subseteq >> ^ \) a \ (T: M \ až >> ^ \) sú mapovanie. Ak je x * pevný bod T, na určenie približne pevného bodu sa často používa iteračná metóda \ (_ = T (_) \) s pevnou počiatočnou aproximáciou x0. Správanie riešenia postupu v blízkosti pevného bodu potom možno určiť popisom poradia postupu. Ak existuje konštanta c a \ (p \ in> \) také, že: \ begin || ^ - ^ || \ le c \ cdot || ^ - ^ | ^
,\ end s 0 ≤ c 1, metóda generovaná T sa nazýva metóda poriadku p, za predpokladu, že sa začína x0 z vhodného okolia x *.
Každá metóda piateho poradia konverguje lokálne, to znamená, že existuje susedstvo U x *, takže pre každú \ (_ \ v U \) súvisí príslušná iteračná sekvencia \ (_ = T (_) \) s x *.
Mohlo by vás zaujímať: Spektrum - Die Woche: 48/2020