Olympiáda - 8. ročník
1. - 34. olympiáda - úlohy a riešenia 1.-34. Olympijské hry - 1
Cvičenie 010834: Kto má prsteň? Ruth, Fritz, Ewald, Brigitte a Erika hrajú pešiaka. Ruth odchádza z miestnosti; zatiaľ jedno z ďalších detí ukrýva so sebou prsteň. Ruth sa vracia, aby zistila, kto má prsteň. Teraz každé dieťa urobí tri vyhlásenia. Z týchto tvrdení sú dve pravdivé a jedno nepravdivé. Na základe týchto vyhlásení by mala Ruth bez hádania zistiť, kto má prsteň. Ewald: 1. Nemám prsteň. 2. Fritz má prsteň. 3. Túto hru som hral už mnohokrát. Fritz: 1. Nemám prsteň. 2. Ewald sa mýli, keď si myslí, že mám prsteň. 3. Erika má prsteň. Teraz Ruth preruší a hovorí: Musím premýšľať, možno zistím, kto má ten prsteň. A po pár minútach Ruth povie, kto má prsteň. Ako to mohla povedať? Cvičenie 010835: Body P a Q sa udávajú so vzdialenosťou 5 cm. Zostrojte dve rovnobežky, z ktorých jedna prechádza cez P, druhá cez Q a sú vzdialené od seba = 3 cm. Zdôvodnite stavbu! Koľko rôznych možností je na úrovni? 1.-34. Olympiáda - 5.
Cvičenie 020814: V nasledujúcom probléme s delením doplňte chýbajúce číslice! Ako sa určovali číslice? (Dôvod!):? = 8 Cvičenie 020815: Dokážte nasledujúcu vetu: 0 Ak leží stred obvodu trojuholníka na jednej z jeho strán, je trojuholník v pravom uhle! Cvičenie 020816: Daný je obdĺžnik ABCD, ktorého všetky strany sú rozdelené v pomere 1: 2, ako na obrázku. Subbody nazývame P, Q, R, S a spojíme ich nepretržite. D S R C a) Vykonajte túto konštrukciu pre obdĺžnik so stranami AB = 10 cm a BC = 7 cm! Q b) Aký druh štvorca je štvorec P QRS? (Dôkaz!) A P B c) Ako súvisí plocha štvorca P QRS s plochou obdĺžnika ABCD? Platí výsledok aj pre ďalšie takto rozdelené obdĺžniky? (Dôvod!) 1.-34. Olympiáda - 7
2. Matematická olympiáda 2. stupeň (Kreisolympiad) Cvičenie Cvičenie 020821: Je potrebné dokázať nasledujúcu vetu: Ak nie je možné skrátiť zlomok a b a + b, potom nemožno vždy skrátiť a b. Cvičenie 020822: Podľa plánov na XXII. Na zjazde strany KSSS sa uvádza, že produkcia uhlia v roku 1980 je o 687 miliónov t vyššia ako v roku 1960. Produkcia uhlia v roku 1980 je 234 percent v porovnaní s rokom 1960. Vypočítajte plánovanú produkciu uhlia na rok 1960! Zaokrúhlené na celý milión ton! Cvičenie 020823: Vypočítajte: m 2 n 2 mn + m2 + 2mn + n 2. m + n Cvičenie 020824: Ktoré x vyhovujú nasledujúcej rovnici: (x 2 1) (x: 3 3 1) (3x = 2 4 1) (x: 6 2 2)? 3 Cvičenie 020825: Drôtené laná často pozostávajú z prameňov, ktoré zase pozostávajú z jednotlivých oceľových drôtov. Pramene sú obalené okolo vymasteného konopného jadra, ktoré maže lano zvnútra. Obrázok zobrazuje prierez takýmto lanom, ktoré pozostáva zo 42 drôtov a (šedo sfarbeného) konopného jadra. Každý drôt má priemer 1 mm. Aký je priemer kruhu okolo prierezu lana? Dôvod! 1.-34. Olympiáda - 8
Cvičenie 020835: Dokážte nasledujúcu vetu: Ak nakreslíte dva priemery jedným priesečníkom dvoch kružníc, ich ďalšie koncové body ležia v priamke s druhým priesečníkom kružníc. Cvičenie 020836: a) Existujú tri priame čiary g 1, g 2 a g 3, z ktorých žiadna nie je na seba kolmá. Pretínajú sa v bode S. Na g 1 je ďalší bod A. Nájdite trojuholník ABC, v ktorom výšky ležia na priamkach. b) Vyšetrite všetky prípady, v ktorých sú 2 priamky navzájom kolmé a bod A leží na jednej z týchto čiar alebo na tretej! 1.-34. Olympijské hry - 11
a) Postavte lichobežník! b) Zdôvodnite stavbu! 1.-34. Olympiáda - 15. ročník
f) obdĺžnik (nie štvorec) g) päťuholník h) osemuholník? Ktoré možné vzory nie sú uvedené v zozname? Pre každý prierez urobte náčrt, z ktorého uvidíte, ako musí byť urobený plochý rez, ak chcete zachovať príslušný prierez! 1.-34. Olympiáda - 17.
4. matematická olympiáda 2. stupeň (kruhová olympiáda) Cvičenie Cvičenie 040821: Akýkoľvek lichobežníkový ABCD sa má transformovať na obdĺžnik s rovnakou plochou (konštrukcia!). Cvičenie 040822: Pomocou ľubovoľného trojciferného čísla vytvorte číslo s opačnou postupnosťou číslic a dokázajte, že rozdiel medzi týmito dvoma číslami je deliteľný 99! Cvičenie 040823: Uvádzajú sa dva susedné uhly α a β s vrcholom A a bodom D na spoločnej nohe (pozri obr.). Α β α D a) Zostrojte z tohto obrázku trojuholník ABC tak, aby AD bola priamka! b) Za akých podmienok sa trojuholník ABC stane rovnostranným? Cvičenie 040824: Peter je na letnom tábore. Chce kúpiť Brause pre svoju skupinu za 21 fenigov za fľašu a vezme si so sebou prázdne fľaše. Za vykúpený vklad (30 fenigov za každú z prázdnych fliaš) by chcel kúpiť čo najviac fliaš sódy. Za každú fľašu je potrebné zložiť ďalších 30 vkladov. Ukazuje sa, že dostal o 6 fliaš menej, ako vydal. Dostáva tiež peniaze späť. Koľko prázdnych fliaš si Peter vzal so sebou? (Nie je len jedno riešenie.) 1.-34. Olympiáda - 18. ročník
4. matematická olympiáda 3. úroveň (okresná olympiáda) Cvičenie Cvičenie 040831: Ak zameníte číslice dvojciferného čísla n, dostanete číslo, ktoré je 8 3 číslo n. násobok veľkosti n. Úloha 040832: Zostrojte pravý trojuholník, ak je daný polomer r vpísanej kružnice a dĺžka nohy, a popíšte konštrukciu! Za akých podmienok je možné stavbu uskutočniť? Cvičenie 040833: Z 31 žiakov 4. ročníka môže 21 plávať, 24 bicyklovať a 19 korčuľovať. Pre súťaž sú povinní študenti, ktorí môžu a) plávať a bicyklovať, b) plávať a korčuľovať, c) bicyklovať a korčuľovať, d) plávať a bicyklovať a korčuľovať. Koľko študentov v triede je k dispozícii najmenej pre písmená a), b), c) ad), koľko najviac? Cvičenie 040834: Uvedené sú tri segmenty s dĺžkami p 1, p 2 a r s p 1 c (2) a + b = c + d (3) a + d