Tropická interpolácia; EWSTranslate
Frank Sottile
9. októbra 2004, Station College, Texas.
Každý vie, že dva body určujú priamku a veľa ľudí, ktorí študovali geometriu, vie, že päť bodov v rovine určuje kužeľovnicu. Všeobecne platí, že ak máte v rovine m náhodných bodov a chcete cez to všetko prejsť racionálnou krivkou stupňa d, nemusí byť riešenie tohto problému s interpoláciou (ak je m príliš veľké) alebo nekonečné množstvo riešení ( ak je m príliš malé) alebo konečný počet riešení (ak je m spravodlivé). Zdá sa, že „m správne“ znamená m = 3 d -1 (m = 2 pre čiary a m = 5 pre kužeľovitý tvar).
Ťažšou otázkou je, ak m = 3 d -1, koľko racionálnych kriviek stupňa d interpoluje body? Zavolajme toto číslo N d, takže N 1 = 1 a N 2 = 1, pretože riadok a kuželosečka predchádzajúceho odseku sú jedinečné. Už dlho je známe, že N 3 = 12, a v roku 1873 Zeuthen [Ze] ukázal, že N 4 = 620. To bolo miesto, kde problémy pretrvávali asi pred desiatimi rokmi, keď Kontsevich a Manin [KM] použil asociativitu v kvantovej kohomológii na zaistenie elegantného opakovania tohto čísla.
Témy výskumu v semestri MSRI zima 2004 o topologických aspektoch skutočnej algebraickej geometrie zahŕňali skutočnú alumbrickú geometrickú geometriu, tropickú geometriu, krivky reálnej roviny a aplikácie skutočnej algebraickej geometrie. Všetci sú navzájom utkaní v rozvíjajúcom sa príbehu tohto problému interpolácie, prototypu problému s vyčíslením geometrie, čo je umenie počítania geometrických útvarov určených danými podmienkami výskytu. Je tu ďalší problém: koľko riadkov vo vesmíre sa stretne so štyrmi danými riadkami? Aby ste na to odpovedali, všimnite si, že tri riadky ležia na jednom dvojhlavom hyperboloide.
Tri riadky sú v jednom rozhodnutí a druhé rozhodnutie sa skladá z riadkov, ktoré rešpektujú tri dané riadky. Pretože je hyperboloid definovaný kvadratickou rovnicou, štvrtý riadok sa stretne v dvoch bodoch. Cez každý z týchto dvoch bodov je v druhom rozsudku čiara, a to sú dve čiary, ktoré zodpovedajú štyrom daným čiaram.
Geometrický výčet funguje najlepšie na komplexných číslach, pretože počet skutočných číslic závisí celkom mierne od konfigurácie číslic, ktoré poskytujú podmienky výskytu. Napríklad štvrtý riadok sa môže stretnúť s hyperboloidom v dvoch reálnych bodoch alebo v dvoch komplexných konjugačných bodoch, takže existujú dve reálne čiary alebo žiadne stretnutia, ktoré zodpovedajú všetkým štyrom. Na základe mnohých príkladov sme očakávali, že každý enumeratívny problém bude mať všetky svoje skutočné riešenia [Takže].
Ďalším problémom je problém s 12 racionálnymi krivkami, ktoré interpolujú 8 bodov v rovine. Väčšina matematikov je oboznámená s uzlovou (racionálnou) kockou zobrazenou vľavo dole. Vpravo je iný typ skutočnej racionálnej kubiky.
Na druhej krivke sa v izolovanom bode stretávajú dva komplexné segmenty konjugátov. Ak necháme N (t) počet reálnych kriviek typu t interpolujúcich 8 bodov, potom Kharlamov a Degtyarev [DK] ukázali, že N (
) = 8. Tu je popis ich základných topologických metód.
Pretože takýchto kriviek je najviac 12, N () + N () \ leq 12, existuje 8, 10 alebo 12 skutočných racionálnych kubík interpolujúcich 8 skutočných bodov v rovine, v závislosti od počtu (0, 1 alebo 2) kocky s izolovaným bodom. Teda bude 12 skutočných racionálnych kociek interpolujúcich ľubovoľných 8 z 9 priesečníkov medzi dvoma kockami pod.
Welschinger [W], ktorý bol minulú zimu postdoktorátom MSRI, rozvinul tento príklad do teórie. Všeobecne platí, že singularity racionálnej krivky v rovine C sú izolované uzly alebo body. Paritou počtu uzlov je jeho znamienko s (C), ktoré je buď 1 alebo -1. Ak vezmeme do úvahy 3 d-1 reálnych bodov v pláne, Welschinger uvažoval o absolútnej hodnote množstva
súčet za všetky skutočné racionálne krivky stupňa C, ktoré interpolujú body. Poukázal na to, že táto vážená suma nezávisí od výberu bodov. Napíšte W d pre tento invariant Welschinger. Napríklad sme videli iba to, že W 3 = 8.
Išlo o postup, pretože W d bol (takmer) prvým skutočne netriviálnym invariantom v skutočnej algebraickej enumeratívnej geometrii. Všimnite si, že W d je dolná hranica počtu reálnych racionálnych kriviek o 3 d -1 reálnych bodov v rovine a W d \ leq N d .
Mikhalkin, ktorý bol organizátorom semestra, stanovil, že výpočtový kľúč W d pomocou tropickej algebraickej geometrie [Mi]. Toto je geometria tropického návesu, kde operácie maximum a + s reálnymi číslami nahrádzajú obvyklé operácie + a násobenie. Tropický polynóm je lineárna lineárna funkcia tvaru T (x, y) = max (i, j) < x i + y j + c i, j >,ak je výpočet s obvyklými aritmetickými operáciami a maximum sa berie ako konečná podmnožina Z 2 z exponentov T a c i, j sú reálne čísla koeficienty T. Tropický polynóm T definuje tropickú krivku, čo je množina bodov (x, y), kde T (x, y) nie je diferencovaná. Tu sú niektoré tropické krivky.
Stupeň tropickej krivky je počet lúčov, ktoré majú sklon k nekonečnu v ktoromkoľvek z troch smerov západ, juh alebo severovýchod. Tropická krivka je racionálna, ak ide o lineárny ponor do kúskov stromu. Uzly majú valenciu 4.
Mikhalkin ukázal, že existujú iba početné tropické racionálne krivky stupňa d interpolujúce 3 d-1 všeobecné body. Zatiaľ čo počet týchto kriviek závisí od výberu bodov, Mikhalkin pripojil ku každej tropickej krivke kladné multiplicity, takže vážený súčet nie je a v skutočnosti sa rovná N d. Tiež tieto multiplicity a počet tropických kriviek znížil na kombinatoriku priehradových trás v trojuholníku bočnej dĺžky d .
Michalkin použil korešpondenciu zahŕňajúcu mapový denník: ( C. *) 2 -> R 2 definované (x, y) | -> (log | x |, log | y |) a určitá “zložitá štruktúra na ( C. *) 2. Pod touto veľkou komplexnou hranicou racionálne krivky stupňa d interpolujúce 3 d -1 body v ( C. *) 2 sa deformuje pri „zložitých tropických krivkách“, ktorých obrázky pod logom sú obvyklé tropické krivky interpolujúce obrázky bodov. Množstvo tropickej krivky T je počet zložitých tropických kriviek, ktoré premietajú T .
Čo skutočné krivky? Po tejto korešpondencii pripojil Mikhalkin ku každej tropickej krivke skutočnú multiplicitu a ukázal, že ak tropické krivky interpolujúce určitý počet bodov 3 d -1 majú celkovú skutočnú multiplicitu N, potom existujú 3 d -1 skutočné body, ktoré sú interpolované N kriviek skutočného stupňa d. Toto skutočné množstvo je opäť vyjadrené v zmysle priehradových dráh.
A čo Welschingerov invertor? Podobne pripojil Mikhalkin signalizovanú váhu ku každej tropickej krivke (tropická verzia znamenia Welschinger) a ukázal, že zodpovedajúci vážený súčet sa rovná Welschingerovej nemennej. Rovnako ako predtým, túto podpísanú tropickú váhu možno vyjadriť ako mriežkové cesty.
Počas semestra na MSRI použili Itenberg, Kharlamov a Shustin [IKS] výsledky Mikhalkina na odhad Welschingerovej nemennosti. Ukázali, že W d \ geq d!/3 a rovnako W d = log N d + O (d), log N d = 3 d log d + O (d). Teda aspoň logaritmicky najracionálnejšie krivky stupňa d interpolujú 3 d -1 skutočných bodov v pláne je skutočných.
Existujú dva ďalšie prípady tohto javu dolných limitov, z ktorých prvý predchádza práci Welschingerovej. Predpokladajme, že d je rovnaké a nech W (s) je skutočný polynóm stupňa k (d - k +1). Potom Eremenko a Gabrielov [EG] ukázali, že existujú skutočné polynómy f 1 (s), ..., f k (s) stupňa d, ktorých Wronski determinant je W (s). V skutočnosti sa ukázali ako dolná hranica počtu k-plusov polynómov, až do ekvivalentnosti. Podobne, zatiaľ čo na MSRI študovali Soprunova a I [SS] vzácne polynomické systémy spojené s posetmi, čo ukazuje, že počet skutočných riešení je obmedzený pod znakom posetovej nerovnováhy. Takéto nižšie limity pre početné problémy, ktoré zahŕňajú existenciu skutočných riešení, sú pre aplikácie dôležité.
Napríklad tento príbeh bol rozprávaný pri pive jeden večer na workshope MSRI o geometrickom modelovaní a skutočnej algebraickej geometrii v apríli 2004. Jeden účastník, Schicho, si uvedomil, že výsledok W 3 = 8 pre kocky vysvetlil, prečo metóda na ktorý ju rozvíja k práci. Toto bol algoritmus na výpočet približnej parametrizácie oblúka krivky pomocou skutočnej kubickej racionálnej interpolácie 8 bodov na oblúku. Zostávalo nájsť podmienky, ktoré by zaručili existenciu riešenia blízkeho oblúku. Toto vyriešil iba Fiedler-Le Touzé, postdoktor MSRI, ktorý študoval kocky (nie nevyhnutne racionálne) interpolujúce 8 bodov, aby pomohol klasifikovať skutočné krivky planéty podľa stupňa 9.
Bibliografia
Ďakujeme nášmu redaktorovi Silviovi Levymu a členom MSRI, ktorých činnosť popisujeme.
S podporou Národnej vedeckej nadácie granty CAREER DMS-0134860 a DMS-9810361 (financovanie MSRI) a Clay Mathematical Institute.