Binomické vzorce na mocninu 3, 4, 5

V tomto článku sa zaoberáme binomickými vzorcami s vyššími mocnosťami. Vypočítajú sa aj príklady. Tento článok je súčasťou našej matematickej časti.

Keď hovoríme o binomických vzorcoch, väčšine ľudí napadnú tri „normálne“ binomické vzorce s exponentom 2. Ak ich hľadáte, nájdete ich v článku binomické vzorce. Tu sa pozrieme na ďalších exponentov. Jedná sa o dvojčlenné vzorce do sily 3, 4, 5 atď.

Vysvetlenie ako video:
Táto téma je k dispozícii aj ako video. V tejto časti sú uvedené typické úlohy, príklady a odvodeniny. Na prepnutie do režimu celej obrazovky je možné použiť aj tlačidlo. Video je k dispozícii aj priamo v sekcii Binomické vzorce: Video s vyššími silami. Ak máte problémy s prehrávaním, pomôže vám článok Problémy s videom.

Binomické vzorce na mocninu 3

Začnime s binomickými vzorcami, keď je exponent 3. Najprv je tu kompletný matematický kontext. Potom prejdeme k derivácii a potom sa pozrieme na príklady.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Najprv si to celé podrobne spíšeme. Potom vynásobíme (a + b) · (a + b) a dostaneme 2 + 2ab + b 2. Ako už vieme z „normálnych“ binomických vzorcov. A potom tento výsledok vynásobíme (a + b). Nasledujú jednotlivé kroky:

(a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + ab + ba + b 2)
(a + b) 3 = (a + b) (a 2 + 2ab + b 2)
(a + b) 3 = a a 2 + a 2ab + a b 2 + b a 2 + b 2ab + b b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3

(3 + 5) 3 = ?
(3 + 5) 3 = 3 3 + 3 3 5 2 + 3 3 2 5 + 5 3
(3 + 5) 3 = 512

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Binomické vzorce na silu 4 a 5

Pozrime sa ďalej na znásobenie mocnin 4 a 5 binomických vzorcov.

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(a - b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 -4ab 3 + b 4
(a - b) 5 = a 5 - 5a 4 b + 10a 3 b 2 -10a 2 b 3 + 5ab 4 -b 5

Príklady odvodení:

Pre derivácie som použil výsledky pre výkon 3 na výpočet výkonu 4. A potom znova použijeme tento výsledok na výpočet sily 5. Týmto spôsobom možno odvodiť aj vyššie potencie a rozdiely.

(a + b) 4 = (a + b) (a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3)
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b) 5 = (a + b) (a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4)
(a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

(2 + 3) 4 = 2 4 + 4 2 3 3 + 6 2 2 3 2 + 4 2 3 3 + 3 4
(2 + 3) 4 = 625