Vypočítať uhly Vypočítať uhly
Na výpočet uhlov sa pozrieme v tomto článku. Sú tiež uvedené zodpovedajúce vzorce a príklady. Tento článok je súčasťou našej strednej matematickej úrovne.
V matematike existuje veľa vzorcov na výpočet uhlov. Nasleduje iba zoznam tém týkajúcich sa výpočtu uhlov, ktorým sa budeme podrobnejšie venovať ďalej a tiež uvedieme zodpovedajúce vzorce a príklady. K témam:
- Goniometrické funkcie sin, cos a tan
- Sínusový zákon a kosínusový zákon
- Súčet uhlov trojuholníka a štvorca
- Vypočítajte uhol rezu
1. trigonometrické funkcie sin, cos a tan
Funkcie uhla možno použiť na výpočet uhlov. Funkcie sínus, kosínus a tangenta na výpočet uhla sa môžu použiť iba na trojuholník s pravým uhlom. Nasledujúca grafika vám zobrazuje taký trojuholník. Potom pôjdeme do výpočtu uhlov:
Toto bol pravouhlý trojuholník. V tomto okamihu si musíte pamätať niekoľko výrazov. Tieto sa vo výpočte objavujú znova a znova. Je potrebné poznamenať niekoľko vlastností:
- Vpravo v dolnej časti trojuholníka je nakreslený pravý uhol
- Uhol vľavo dole označíme ako α (hovorí: Alfa)
- Strana „a“ sa označuje ako opačný katéter, pretože leží oproti uhlu α
- Strana „b“ sa nazýva susedná, pretože leží v uhle α
- Bočná strana „c“ sa nazýva prepona
Výrazy susedné, protiľahlé a prepona by ste už mali poznať z Pytagorovej vety. Prvý spôsob, ako vypočítať uhol, je sínus. Uplatňuje sa tento matematický vzťah:
- Pre alfa (α) sa používa uhol v stupňoch, napríklad 20 stupňov alebo 40 stupňov.
- Dľžky pre opačný katéter a preponu musia byť použité v rovnakých jednotkách, napríklad vložte všetko v metroch.
- Musíte nastaviť kalkulačku na DEG (stupeň), inak dostanete nesprávny výsledok.
- Ak chcete vypočítať uhol, musíte pracovať s arcsinom (pozri príklady)
Príklad 1 (sínus):
Opačný katéter má dĺžku 3 cm (a = 3 cm) a prepona má dĺžku 5 cm (c = 5 cm). Aký veľký je uhol α (alfa)?
Tabuľka sa dá posúvať doprava
Vysvetlenie výpočtu: Vloží čísla do sínusovej rovnice. Potom sa počíta rozdelenie vpravo. Dostanete sinα = 0,6 stupňa. Teraz prichádza zaujímavá časť: Aby ste sa zbavili hriechu, musíte použiť arcsin. Musíte teda ísť do kalkulačky arcsin 0,6 vstúpiť. Výsledkom je uhol 36,78 stupňov (ak nastavíte kalkulačku na stupeň).
Cosine/Cosine:
Po sínuse prichádzame do kosínu/kosínu. Vzorec vyzerá takto:
Príklad 2 (kosínus):
Susedný katéter má dĺžku 3 cm (b = 3 cm) a prepona má dĺžku 5 cm (c = 5 cm). Aký veľký je uhol α (alfa)?
Tabuľka sa dá posúvať doprava
Poznámka k výpočtu s kosínom: Vložte čísla do kosínusovej rovnice. Potom sa počíta rozdelenie vpravo. Získate cosα = 0,6 stupňa. Teraz prichádza zaujímavá časť: Ak sa chcete zbaviť kosu, musíte použiť arccos. Musíte teda ísť do kalkulačky arccos 0,6 vstúpiť. Výsledkom je uhol 53,13 stupňov (ak nastavíte kalkulačku na stupeň).
Po sínuse a kosínuse je teraz tangenciálna funkcia zapnutá. Aj tu je v prvom rade vzorec:
Príklad 3 (dotyčnica):
Susedná katétra má dĺžku 3 cm (b = 3 cm) a opačná katéta má dĺžku 3 cm (a = 3 cm). Aký veľký je uhol α (alfa)?
Tabuľka sa dá posúvať doprava
Pripojte čísla do tangensovej rovnice. Potom sa počíta rozdelenie vpravo. Získate tanα = 1. Teraz prichádza zaujímavá časť: Aby ste sa zbavili opálenia, musíte použiť arctan. Musíte teda ísť do kalkulačky arktán 1,0 vstúpiť. Výsledkom je uhol 45 stupňov (ak nastavíte kalkulačku na stupeň).
2. Zákon sínusový a zákon kosínusový
V trigonometrii zákon sínusov ustanovuje vzťah medzi uhlami všeobecného trojuholníka a opačnými stranami. Vzorce sínusovej frekvencie odkazujú na nasledujúcu grafiku:
Sínusové vzorce:
V každom trojuholníku sa dĺžky dvoch strán chovajú ako sínusové hodnoty opačných uhlov:
Zákon sínusov je často formulovaný ako pomerová rovnica:
Sú známe dĺžky a = 5 cm, b = 4 cm a uhol α = 70 stupňov. Vypočíta sa uhol β.
Riešenie: Vezmeme informácie z textu a vložíme ich do vzorca (vysvetlenie nižšie).
Vzorec prevedieme na sin (β) a potom vložíme hodnoty. Cez arcsin potom dostaneme uhol.
V trigonometrii zákon kosínov vyjadruje vzťah medzi tromi stranami a uhlom v trojuholníku. Vzorce pre kosínový zákon odkazujú na nasledujúcu grafiku:
Kosmické zákonitosti:
V trigonometrii zákon kosínov spája tri strany trojuholníka s kosínom jedného z troch uhlov trojuholníka. Vzorec pre toto vyzerá takto:
Udáva sa A = 11, b = 10 a c = 13. Vypočíta sa uhol α. Ďalej uvidíte riešenie tejto úlohy, vysvetlenie nasleduje ďalej:
Najskôr usporiadame vzorec tak, aby cos (α) bol na jednej strane rovnice a všetky ďalšie informácie na druhej strane. Potom vložíme hodnoty a vypočítame informácie. Posledná vec, ktorú musíte urobiť, je použiť arccos na získanie uhla.
3. Súčet uhlov trojuholníka a štvorca
Začnime trojuholníkom. Má tri strany a tri uhly. Nasledujúca grafika zobrazuje, ako vyzerá trojuholník:
Pre uhly je zaujímavé toto: Súčet všetkých uhlov v trojuholníku je 180 stupňov. To znamená:
Príklad: Viete, že alfa uhol je 60 stupňov a beta uhol je 90 stupňov. Potom musí byť uhol gama 30 stupňov, pretože 60 stupňov + 90 stupňov + 30 stupňov = 180 stupňov.
Začnime definíciou štvorca: Rovinná figúra ohraničená štyrmi riadkami sa nazýva štvorec. Štyri čiary sa nazývajú strany štvorca. Ak sú dve strany vedľa seba, majú spoločný rohový bod. Týmto rohovým bodom sú zvyčajne priradené veľké písmená A, B, C a D. Okrem toho sú uhly zakreslené do štvorca v matematicky pozitívnom zmysle. Sú to α (vyslovuje sa: alfa), β (vyslovuje sa beta), γ (vyslovuje sa: gama) a δ (vyslovuje sa: delta). Čiary, ktoré tvoria štvorec, sú tiež označené písmenami a, b, c a d.
Nasledujúca grafika zobrazuje štvorec:
Vlastnosti štvorca:
- rozsah: Súčet všetkých dĺžok čiar sa nazýva obvod štvorca.
- rozsah = a + b + c + d
- Súčet uhlov: Ak pridáte súčet všetkých vnútorných uhlov - pozri grafiku vyššie - získate 360 stupňov, ako kruh
- Súčet uhlov = 360 ° = α + β + γ + δ
- informácie: Štvoruholník má štyri rohy, štyri vnútorné uhly a štyri ohraničujúce segmenty.
4. Vypočítajte uhol rezu
Vektorový výpočet je tiež o výpočte s uhlami. V ďalšom sa pozrieme na to, ako vypočítať uhol priesečníka medzi dvoma priamkami a uhol priesečníka medzi priamkou a rovinou.
Uhol rezu dve priame čiary:
Väčšine sa to môže zdať úplne logické, ale pre úplnosť je potrebné určiť podmienku pre výpočet uhla priesečníka dvoch priamok: Tieto dve priamky sa musia vôbec pretínať. Ak máme vo vesmíre dve priame čiary, ktoré sa nikde nepretínajú, je pre ne nezmyselné vypočítať pre nich priesečný uhol. Pokiaľ nie je v úlohe výslovne uvedené, že sa pretínajú dve priamky, môžete to skontrolovať sami (viď náš článok Priesečník dvoch priamych čiar).
Ak je teraz zabezpečené, že existuje priesečník, môžete teraz začať vypočítať uhol križovatky. Najskôr malá grafika, po ktorej nasleduje vzorec na výpočet uhla:
Vzorec pre výpočet uhla rezu:
Priesečníkový uhol φ priamok g1 a g2 s príslušnými smerovými vektormi sa počíta takto:
Dôležité: Pred použitím arccos by ste mali kalkulačku nastaviť na DEG alebo DEGREE.
V nasledujúcom texte je potrebné vypočítať priesečníkový uhol medzi dvoma priamkami. Poznámka: V našom článku Priesečník dvoch línií sa už ukázalo, že sa tieto dve priamky vôbec pretínajú.
Uhol rezu: priamo na rovinu
V tejto časti by ste sa mali naučiť, ako vypočítať priesečník uhla medzi priamkou a rovinou. Najprv vám poskytneme všeobecný vzorec a príklad pre lepšie pochopenie.
Vzorec: Uhol križovatky priama čiara s rovinou
Poznámka: Výpočet je možné vykonať obzvlášť ľahko, ak je rovina uvedená v súradnicovom tvare. V prípade potreby môžete previesť aj úroveň. Pozrite si časť Konverzia parametrickej rovnice na koordináciu rovnice.
Je uvedená rovina E a priamka g. Vypočíta sa priesečník medzi rovinou a priamkou.
Riešenie: Vezmeme normálový vektor z roviny a potom vložíme do rovnice všetky potrebné informácie na výpočet uhla.