MATEMATIKA Stránky 151 - 196 - Flip PDF Stiahnutie FlipHTML5
Popis: A819
Prečítajte si textovú verziu
Lekcia 1 Proporcionálne segmenty v obdĺžnikovom trojuholníku Problémová situácia Dedko má dve parcely, jednu štvorcovú a jednu obdĺžnikovú. Hh C Spravil som ich náčrt a označil som h h stranu štvorca a p a q strany obdĺžnika. Na môj náčrt nakreslil J A pDp q B pravý trojuholník a povedal mi, že E I jeho pozemky majú rovnaké oblasti: Je to tak h2 = p · q. pravda? Chceme to vedieť! Aký je vzťah medzi dĺžkami strán pravých trojuholníkov? Pamätáme si . Geometrický priemer dvoch kladných čísel je druhá odmocnina ich súčinu. Príklad: şmi 1e8dieasgteeommgetrică2 ? 18 36 6. Geometrický priemer čísel 2 z dvoch čísel Všeobecne je kladné číslo h kladné m an, ak h2 = m ∙ n alebo h = m ⋅ n. Vzťah môže byť tiež napísaný v tvare proporcie: m = h. Hn Preto iný názov geometrického priemeru, menovite pomerného priemeru. Dokážme to! Veta V pravom trojuholníku je výška zodpovedajúca preponu geometrickým priemerom výšky segmentov ňou určených na preponu. Hypotéza: Záver: A ⇒ AH 2 BH ? HC 'ABC, AZ 900; AH A BC Dôkaz: B H C ∆ABH
∆CAH (U.U.). Z toho vyplýva, že BH = AH, takže AH2 = BH · HC AH HC recipročné Ak je v trojuholníku ABC, v ktorom sú ostré uhly B a C, výška v A výškovej vety je proporcionálny priemer medzi ňou určenými segmentmi na opačnej strane, potom trojuholník je v A. obdĺžnikový. Hypotéza: Záver: A 'ABC; AH A BC; AH 2 BH ? HC ⇒ BAC = 90 ° Dôkaz: B HC Pretože AH2 = BH · HC vedie k BH = AH. Myslíme kriticky AH HC a konštruktívne! Okrem toho AHB ≡ CHA (pravé uhly). Ukázalo sa, že ∆AHB
∆CHA (L.U.L.). Takže B ≡ CAH, C ≡ BAH. Na záver, BAC = 90 °. Čo sa stane, ak je bod H v A mimo bočnej strany BC? Analyzujte ďalší údaj a potom odpovedzte! HB C 152 Učebná jednotka 8: Metrické vzťahy v pravom trojuholníku
V predchádzajúcich trojuholníkoch ABC bola nakreslená výška AH trojuholníka. Bod H je ortogonálny priemet bodu A na strane BC. Definície A Kolmý priemet bodu na priamku d je úpätie kolmice nakreslenej z tohto bodu na priamke. Ak je bod vpravo A 'B = B', jeho priemet sa zhoduje s bodom samotným. D Ortogonálny priemet segmentu na priamku MN CA B E môže byť segment alebo bod. F ‘M’ N ’C’ A ’B’ E ’d F Poďme to dokázať! Teraz môžeme uviesť novú vlastnosť pravého trojuholníka: Veta V pravom trojuholníku je dĺžka ramena geometrický priemer medzi dĺžkou ramena prepony a priemetom ramena na preponu. Hypotéza A: Záver: „ABC, A 900 ⇒ AB2 BH ? BC c2 a ? m cb AH A BC AC2 CH ? CB b2 a ? n B m n C H a C Dôkaz: BH = AB. Takže AB2 = BH · BC. E AB BC ∆ABH
∆CBA (Spojené kráľovstvo). Ukazuje sa, že Všimnime si! A D Veta nohy popisuje vzťah medzi segmentmi BA, BH a BC, ktoré majú spoločný koniec. BH Veta o nohe hovorí, že štvorec ABDE a obdĺžnik BHJG s BG = BC, vyfarbené na obrázku vpravo, sú ekvivalentné (majú rovnaké oblasti). GJ F Recipročná Ak v trojuholníku ABC, v ktorom je uhol B ostrý, je strana AB geometrickým priemerom vety o nohe medzi BC a priemetom strany AB na stranu BC, potom je v A. trojuholník obdĺžnikový. A Hypotéza: Záver: BH ∆ABC; AH ⊥ BC ⇒ BAC = 90 ° C AB2 = BH · BC Myslíme si, že kriticky na zošite vyplňte dôkaz o prevrátení vety nohy. a konštruktívne! Učebná jednotka 8: Metrické vzťahy v pravom trojuholníku 153
Navrhované problémy 1 1. Pomocou dĺžky jednotky štvorca siete ako jednotky merania vypočítajte prepočty nižšie uvedených trojuholníkov. d) f) i) a) h) b) c) e) g) j) 2. Vypočítajte dĺžky označené písmenami pre trojuholníky uvedené nižšie. x yz 34 3 u 4 2,5 t 30˚ 24 v 3 2 3. Nájdite dĺžky strán AD 6. Na susednom obrázku AQP trojuholníkov na obrázku ABCQ a QMNP susedného CO 3a, námestie). Je to strana dĺžky M N Ga a 3a. Vypočítajte plochu a obvod B HF C štvoruholníka 4. Ukážte, že nasledujúce triplety čísel môžu BMOQ. predstavuje dĺžky strán niektorých pravouhlých trojuholníkov: 7. Určte dĺžku d nakladacej rampy v a) (3, 4, 5); obrázok nižšie. b) (5, 12, 13); c) (17, 15, 8). 2,5 m d 5. Výpočtom zistite, ktorý z trojuholníkov o 6 m nižšie je obdĺžnikový. V každom prípade uveďte preponu. 8. Nájdite hodnotu x tak, aby nižšie uvedené trojuholníky boli rovnoramenné obdĺžniky. C 16 A D a) 4 20 12 5 12 16 b) c) BE 13 F 25 J 11 L N 2M d) e) 4 13 1+ 3 3 23 5 KP 156 Učebná jednotka 8: Metrické vzťahy v pravom trojuholníku
Lekcia 3 Konštantné pomery v pravom trojuholníku Problémová situácia Lietadlo stúpa zo zeme pod uhlom 30 ° a pohybuje sa 1 000 m. V akej maximálnej výške dosahuje letún? Čo ak 1 000 m lietadlo vzlietne v 25 ° uhle a prekoná rovnakú vzdialenosť 1 000 m? 30˚ Pozorujte letún pohybujúci sa na vzdialenosť 1 000 m z rôznych uhlov. 1000 m 100200˚m 103000˚m 1000 m 60˚ 80˚ Chceme vedieť! Ako môžeme pomocou uhlov určiť dĺžku? Stručný výskum Čo sa stane, ak je štartovacia vzdialenosť letúna dvakrát dlhšia? Čo ak je to 3x dlhšie? Ale 4 krát kratšie? B a3 a2 C2 C3 Vytvorte a210C˚ 1b1 podobné trojuholníky! b2 b3 A1 A2 A3 ∆BA1C1
∆BA3C3 Výsledok: b1 = a1, kde b1 = b2 b2 a2 a1 a2 b = 1 b = 2 b3 b1 = a1, kde b1 = b3 a1 a2 a3 b3 a3 a1 a3 N2 Ak sa uvažuje o inom uhle, O 35 ˚ M2 dostaneme ďalšiu sériu rovnakých pomerov M1, odlišných od prvej! To znamená, že existuje súvislosť medzi mierou uhla a hodnotou pomeru medzi nohou a preponou trojuholníka …… a hodnota tohto pomeru nie je A2A4A5 C závisí od pravouhlého trojuholníka A6, v ktorom sa nachádzame, rovnako ako miera uhla nezávisí od tvaru uhol je časť. Určite áno! Tu je ešte presvedčivejší obrázok: B A3A1 A Pravé trojuholníky na obrázku sú dva po dvoch (podľa okolností (UU). Výsledok = t b A = 1A2 A3 A4 = A6C a BA1 BA 4 A5C Na kontrolu napíšte dvojice podobných trojuholníkov. séria rovnakých správ Kritické a konštruktívne myslenie 158 Učebná jednotka 8: Metrické vzťahy v pravom trojuholníku