KAPITOLA I LINEÁRNE PROGRAMOVANIE
2 I. LINEÁRNE PROGRAMOVANIE Cena produktu závisí od vyprodukovaného množstva a tu od situácie predaja druhého produktu. Problém je určiť výrobný program, ktorý maximalizuje výnosy (alebo zisk) spoločnosti. Nájdeme množstvo bu bu G, ktoré sa má vyrobiť. Vyššie uvedený problém sa stáva: Nájsť humerálne hodnoty, 2. ktoré minimalizujú funkciu: s uspokojením obmedzení: a kodifikácie eegativity: f = c + c + + c 2 2. a + a + L + aba + a + L + ab LLLLLL am + am22 + L + am b 2 2 2 22 2 2 2 m, 2, L Pozorovanie: Hypotézy liiarity stanovené u sut overené vždy v praxi. Ich zdôvodnenie je dvojité: coduc až geeral jednoduché matematické modely; na základe lineárnych modelov možno formulovať kvalitatívne závery a ekomické legitimity, ktoré merajú ich platnosť - v určitých medziach - a v eliptickej klietke. 2) Problém stravovania sa stal klasickou ilustráciou lineárneho programovania používaného vo väčšine špecializovaných predmetov. Zaoberá sa kŕmením komunity, povedzme skupiny vojakov, najekonomickejším spôsobom s podmienkou splnenia určitých požiadaviek na maternicu. Konkrétnejšie ide o prípravu kompletného porézneho jedla z potravinového sortimentu F, F 2. F. U prvkov alebo zásadných princípov N, N 2. N m - bielkoviny, sacharidy, tuky
. Všeobecná podoba úlohy programovania močoviny 5 a a2 L abaaab A = 2 22 L 2 b = 2 = 2 MMLMMM am am2 L am bm c = [c c2 L c] Napíše sa problém v chaotickej podobe mimiky: ai bi = (mi) f = c = A b (mi) f = c Napríklad pevný problém (., príklad)) je chaotická forma šikany, zatiaľ čo problém so stravou (., príklad 2)) je chaotická forma miimizácie. Akýkoľvek problém lineárneho programovania môže byť uvedený do chaotickej formy maimizácie alebo mimiky, bez úpravy súboru prípustných riešení s tým, že: rovnosť je možné nahradiť dvoma rovnosťami ses cotrar; ekordické obmedzenie sa koordinuje násobením s -; môžeme zmeniť pohlavie optimalizácie objektívnej funkcie vďaka všeobecnému vzorcu: [f] f mi = A () ma A () (.3.) V cosecite môžeme urobiť určité teoretické úvahy na chaotickom tvare, ako napríklad v teórii lineárnej duality, bez toho, aby sa to obmedzilo na všeobecnosť. Eemplul.3.
6 (ma) f = 2 3 + 4 32 + 53 = 3 3 + 2 5 2 + 3 0, 2, 3 2 3 I. LINEÁRNE PROGRAMOVANIE (mi) (f) = 2 + 32 43 + 32 53 3 + 32 53 3 3 + 2 5 2 3 0, 2, 3 Program (P) Chaotická forma minimalizácie programu (P) .4 Štandardná forma problémov s programovaním močoviny Hovoríme, že problém s lineárnym programovaním je v štandardnej podobe, ak sú splnené všetky obmedzenia vyrovnali sa. Dôležitosť tejto konkrétnej formy vyplýva zo skutočnosti, že metóda riešenia problémov lineárneho programovania, ktorá sa bude ďalej rozvíjať, si vyžaduje, aby sa problém nachádzal v tejto prezentácii. Vo výsledku bude problém (P), ktorý má obmedzenia rovnosti, nahradený - za účelom jeho vyriešenia - iným problémom, v ktorom sú všetky obmedzenia rovnaké. Nový problém, ktorý vynecháva štandardnú formu problému (P) a otate (FSP), je konštruovaný nasledovne: Obmedzenie rovnosti pôvodného problému (P) typu „“ (respektíve typu „“) sa transformuje na rovnosť sčítaním (respektíve pri pokles variabilného egatívu ľavej končatiny. Zmena obmedzenia rovnosti u. Nové zavedené premenné sa objavujú v objektívnej funkcii pôvodného problému (alternatívne hovoríme, že sa objavujú s koeficientmi uli) Príklad.4. (ma) f = 7 + 9 + 8 5 + 2 2 3 4 (P) 3 + 2 + 3 = 5 + 22 + 33 9, 2, 3 2 3 (ma) f = 7 + 92 + 83 5 + 22 3 4 = 4 (FSP) 3 + 2 + 3 = 5 + 22 + 33 + 5 = 9, =. 5
. Všeobecná forma úlohy lineárneho programovania 7 Problém, ktorý vyvstáva v tejto časti, je uplatniť spôsob, akým sa získa optimálne riešenie úlohy (P), ak je známe optimálne riešenie jej štandardného tvaru (FSP). Je možné ľahko preukázať, že medzi množinami prípustných riešení problému (P) a A FSP problému (FSP) existuje bijektívna korešpondencia, ktorá zachováva optimálne riešenia. Na predchádzajúcom príklade si ukážeme, ako táto korešpondencia funguje. Ak ho označíme Φ, bude asociované s prípustným riešením = (, 2, 3) problému (P) vektor: Φ () = (. 5 + 2 4, 9 2 3) 2 3 2 3 2 3 ktoré pri konštrukcii ukazuje sa ako prípustné riešenie problému (FSP). Naopak, máte prijateľné riešenia
2 3 4 5) úlohy (FSP) univerzálna korešpondencia Φ - asociuje jej vektor (
) ktorý uspokojivo uspokojuje obmedzenia pôvodného problému (P). Ak ide o optimálne riešenie úlohy (P), potom Φ () je optimálne riešenie úlohy (FSP) a naopak, ak poznáme optimálne riešenie
) je optimálnym riešením problému (P). Pri donucovacích úlohách majú odchýlkové premenné presné ekomerické interpretácie, takže pri analýze optimálneho riešenia budú ich hodnoty zohľadnené spolu s hodnotami pôvodných premenných. V pevnom probléme (. Príklad) sú teda odchýlky premenných +, +2. + m defiite pri: = b a i =. m + i i i = predstavujú množstvá ekologicky spotrebovaných zdrojov, a preto znalosť ich hodnôt v optimálnom riešení poskytuje užitočné indikácie pri analýze spôsobu, akým sa zdroje spoločnosti využívajú: suroviny, výrobné kapacity, hlienová sila atď. V probléme so stravou (., Príklad 2)) sú premenné odchýlky: = a b i =. m + i i i = predstavuje množstvá utritívnych princípov, s ktorými sú prekročené minimálne hladiny uvedené v recepte.
8 I. LINEÁRNE PROGRAMOVANIE.5 Grafické riešenie úloh lineárneho programovania Zvážte problém: (ma) f = 3 + 4 3 + 42 2 + 2 6 2 + 2 2, 2 2 Identifikujeme, 2 s úsečkou, respektíve poradím bodu di plaul hlásený k ortogonálnemu systému ae. Je známe, že množina bodov diplate, ktorých súradnice vyhovujú prvému obmedzeniu, sa zhoduje s polovičnými diplaymi určenými priamkou d rovnice -3 +4 2 = 2. Presnejšie povedané, je to polovičná doska, ktorá viaže pôvod (0,0), pretože jeho súradnice zjavne vyhovujú prvému obmedzeniu. Podobne sú nasledujúce obmedzenia overené v polovičných doskách určených čiarou d 2 rovnice + 2 = 6, respektíve d 3 z rovnice -2 + 2 = 2 a ktorá ohýba pôvod. Buď kódovanie 0 prebieha v pravej polrovine zvislej osi, zatiaľ čo kódovanie 0 sa uskutočňuje nad vodorovnou osou. Prípustné riešenia problému sú identifikované so spoločnými bodmi semi-plakových cyklov. Tvoria vnútro a škvrnu polygónu OABCD di figura.5 . 2 f = 24 f = 22 2 7 C f = 2 B d A A d 2 O D d 3