Dynamický systém - biológia

Aké horúce je príliš horúce na život hlboko pod dnom oceánu?

Antibiotiká z baktérií

Migrácia buniek: novoobjavená funkcia známeho proteínu

Molekulárny kompas na zarovnanie buniek

Čo robí listy na jeseň starnúcimi

Demokracia perličiek

Prostredie spoločnosti Ekembo: Ľudia tiež žili v otvorenej krajine

| Genetika | Poľnohospodárstvo, lesníctvo a chov zvierat

Pšeničná odroda vznikla krížením divých tráv

Aké horúce je príliš horúce na život hlboko pod dnom oceánu?

Dynamický systém

Podľa (deterministické) dynamický systém rozumieme matematickému modelu časovo závislého procesu, ktorý homogénny s ohľadom na čas, teda jeho priebeh od začiatkuPostavenie, ale nie od začiatkučas záleží. Pojem dynamický systém v súčasnej podobe siaha až k matematikovi Georgovi Davidovi Birkhoffovi.

Dynamické systémy nachádzajú najrôznejšie aplikácie v každodenných procesoch a umožňujú nahliadnuť do mnohých oblastí nielen matematiky (napr. Teória čísel, stochastika), ale aj fyziky (napr. Pohyb kyvadla, klimatické modely) alebo teoretickej biológie (napr. Modely koristi predátorov).

Jeden rozlišuje medzi diskrétnejšie a kontinuálnejšie Časový vývoj. V časovo diskrétnom dynamickom systéme sa stavy menia v ekvidistantných časových skokoch, t.j. H. v postupných, vždy rovnako veľkých časových intervaloch, zatiaľ čo zmeny stavu časovo kontinuálneho dynamického systému prebiehajú v nekonečne malých časových krokoch. Najdôležitejším prostriedkom na opis dynamických systémov spojitého času sú autonómne bežné diferenciálne rovnice.

Zmiešaný systém spojitých a diskrétnych subsystémov s nepretržite diskrétnenazýva sa aj dynamický Hybrid určený. Príklady takejto hybridnej dynamiky možno nájsť v procesnom inžinierstve (napr. Systémy šablón dávkovania).

Definície

A dynamický systém je trojitý $ (T, X, f), $ pozostávajúci z množiny $ T = \ N_0, \ Z, \ R ^ + _ 0 $ alebo $ \ R, $ dem Obdobie, neprázdna množina $ X $, Štátny priestor, a operácia $ f \ colon \, T \ krát X \ až X $ z $ T $ na $ X, $, takže pre všetkých podmienky $ x \ v X $ a všetko Body v čase $ t_1, t_2 \ v T $ platí nasledujúce:

$ f (0, x) = x $ (Vlastnosť identity) a
$ f (t_2, f (t_1, x)) = f (t_2 + t_1, x) $ (Poloskupinový majetok).

Ak $ T = \ N_0 $ alebo $ T = \ Z $, potom sa $ (T, X, f) nazýva $ časovo diskrétne alebo krátke diskrétne, a s $ T = \ R ^ + _ 0 $ alebo $ T = \ R $ človek volá $ (T, X, f) $ kontinuálne v čase alebo nepretržite. $ (T, X, f) $ sa tiež nazýva diskrétny alebo spojitý dynamický systém na reálny čas alebo ako nezvratný označuje, či platí $ T = \ Z $ alebo $ T = \ R $.

Pre každých $ x \ v X $ sa mapa volá $ \ beta_x \ colon \, T \ to X, \, t \ mapsto \ beta_x (t): = f (t, x), $ die Hýbte sa z $ x = \ beta_x (0) $ a množina $ O (x): = \ $ sa stáva vlak alebo (plný) obežná dráha volal $ x $. The kladná polovičná obežná dráha alebo Dopredu obežná dráha z $ x $ je $ O ^ + (x): = \ $ a ak $ (T, X, f) $ je invertibilné, $ O ^ - (x): = \ $ der negatívna polovičná obežná dráha alebo Obrátená dráha od $ x $ .

Diskrétny dynamický systém $ (T, X, f) $ je vytrvalo, ak je jeho stavový priestor $ X $ (neprázdny) metrický priestor a ak každá transformácia $ \ varphi_t \ colon \, X \ na X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x) patriaca do časového bodu $ t \ v T $: = f (t, x), $ je spojité. Kontinuálny dynamický systém sa nazýva $ (T, X, f) $ vytrvalo alebo jeden Polovičný prietok, ak je jeho stavový priestor $ X $ metrický priestor a ak je každá transformácia patriaca k určitému bodu v čase, ako aj každý pohyb stavu nepretržitá. Okrem toho sa spojitý diskrétny dynamický systém $ (\ Z, X, f) $ nazýva aj a kaskáda a polovičný tok $ (\ R, X, f) $ tok. Stav stavu nepretržitého dynamického systému sa tiež nazýva Fázový priestor a každého $ x_0 \ v X $ orbita ako Fázová krivka alebo Trajektória označené $ x_0 $, ktoré sa jednoducho píše $ x \ colon \, t \ mapsto x (t) $ s $ x (0) = x_0 $ .

Ak jeden spojí spojité a ak je to potrebné aj ďalšie diskrétne dynamické systémy, aby vytvorili systém, nazýva sa to a nepretržite diskrétneto alebo tiež Hybridje to dynamický systém.

Poznámky

V literatúre sa často nerozlišuje medzi dynamickými systémami a spojitými dynamickými systémami alebo tokmi a tok sa často chápe ako diferencovateľný tok (pozri nižšie). Existujú aj všeobecnejšie definície spojitých dynamických systémov, v ktorých z. B. topologický rozdeľovač, (možno kompaktný) Hausdorffov priestor alebo dokonca iba topologický priestor sa berie ako fázový priestor.
Namiesto ľavej operácie $ f $, ako je uvedené v definícii vyššie, sú dynamické systémy často definované s pravou operáciou $ f_r \ colon \, X \ times T \ až X $ na $ X $, poradie argumentov sa potom príslušne obráti.
V definícii je požadovaná vlastnosť identity operácie $ f $, pretože každý štát $ x $ by sa nemal meniť, pokiaľ neplynie čas (t. J. Pre $ t = 0 $). Táto vlastnosť znamená, že transformácia patriaca k $ 0 $ je identické priradenie k $ X $: $ \ varphi_0 = \ operatorname_X. $
Vlastnosť semigroup robí dynamický systém homogénnym s ohľadom na čas: Najprv získate časové jednotky $ t_1 $ zo stavu $ x $ do stavu $ f (t_1, x) $ a potom odtiaľ v $ t_2 $ časové jednotky do stavu $ f (t_2 + t_1, x) $, d. H. do rovnakého stavu, do ktorého prichádzame priamo zo štátu $ x $ v časových jednotkách $ t_2 + t_1 $. Transformácie $ \ varphi_t \ colon \, X \ na X, \, x \ mapsto \ varphi_t (x): = f (t, x), $ patriace všetkým dobám $ t $ tvoria komutatívnu poloskupinu so zložením $ \ cirkus $ ako odkaz a s neutrálnym prvkom $ \ varphi_0 $, navyše údaj $ T \ až X ^ X \ !, \, t \ mapsto \ varphi_t, $ je homomorfizmus poloskupiny: $ \ varphi_ = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ pre všetky $ t_1, t_2 \ v T. $ Táto transformačná polskupina je dokonca skupinou v invertibilných dynamických systémoch, pretože pre všetky $ t \ v T $ $ \ varphi_ $ je inverzný prvok k $ \ varphi_t. $
Dynamický systém $ (T, X, f) $ s $ T = \ N_0 $ alebo s $ T = \ R ^ + _ 0 $ potom možno previesť na invertibilný dynamický systém $ (T ', X, f') $ pokračujte $ (T '\ cap \ R ^ + _ 0, X, f' | _) = (T, X, f) $, ak transformácia $ \ varphi_1 $ patriaca k $ 1 $ je inverzná funkcia $ (\ varphi_1) ^ $ vlastní. Potom existuje $ \ varphi_: = (\ varphi_1) ^ $ a rekurzívne $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ pre všetky $ n \ v \ N. $ Ak $ (T, X, f) $ je spojité, potom pomocou $ \ varphi_: = \ varphi_ \ circ \ varphi_ $ pre všetky $ t = n + s \ in \ R ^ + _ 0 $ s $ n \ in \ N_0 $ a $ s \ v [\, 0,1) $ tiež zreteľne dané všetky transformácie patriace do záporných časov. S $ T ': = T \ cup \ $ je presne jedna operácia $ f' \ colon \, T '\ krát X \ až X, \, (t, x) \ mapsto f' (t, x): = \ varphi_t (x), $ deklarované od $ T '$ do $ X $, takže $ (T', X, f ') $ je inverzným pokračovaním $ (T, X, f) $.
Kvôli vlastnosti poloskupiny môže byť každý diskrétny dynamický systém $ (\ N_0, X, f) $ alebo $ (\ Z, X, f) $ použitý ako iteračná aplikácia transformácie $ \ varphi: = \ varphi_1 $ patriaca k $ 1 $ s Zvážte časy ako iteračné indexy: $ \ varphi_ = \ varphi \ circ \ varphi_t $ pre všetky $ t \ in \ N_0 $ a pre $ (\ Z, X, f) $ existuje aj $ \ varphi_ = \ varphi ^ \ circ \ varphi_t $ za všetky $ -t \ in \ N_0. $ Preto $ (T, X, f) $ je už jednoznačne určené $ \ varphi $ a dá sa ľahšie napísať $ (X, \ varphi) $.
Ak niekto obmedzí čas na $ T \ cap \ Z $ v spojitom dynamickom systéme $ (T, X, f), $, potom s $ (T \ cap \ Z, X, f | _) $ vždy vyplynie diskrétny dynamický systém. Na jednej strane je táto diskretizácia široko používaná v numerike, napr. B. v spätnej analýze. Na druhej strane existujú prírodné a technické systémy, ktoré sa vyznačujú nesúvislými zmenami stavu a dajú sa priamo modelovať diskrétnymi dynamickými systémami.
V teórii dynamických systémov sa človek osobitne zaujíma o správanie trajektórií za $ t \ pm \ infty. Veľkosti vápna a ich stabilita tu majú veľký význam. Pevné body sú body $ x $ fázového priestoru, pre ktoré existuje bod, ktorého trajektória smeruje k x pre $ t \ až + \ infty $, a limitné množiny týchto bodov. Okrem pevných bodov sú najdôležitejšou sadou limitov periodické dráhy. Avšak najmä v nelineárnych systémoch sa človek stretáva aj so zložitými neperiodickými limitnými množinami. V teórii nelineárnych systémov sa pevné body, periodické dráhy a všeobecné neperiodické množiny limitov označujú ako všeobecný termín atraktor (alebo. Repeller, ak je odpudivé, pozri tiež zvláštny atraktor) zahrnutý. Tieto sú podrobne skúmané v teórii chaosu.

Dôležité špeciálne prípady

Symbolická dynamika v diskrétnom dynamickom systéme má $ (T, X, f) $ s $ X = A ^ T $ pre abecedu $ A $ ($ X $ je nekonečná sekvencia symbolov od $ A $) a $ \ varphi_1 $ je takzvaná mapa posuvu, ktorá posúva symboly v každej sekvencii o jedno miesto.
Diferencovateľné (Polovičné) toky sú (polovičné) toky $ (T, X, f) $, pre ktoré je diferencovateľná každá transformácia patriaca k určitému časovému bodu. Najmä každá z týchto transformácií diferencovateľného toku je difeomorfizmus.
V chaotickýen ilustrácie, ako napr B. Bernoulliho mapovanie, logistické mapovanie alebo Hénonovo mapovanie, diskretizácie hrajú hlavnú úlohu, aby bolo možné preskúmať iterované mapy.

Príklady

Fyzikálnym príkladom je dvojité kyvadlo, chemické typu Brusel.

Diferencovateľný tok od fyziky

Nech $ M $ je kompaktné diferencovateľné potrubie, napríklad nedegenerovaný energetický povrch v $ \ mathbb ^ n $ a $ v \ colon \, M \ až TM $ hladké vektorové pole nad $ M $. Potom podľa Picard-Lindelöfovej vety existuje jednoparametrická skupina difeomorfizmov $ \ varphi_t \ colon M \ až M $ s

$ \ varphi_0 = \ operatorname_M, $
$ \ varphi_ \ circ \ varphi_ = \ varphi_ $ pre všetky $ t_1, t_2 \ in \ R, $
$ \ frac \ varphi_t = v \ circ \ varphi_t. $

Dráha pevného bodu $ x $ od $ M $ je krivkou riešenia diferenciálnej rovnice od 3. do počiatočnej hodnoty $ x $. Táto parametrická skupina $ 1 $ zodpovedajúca hladkému vektorovému poľu $ v $ sa nazýva tok na $ M $ .