Kapitoly o prenose informácií a kódovaní kódov na ochranu pred chybami (kompilácia) - PDF
Obor lineárne blokové a skupinové kódy Upravené lineárne kódy Cyklické kódy Binárne kódy BCH dva opravovače chýb Incident errors (burst) Kódy vodičov: definícia Preložené kódy Definícia BCH kódov Reed-Solomonove kódy Dekódovacie algoritmy pre BCH kódy Oprava vymazaní Maximálne KONVOLUČNÉ KÓDY Dekódovanie Dekódovanie (Viterbiho dekódovanie) str.3 7 3 4 8 9 7 49 6 76 86 9 95 97 4 5 63 65
.9,8 E n t ro p ie C a p a c it a e e.6.6.5.4.3. 3.4.5.6 R a t e r o r ý r o 7.8.9 Kapacitu symetrického binárneho kanálu (BSC) je možné ľahko vypočítať, ale je veľmi ťažké ju dosiahnuť. Výraz pre kapacitu kanála je C (ε) = H (ε) a H (ε) = ε logε (ε) log (ε) je binárna entropická funkcia. H (ε) je miera množstva informácií alebo neistoty v binárnom rozhodnutí s apriórnymi pravdepodobnosťami ε, ε. Vedľa sú zakrivené dáta, ktoré predstavujú kapacitu a entropiu pri rôznych rýchlostiach chybných bitov. Sprievodná tabuľka číselne ilustruje dve funkcie, H (ε) a C (ε). Chybná bitová rýchlosť (ε) 3 4 5 6 7 8 9 H (ε), 4689955935893,8793358959,477577375,47333583,85383,37469,49696,88,334 C (ε), 5344647,9968644,98859465,99856966477,999 99999753388,999999798889999999686599 Náhodné bitové chyby Odkazy na náhodné chybné bity zahŕňajú binárny kanál s nezávisle distribuovanými chybami (nezávisle nezávislými rovnako distribuovanými), inými slovami symetrický binárny kanál. Symetrický binárny kanál má jediný parameter šumu, ε: 3
Euclid ukázal, že prvočísiel je nekonečne veľa. Demonštrácia sa koná redukciou na absurdnosť. Uznáva sa, že poistného by bol iba konečný počet. Potom m = (p p pt) + by bolo číslo, ktoré nie je deliteľné žiadnou pí. Takže buď m je prvočíslo, alebo m má prvočíselný deliteľ, ktorý by sa mal líšiť od ľubovoľného pi. Aj keď pre prvé x neexistuje jednoduchý vzorec, veta o prvočíslach hovorí, že: Počet prvočísel menších ako x, π (x) je asi x/lnx. Konkrétne π (x) s x. Fakt preukázaný Bertrandom: Pre každé celé číslo n medzi n a n existuje prvočíslo. Najmä pre každé m existuje najmenej prvočíslo m bitov. Keď d> nie je faktor n, vydelením n a d vznikne nenulový zvyšok. Algoritmus delenia vyjadruje deliteľ n ako súčet násobku qd deliteľa d a malého zvyšku r: n = qd + r so r m, potom aspoň jedno políčko musí obsahovať viac ako jeden objekt. 3
Počet prvkov vlastnej podskupiny H uspokojuje nerovnosť, pričom i je prvý exponent, pre ktorý sa opakovanie vyskytuje, a n najmenší počet pre toto i. Vynásobením rovnosti a i = (ai) dostaneme e = an. Teda podskupina generovaná je. ai j i j i j If i, j t chyby] 5,4 . 3 3. 4 3,5 5 3,3 6,6 7,8 8
6 8 3 3 4 57 7 88 6385 64 646 643,96,96,958,955. 9 5.5.5. 3 Koľko bitov ochrany je potrebných na spoľahlivú komunikáciu? Hammingovo obmedzenie ukazuje, že na dosiahnutie primeranej chybovej rýchlosti na bit sú potrebné viac ako 4% redundancie. Ďalšie obmedzenia minimálnej vzdialenosti Horná hranica McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch (MRRW) R H (, 5 δ (δ)), kde H je binárna entropická funkcia a δ = d */n je normalizovaná minimálna vzdialenosť. Plotkinova horná hranica pre lineárne binárne blokové kódy (cvičenie): n k d * k d = d */n, 5 pre veľké k. Varshamov-Gilbert spodná hranica pre binárne blokové kódy. Ak d * Binárny kód prechodu: q =, n = 3, k =, t = 3 Ternárny kód prechodu: q = 3, n =, k = 6, t =. Golay kódy siahajú do roku 949. Kvazi-perfektné kódy 6
Príklad skráteného kódu Matica systematickej kontroly parity pre binárny Hammingov kód (5,) je H = Tento kód možno skrátiť na (, 8) odstránením stĺpcov maximálnej hmotnosti na 4. H = Skrátený kód môže opraviť chyby na jediný bit v 8-bitovom informačnom slove. Každá kontrolná rovnica je exkluzívnym 5- alebo 6-bitovým, menej ako 8 položkami v zdrojovom kóde. Predĺžené kódy Predĺženie: zachovať n k, zväčšiť k, zodpovedajúcim spôsobom n. Do overovacích rovníc sú zavedené ďalšie informačné symboly. Predĺženie je ťažké dosiahnuť bez zníženia minimálnej vzdialenosti kódu. Príklad: Rozšírené Reed-Solomonove kódy, získané predĺžením kódov ReedSolomon (Q, k) na (Q +, k +) pridaním dvoch stĺpcov naľavo od matice H. Z H = α α α α4 α d α d α Q α (Q) d (Q) α prechádza na H = α α α α4 α d α d α Q α (Q) d (Q) α Expurgované kódy Čistenie: ponechať n, odpočítať k a zväčšiť n k. 6
3 4 5 6 7 8 α α = α + α + α = α + α + α = 3α + = α α = α + α + α = 4α + = α + α + α = 3α + = Podľa očakávania a8 =. Multiplikatívne poradie α je 8. Násobenie a delenie v GF (9) Súčet prvkov a = a + aα a b = b + bα v GF (9): (a + aα) (b + bα) = ab + (ab + ab) α + abα = = ab + (ab + ab) α + (abα + ab) = (ab + ab) + (ab + ab + ab) α (výraz sa používa aj pre GF (4), ale tu platí násobenie a zostavy sú modulo 3). (a, a) (b, b) = (ab + ab, ab + ab + ab) Cvičenie: Nájdite vzorec pre recipročné (a + aα) = (b + bα). Tip: Jedno z možných riešení: riešenie systému v b a b ab + ab = ab + (a + a) b = aritmetika v konečnom poli GF (6) Existujú tri primárne polynómy stupňa 4 nad GF (): x4 + x +, x4 + x3 +, x4 + x3 + x + x + Najjednoduchší je x4 + x +. Nech α je prvok, ktorý spĺňa α4 + α + = α4 = α +. Silami α môžu byť v systematickej verzii stĺpce matice kontroly parity. H = V GF (6) pomocou α4 = α + sú zložky produktu y = ab: y = ab + ab3 + ab + a3b y = ab + ab + ab3 + ab + a3b + ab3 + a3b y = ab + ab + ab + ab3 + a3b + a3b3 y3 = ab3 + ab + ab + a3b + a3b3 základná veta algebry 7
Lema: Nech f (x) je polynóm nad GF (q) GF (Q). Prvok β v GF (Q) je nula f (x) práve vtedy, keď x β je deliteľom f (x) nad GF (Q). Dôkaz: Algoritmom delenia f (x) = q (x) (x β) + r (x), so stupňom je potom poradie αi (q)/d a implicitne n k, pre ktoré g (x) (xn). Skratka: CRC Cyclic Redundancy Check; Poradný výbor CCITT pre medzinárodný telefón a telegraf 9 88
Nech je α3 vybraný prvok. Táto zdanlivo zrejmá voľba funguje veľmi dobre. Paritná kontrolná matica reprezentovaná nad GF (m) je α α α n H = 3 α 6 α 3 (n) α. Kódové slová definované H sú polynómy c (x) s nulami v α a α3. Každé slovo kódu je teda násobkom minimálnych polynómov α a α3. Nech f (x) a f3 (x) sú tieto minimálne polynómy nad GF (). Polynóm generátora je g (x) = f (x) f3 (x). Dva minimálne polynómy sú najviac stupňov. Preto má stupeň m. H dve priamky s prvkami z GF (m), to isté s m čiarami nad GF (). Počet overovacích bitov preto zodpovedá vzťahu nk m. Fakt: Ak m 3 potom nk = m. Syndrómy pre kód BCH opravujúce dve chyby Zvážte vzor chyby hmotnosti: e (x) = xi + xi, i r + Cvičenie: Schopnosť detekovať náhodné chyby blokového kódu (n, k) je najviac n k. Charakterizácia kódov korekcie chýb incidentov Motto: Blokový kód môže opraviť všetky prípady dĺžky nie viac ako l práve vtedy, ak sa nikdy dve slová kódu nelíšia súčtom dvoch prípadov dĺžky najviac l. 94
<> d * = 5 vyžaduje 4 sily. Konjugované exponenty. d * = 9 vyžaduje 8 právomocí. Exponenti 4 konjugáty. d * = vyžaduje napájanie. Exponenti 7 konjugátov. d * = 4 vyžaduje 3 sily. Konjugované exponenty, ale lepších 7 konjugátov (vyčistený kód vyprchal). GF (56): sily primitívneho prvku Abeceda dekodéra GF (56) Primitívne BCH kódy v užšom slova zmysle, opravujúce dve chyby oproti GF (), GF (), GF (4), GF (8) môžu byť definované o rovnaká matica kontroly parity: H = α α α3 α4 α α α α 4 6 8 α 54 α 58 α 75 α 6 Generovanie polynómov lcm (f (x), f (x), f3 (x), f4 ( x)) majú koeficienty z subprotilátok. GF () = = GF (4) = =