Simulácia Rothen ecotronics Bern predátorská korisť v programe Excel (Lotka-Volterra)

Simulujte systém dravec-korisť v programe Excel

Autor: Dr. Silvia Rothen, rothen ecotronics, Bern, Švajčiarsko
Posledná revízia: 13.05.18

Tí, ktorí majú základné matematické vedomosti, môžu ľahko vytvoriť jednoduchšie dynamické modely v programe Excel. Pretože v špeciálnom modelovacom softvéri, ako je Stella, neexistuje školenie, je Excel vhodný aj na objasnenie ekologických vzťahov v environmentálnej výchove pomocou malých modelov.

Obsah

úvod

Možno si pamätáte článok o technologických pretekoch [1]. Už som tam ukázal, že pomocou Excelu môžete simulovať jednoduché dynamické systémy. Dnes si trúfame pracovať na jednom z najslávnejších ekologických modelov, systéme predátor-korisť Lotka-Volterra [2,3]. Ako zdroj som však nepoužil pôvodný text, ale verziu BASIC od Hartmuta Bossela v knihe „Umweltdynamik“ [4, s. 91-102]. Hlavnou výhodou programu Excel oproti jazyku BASIC je, že sa môžete sústrediť na modelové rovnice v programe Excel bez toho, aby ste museli programovať rozhrania na vstup a výstup údajov. Zdá sa, že spomínaná kniha, ktorá obsahuje celkom 30 modelov, už nie je v predaji. Medzitým však existuje nová kniha od tohto autora s názvom „Modellbildung und Simulation“ (1994) na rovnakú tému [5].

Volterra vyvinul svoj model na základe desaťročia trvajúcej série údajov spoločnosti Hudson Bay Company o kožiach dodávaných horskými zajacmi a rysmi. Obe krivky vykazovali znateľné, dosť pravidelné oscilácie a zdalo sa, že spolu súvisia. Pretože je zajac horský dôležitou korisťou rysa, to nie je prekvapujúce. S dynamickým modelom Volterra, ktorý ideme znovu vytvoriť, je možné tieto vibrácie pochopiť a vysvetliť.

Slovný popis modelu

Náš model simuluje malý potravinový reťazec s líškou ako mäsožravým predátorom a zajacom ako bylinožravým zvieraťom. V modeli Bossel je pastvina obmedzená, a preto nemôže kŕmiť neobmedzený počet králikov. Maximálny možný počet korisťových zvierat vyplýva z kapacity pasienkov. Líška na druhej strane potrebuje za obdobie zabiť určitého králika, aby nehladovala. Mnoho líšok zabije mnoho zajacov, a tak zníži počet zajacov. Menší počet králikov znamená, že nie všetky líšky nájdu dostatok králikov a niektoré vyhladujú na smrť. Z dlhodobého hľadiska to tiež znižuje populáciu líšok. Keď zajace loví menej líšok, populácia zajaca sa môže opäť rozšíriť. Už zo slovného opisu modelu a z diagramu môžete vidieť, že výsledkom je cyklická oscilácia pre populáciu králikov aj pre populáciu líšok, pričom počet líšok zaostáva za populáciou králikov.

rothen

Modelové rovnice

Namiesto práce na tejto rozšírenej modelovej verzii od Bossela, v ktorej nie sú len králiky a líšky, ale aj obmedzené možnosti pasenia, vytvárame jednoduchší model. Táto simulácia pozostáva iba z dvoch rovníc so štyrmi parametrami a dvoma premennými. Premenné sú populácia králikov x a populácia líšok y. Zajace sa exponenciálne množia v neprítomnosti líšok (parameter a), zatiaľ čo každé stretnutie s líškami znižuje ich populáciu (parameter c). U líšok je to presne naopak: Bez koristi ich populácia klesá exponenciálne (parameter b) a iba ak sa stretnú so zajacmi, môže ich to zachrániť pred hladom a zvýšiť populáciu (parameter d). Pravdepodobnosť, že sa králiky a líšky stretnú, závisí od oboch zásob, t. J. Od produktu xy. Z toho vzniknú nasledujúce dva vzorce na zmenu zásob za časovú jednotku.

Pred spustením simulácie musíte definovať hodnoty parametrov a definovať ľubovoľné počiatočné zásoby X0 a Y0 pre premenné populácia králikov a líšok. Nasledujúce hodnoty, prevzaté od Hartmuta Bossela, vedú k peknej cyklickej oscilácii:

a Čistá miera rastu králikov 0,08
b Líšky chudnutie/týždeň 0,2
c Pravdepodobnosť požierania jedál na stretnutiach 0,002
d Pravdepodobnosť koristi pre líšky 0,0004
X0 Počiatočné zajace 500
Y0 Počiatočné líšky 20

Implementácia simulácie v programe Excel

Teraz máme pre model zatiaľ všetko, čo potrebujeme. V programe Excel to implementujeme tak, že najskôr urobíme dva bloky, v ktorých sú na jednej strane hodnoty parametrov a na druhej strane počiatočné hodnoty premenných. Potom nasleduje model vo forme tabuľky, pričom každý časový krok vedie k novému riadku a každá rovnica vyplní stĺpec. Pre náš jednoduchý model dravec-korisť to vedie k piatim stĺpcom. V prvom stĺpci vidíme periódu T. Model prevádzkujeme na 200 periód, teda od T = 1 do T = 200, čo vedie k 200 riadkom. Potom nasledujú naše dve rovnice v ďalších dvoch stĺpcoch zhora, teda prírastok králikov dx a prírastok líšok dy. Pretože nás vlastne zaujíma celková zásoba, potom vypočítajte stavy vo štvrtom a piatom stĺpci, ktoré pozostávajú z akcií z predchádzajúceho obdobia a rastu. Z matematického hľadiska to pre králiky znamená:

Aby sme nezískali biologicky nereálny model, je potrebné zaviesť ďalšie obmedzenie zásob, konkrétne to, že ani x, ani y sa nemôžu stať zápornými. Prísne vzaté, bolo by potrebné ďalšie obmedzenie, aby sa zabezpečilo, že králiky aj líšky sa môžu množiť, iba ak ešte zostanú najmenej dva exempláre. Zatiaľ však od tohto posledného obmedzenia upustíme. Neskôr nechám na vás, aby ste model v tomto smere rozšírili.

simulácia

Simulačný model v programe Excel

Na snímke obrazovky môžete vidieť, ako je zhruba hárok s modelom štruktúrovaný. V prvom riadku dáme pracovnému listu názov. Parametre T0, ako aj a, b, c a d potom nasledujú v riadkoch 4 a 6 až 9 s popisom v stĺpci A a hodnotou v stĺpci B. Bunky B12 a B13 obsahujú počiatočné zásoby X0 a Y0 zajacov a líšok. Pretože neskôr je možné vypočítať rôzne scenáre s rôznymi počiatočnými zásobami, je vhodné tieto dve bunky farebne zvýrazniť, aby bolo zrejmé, že tu je potrebný vstup používateľa.

Až po označeniach v riadkoch 17 až 19 sa objaví prvé obdobie skutočného modelu v riadku 20. Aj keď by bolo možné vo vzorcoch modelu priamo odkazovať na hodnoty v riadkoch 4 až 13, odporúča sa namiesto nich definovať a používať názvy. Pre sprehľadnenie výpočtov sa odporúčajú názvy buniek a rozsahov buniek. Mimochodom, mená sú vždy absolútne odkazy na bunky. V našom modeli sú parametre a počiatočné hodnoty vhodnými kandidátmi na mená. Umiestnite kurzor na bunku B4 a klepnite do poľa pre meno vľavo na paneli vzorcov T0. Potom umiestnite kurzor postupne do buniek B6, B7, B8, B9, B12 a B13 a zadajte do poľa názvu a, b, c, d, X0 a Y0. Namiesto absolútnej referencie $ B $ 6 môžete odteraz jednoducho používať názov a. Vďaka tomu sú naše modelové vzorce, ktoré teraz zadávame, oveľa čitateľnejšie. To tiež zaisťuje, že odkazy na hodnoty parametrov sú stále správne, keď kopírujeme vzorce z riadku 21 smerom nadol.

ecotronics

Často prehliadané: pole s menom

Vzorce v riadku 20 sa líšia od nasledujúcich, pretože odkazujú na počiatočné hodnoty namiesto na hodnoty z predchádzajúceho obdobia. V tabuľke vidíte vzorce pre prvé dve obdobia, t. J. Riadky, a päť stĺpcov modelu.

Od druhého obdobia sa vzorce opakujú, takže počas 200 období musíme iba kopírovať riadok 21 do riadkov 22 až 219.

Zobrazenie v diagrame

Aj keď diagram už zobrazuje cyklické vibrácie, pre lepšiu prehľadnosť stále potrebuje určité optické retušovanie. Najskôr musíte dvakrát kliknúť, aby ste sa dostali do režimu úprav. Pretože populácie králikov a líšok nie sú rovnako veľké, má zmysel umiestniť líšky na sekundárnu os y. Ak to chcete urobiť, dvakrát kliknite na ružový údajový riadok líšok, vyberte kartu Osa a kliknite na sekundárnu os namiesto na primárnu os. Po zatvorení okna pomocou OK dvakrát kliknite na novovytvorenú druhú os y na pravom okraji. Na jednej strane odstráňte nadbytočné desatinné miesta otvorením desatinných miest na karte Čísla 0 dať. Namiesto toho začiarkneme políčko Použiť oddeľovač tisícov. Na druhej strane je vhodné nastaviť maximálnu hodnotu na karte Mierka 500 aby aj cez druhú os bolo na prvý pohľad zrejmé, že líšiek je menej ako zajacov. Čísla na primárnej osi y formátujeme rovnakým spôsobom, teda bez desatinných miest, ale s oddeľovačom tisícov.

Zastúpenie osi x tiež nie je zatiaľ uspokojivé, predstavuje sa ako hrubá čiara. Nápravou je karta mierky po povinnom dvojitom kliknutí na os. Do dvoch vstupných polí, ktoré sa začínajú číslom, dáme každé hodnotu 25, aby sa pomlčka so štítkom objavovala iba každých 25 období. Poslednou potrebnou zmenou, ktorú nám zostáva, je označenie pre sekundárnu os y Počet líšok vložiť. Pomáha nám ponuka Vložiť - Nadpis - Sekundárna veľkostná os (Y). Ďalšie formátovanie kozmetickejšieho typu, napríklad farebná zmena kriviek alebo premiestnenie legendy k spodnému okraju, už nechám na vás. Týmto sme dokončili náš model. Ak teraz zmeníte začiatočné zostatky v poliach D12 a D13 a prípadne aj hodnoty parametrov, môžete pomocou modelu vypočítať rôzne scenáre.

literatúry

[1] Rothen S. 1996: „Simulácia technologických závodov v programe Excel“, M + K Computermarkt 96/3, s. 60/61

[2] Lotka A.J. 1956: „Prvky matematickej biológie“, Dover, New York

[3] Volterra V. 1931: „Matematická analýza maturitného vyšetrenia“, Gauthier-Villars, Paríž

[4] Bossel H. 1985: „Environmentálna dynamika - 30 programov pre kybernetické environmentálne skúsenosti na každom počítači BASIC“, te-wi, Mníchov

[5] Bossel H. 1994: „Modellbildung und Simulation“, 2. vydanie, Vieweg-Verlag, Braunschweig.

Stiahnite súbor Excel

Tu si môžete stiahnuť kompletný súbor programu Excel (verzia 5.0/7.0) s popísaným variantom modelu a ďalší s obmedzeniami na pastvinách. Súbor Excel neobsahuje žiadne makrá a je komprimovaný ako súbor ZIP (35 KB).

Knižný tip

A mimochodom, teraz existuje „Excel 2000 Direkt“, autorská kniha Excel, ako antikvariát v Data Becker za iba 2,53 eura. Objednávajte pomocou kľúčového slova „excel 2000 direct“ pod Data Becker.

Táto webová stránka bola aktualizovaná 03.05.18 o 22:34 používateľom rothen ecotronics vytvorené alebo revidované.