Dohoda o vzdelávacích štandardoch pre maturitu (platová trieda 9) (rozhodnutie
Uznesenia Stálej konferencie vzdelávacích štandardov z matematiky pre maturitu (9. ročník) (podliehajú redakčným zmenám) Strana Dohoda o vzdelávacích štandardoch pre vysvedčenie pre stredné školy (9. ročník) (uznesenie konferencie ministrov školstva z 15. októbra 2004) 3 Vzdelávacie štandardy z matematiky pre stredoškolské vysvedčenie (9. ročník) ) (Uznesenie konferencie ministrov školstva a kultúry z 15. októbra 2004) 5
Sekretariát Stálej konferencie ministrov školstva a kultúry Spolkovej republiky Nemecko odkaz IV A Postfach 22 40 53012 Bonn 2
Vzdelávacie štandardy z matematiky pre maturitu (9. ročník) Obsah Page 1 Príspevok matematiky k výučbe 5 2 Všeobecné matematické kompetencie v matematike 7 3 Normy pre obsahové kompetencie v matematike 9 3.1 Centrálne matematické predstavy 9 3.2 Matematické obsahové kompetencie usporiadané podľa centrálnych ideí 9 4 Príklady cvičení 13 4.1 Oblasti požiadaviek na všeobecné matematické kompetencie 13 4.2 Komentované príklady 16 4
Uvádzanie príkladov ilustruje dosiahnutie normy tým, že ukazuje konkrétnu kvalitu matematickej práce, ktorú je potrebné dosiahnuť, aby boli normy splnené. Sú preto určené aj na adaptáciu a tvorivú diskusiu pre učiteľov a odborné vysoké školy. 6.
2 Všeobecné matematické kompetencie z predmetu matematika Získaním maturitného listu po 9. ročníku by mali mať žiaci tieto všeobecné matematické kompetencie, ktoré sú relevantné pre všetky stupne matematickej práce. Tieto kompetencie sa získavajú alebo uplatňujú vždy v skupine. Riešenie problémov matematickým argumentom matematické modelovanie komunikujúce narábanie s matematickým obsahom zaoberajúcim sa symbolickými, formálnymi a technickými prvkami matematiky pomocou matematických reprezentácií V nasledujúcom texte sú vysvetlené vyššie uvedené matematické kompetencie ich konkrétnym uvedením. Ďalej sa rozlišujú v časti 4.1. (K 1) Matematická argumentácia To zahŕňa: kladenie otázok charakteristických pre matematiku (existuje? Ako sa to mení? Je to tak vždy?), A vyjadrovanie rozumných predpokladov, rozvíjanie matematických argumentov (ako sú vysvetlenia, dôvody, dôkazy) ), Popíšte a zdôvodnite možné riešenia. (K 2) Riešiť problémy matematicky To zahŕňa: prácu na zadaných a samostatne formulovaných problémoch, 7
Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a ústredných myšlienok Riešenia a pokyny Ústredná oblasť požiadaviek na nápady I II III a) Objem: 17,5 m³ L 2 K 3 b) Veľkosť dosky 35 cm x 35 cm poskytuje najväčšiu možnú terasu s rozmermi 7,00 mx 4, 90 m. Doska s rozmermi 40 cm x 40 cm je cenovo výhodnejšia varianta s o niečo menšou plochou (6,80 m x 4,80 m), ktorá ušetrí približne 110 v porovnaní s výberom inej veľkosti dosky. L 2 K 2 (2) Obrovský sud Úloha Koľko tekutiny sa zhruba zmestí do tohto suda? Uveďte dôvody svojej odpovede. Popis úlohy a jej cieľov Žiaci by si mali odfiltrovať matematicky relevantné aspekty, ako napríklad: Ktoré geometrické teleso zodpovedá tomuto tvaru valca? Aký široký alebo vysoký je tento sud? Rozhodujúcim faktorom pre riešenie je myšlienka nájsť vhodné veľkosti porovnania a modely karosérie, ktoré sa približujú realite. Neexistuje univerzálne riešenie, ale existuje niekoľko spôsobov, ako získať odôvodnené odpovede, ktoré by sa mali v triede zohľadniť. 17
Pri práci na úlohe by študenti mali preukázať, do akej miery získali základnú matematickú kompetenciu v matematickom modelovaní (K 3) ako súčasť hlavnej myšlienky merania (L 2). Vrecková kalkulačka je schválenou pomôckou. Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a vodiacich myšlienok Riešenia a poznámky Oblasť požiadaviek na vodcovské myšlienky I II III Voľba vhodného geometrického útvaru, napr. B. Valec Určte približné hodnoty pre priemer a výšku valca porovnaním osoby s valcom, aby ste vypočítali objem Za predpokladu (priemer asi 3 ma výška asi 3 m) sa do valca zmestí asi 21 000 litrov kvapaliny. Popíšte a vysvetlite riešenie L 2 K 3 (3) Dopredaj Úloha Všetko vybavenie znížené o 20%! 150,00 znížená cena? Všetko je znížené o ďalších 30%! Cenník by mal písať učeň Maximilián. Myslí si: Búrka, najskôr sa znížila o 20% a potom opäť o 30%. Teraz stojí systém iba polovicu! Čo si myslíte o? Zdôvodnite svoje vyhlásenie. 18
a) Sarah je vysoká 1,70 m a váži 60 kg. V akom rozmedzí je váš index telesnej hmotnosti? Uvažuje nad diétou. Tvoj otec nema rad dieta. Čo by si poradil Sarah? b) Sarah sa informuje na internete. index telesnej hmotnosti (BMI) sa stanoví ako podiel telesnej hmotnosti (kg) a výšky tela (m) na druhú. Sarah otec je vysoký 1,78 m a váži 103 kg. Teraz chcete vypočítať hodnotu BMI otca. Vyberajú rôzne výpočtové metódy: Otcov výpočet: 2 103 103 BMI = Sárin výpočet: BMI = 2 1,78 (1,78) 20 Kto správne počíta index telesnej hmotnosti? Zdôvodniť. c) Otec sa opäť snaží o normálnu váhu. Koľko kilogramov musí minimálne schudnúť? Popis úlohy a jej cieľ Pri práci na úlohe je potrebné analyzovať krátky, nesúvislý text s popisnými, tabuľkovými a grafickými prvkami. Úloha si vyžaduje citlivé zváženie situácie v triede. Ponúka možnosť pracovať naprieč odbormi. Pri práci na úlohe by študenti mali preukázať, do akej miery argumentujú najmä všeobecnými matematickými schopnosťami matematicky (K 1), a používať matematické znázornenia (K 4)
ako súčasť hlavnej myšlienky funkčného kontextu (L 4). Vrecková kalkulačka je schválenou pomôckou. Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a vodiacich nápadov Riešenia a pokyny Oblasť požiadaviek na vodcovské nápady I II III a) Čítanie oblasti (20 až 25) Odôvodnenie rozhodnutia o interpretácii diagramu L 4 K 4 b) Výpočet hodnôt BMI a vhodné zaokrúhlenie (otec: 3348,4; Sarah: 32,5) Dôvod rozhodnutia pomocou tabuľky alebo diagramu L 4 K 1 c) Výpočet hmotnosti (približne 79 kg) Výpočet rozdielu (približne 24 kg) alternatívne: určte hmotnosť pomocou diagramu (78 až 80 kg), vypočítajte rozdiel (25 až 23 kg) L 4 K 4 (5) kolesá šťastia Úloha Stredná škola Alžbeta organizuje školský festival pre všetkých 517 študentov. Deviataci ponúkajú hazardné hry. a) Trieda 9a má koleso šťastia, kde sa vyhráva cena na každom čiernom poli. Anne raz roztočí koleso šťastia. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá cenu? 21. deň
b) Trieda 9b tombolou ako hlavnou cenou žrebovanie balónom. Tombola sa môžete zúčastniť, ak otočíte každé z dvoch kolies šťastia raz a obe zostanú na 1. Aká je pravdepodobnosť toho? 6 5 1 4 2 3 1 4 2 3 Popis úlohy a jej cieľ Pri práci na úlohe by mali študenti preukázať, do akej miery matematicky riešia úlohy, najmä všeobecnú matematickú kompetenciu (K 2) v rámci centrálnej myšlienky údajov a náhody ( L 5) získali. Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a ústredných myšlienok a) b) Pravdepodobnosť: 3 1 1 Pravdepodobnosť: 24 Riešenia a rady Centrálna myšlienka Oblasť požiadaviek I II III L 5 K 2 L 5 K 2 22
(6) Dizajn záhrady Úloha Záhradný záhradník by mal prepracovať plochu podľa tohto mierkového plánu. Sadbová plocha 14 m ohraničená spevnená plocha a) Aká veľká je sadbová plocha? b) Aká je hranica (prerušovaná čiara)? Opis úlohy a cieľov Pri práci na úlohe by mali študenti preukázať, do akej miery získali základnú matematickú kompetenciu v matematickom modelovaní (K 3) ako súčasť hlavnej myšlienky merania (L 2). Úloha sa dá rozšíriť o nasledovné: Aká veľká je spevnená plocha? Vrecková kalkulačka je schválenou pomôckou. Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a centrálnych myšlienok Riešenia a pokyny Ústredná oblasť požiadaviek na myšlienku I II III a) Vezmite údaje z plánu Plocha závodu: približne 96 m² L 2 K 3 b) Dĺžka hranice: približne 90 m L 2 K 3 23
(7) Kocková úloha a) Otvorená krabica je zložená. Ktorá oblasť je oproti otvoru? A B C D E b) Ktorá je správna sieť z danej kocky? A B C D c) Päť strán kocky s dĺžkou hrany 3 cm je natretých červenou farbou, šiesty povrch zostáva nenatretý. Potom je táto kocka rozdelená na presne 27 kociek s dĺžkou okraja 1 cm. Určte počet výsledných čiastkových kociek, ktoré majú presne jednu (dve, tri, štyri) oblasti zafarbené červenou farbou? Opis úlohy a jej účel Úloha sa skladá z nezávislých čiastkových úloh. Pri práci na nich by študenti mali preukázať, do akej miery si osvojili všeobecné matematické zručnosti najmä pri matematickom riešení úloh (K 2) a pri využívaní matematických zobrazení (K 4) v rámci centrálnej myšlienky priestoru a formy (L 3). Schválené nástroje sú kockové modely. Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a ústredných myšlienok Oblasť požiadaviek Riešenia a pokyny Ústredná myšlienka I II III a) Oblasť A L 3 K 4 b) Sieť C L 3 K 4 24
2 (x + 6) = x 30 2x + 12 = x 30 2x + 12 = xx + 12 = 0 x = 12 + 30 x 12 Popis úlohy a jej cieľ Pri práci na úlohe by mali žiaci preukázať, do akej miery získali najmä všeobecnú matematickú kompetenciu zaoberať sa symbolickými, formálnymi a technickými prvkami matematiky (K 5) v rámci ústrednej myšlienky funkčného vzájomného vzťahu (L4). Náčrt riešenia s uvedením všeobecných matematických kompetencií, oblastí ich požiadaviek a vodiacich nápadov Riešenia a pokyny Oblasť požiadaviek na vodcovské nápady I II III Číslo 30 nebolo pridané na obe strany rovnice. L 4 K 5 (10) Tarif mobilného telefónu Úloha Katja kupuje mobilný telefón. Ponúkajú sa vám rôzne tarify: AIKON 3410 bežná tarifa N: špeciálna tarifa S: mesačná základná cena 10,95, náklady za minútu 0,15, účtovanie do druhej Mesačná základná cena 0, náklady za minútu 0,39, účtovanie do druhej a) Aké drahé je volanie v špeciálnej tarife S. ktorá trvá dve minúty a 30 sekúnd? b) Ktorý z nasledujúcich grafov zobrazuje normálnu rýchlosť N? Svoje rozhodnutie odôvodnite. 26
Opis úlohy a jej cieľ Pri práci na úlohe by mali študenti preukázať, do akej miery si osvojili najmä všeobecné matematické zručnosti, a to matematickou argumentáciou (K 1) a matematickým modelovaním (K 3) v rámci hlavnej myšlienky merania (L 2). Vrecková kalkulačka je schválenou pomôckou. Náčrt riešenia s podrobnosťami o všeobecných matematických kompetenciách, ich oblastiach požiadaviek a vodiacich nápadoch Riešenia a pokyny Oblasť požiadaviek na vodiacich nápadoch I II III a) Výsledok: 9000 cm 3 alebo 9 l L 2 K 3 b) Simulácia veľkého objemu alebo technických podmienok pri plnení kukuričných lupienkov L 2 K 1 c) Výsledok: 420 cm 2 L 2 K 3 30
Popis úlohy a jej cieľ Pri práci na úlohe by mali študenti preukázať, do akej miery získali všeobecnú matematickú kompetenciu v matematickom modelovaní (K 3) v rámci centrálnej myšlienky priestoru a formy (L 3). Náčrt riešenia s podrobnosťami o všeobecných matematických kompetenciách, ich oblasťami požiadaviek a vodiacimi nápadmi Riešenia a pokyny Oblasť požiadaviek na vodcovské nápady I II III a) Trojuholník je rovnoramenný a má ostrý uhol. L 3 K 3 b) Napríklad: D (7; -1) Existujú ďalšie dve možné riešenia. L 3 K 3 32