Náhodné premenné, rozdelenie pravdepodobnosti • Maths-Brinkmann

V minulom článku, Kombinatorika, sme sa zaoberali objednanými a neusporiadanými vzorkami s náhradou i bez nej. V tomto príspevku sa to dozvieme Poznať vzorce pre náhodné premenné, rozdelenie pravdepodobnosti, očakávanú hodnotu. Takže môžete z. B. o Vyhlásenia o hazardných hrách o očakávanom zisku alebo strate robiť. S mnohými príkladmi.

Dve kocky (jedna modrá a jedna zelená) sú hodené dohromady 400-krát.
Frekvencie jednotlivých výsledkov sú uvedené v tabuľke.
Každému z číselných párov (1 | 1)… (6 | 6) je možné priradiť súčet ich čísel.

Relatívne frekvencie súčtov očí by sa mali porovnávať s pravdepodobnosťou ich výskytu.
Táto skutočnosť by mala byť uvedená v tabuľke a stĺpcovom grafe.

Relatívne frekvencie pre jednotlivé súčty oka sa spravidla veľmi neodchyľujú od vypočítaných pravdepodobností. Predpokladom je samozrejme zodpovedajúci vysoký počet pokusov.

Definícia náhodnej premennej:

Tabuľka hodnôt náhodnej premennej pri hádzaní dvoma kockami, ktorých počet sa pripočíta.

Ak je pri hode dvoma kockami každému výsledku priradený celkový súčet, vytvorí sa náhodná premenná X.
Ak niekto priradí svoju pravdepodobnosť každej hodnote týchto náhodných premenných, vytvorí sa rozdelenie pravdepodobnosti (funkcia pravdepodobnosti). Rozdelenie pravdepodobnosti alebo rozdelenie náhodnej premennej je možné znázorniť tabuľkou a histogramom.

Definícia rozdelenia pravdepodobnosti

Funkčná ilustrácia, napríklad hádzanie dvoma kockami, ktorých súčet sa tvorí.

S pomocou pravdepodobnosti by človek chcel napr. B. urobte vyhlásenia o očakávanom zisku alebo strate v hazardných hrách. Vyvstáva otázka: aký zisk možno očakávať na hru, ak sa bude hrať častejšie?

Príklad:

Na ilustráciu sa pozrime ešte raz na súčet dvoch kociek.
Dalo by sa to zmeniť na hazardnú hru vytvorením nasledujúceho pravidla:

Pravidlo:

Celková dosiahnutá hodnota za jeden hod je vyplatená v €.

Prevádzkovateľ hry musí samozrejme premýšľať o tom, aký vysoký musí byť vklad na hru, aby neutrpel stratu.
Aby to mohol urobiť, musí vedieť, akú sumu musí priemerne vyplatiť za hru za veľký počet hier. Minimálne podiel musí byť taký vysoký.

Podobne ako pri priemerovaní z frekvenčného rozdelenia v popisných štatistikách je možné vytvoriť hodnotu vynásobením čiastok výplat s ich pravdepodobnosťou.

Túto hodnotu nazývame očakávaná hodnota .

Pre náš príklad hodnota 7 znamená, že pri vysokom počte hier sa má vyplatiť priemerne 7 EUR za hru.

Prevádzkovateľ hry musí preto vyžadovať minimálne vklad 7 EUR na hru, aby neutrpel stratu.
Čiastky výplat alebo výplaty zodpovedajú náhodným premenným
X s hodnotami: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Teraz sa pozrime na hru z pohľadu hráča, kto musí platiť 7 € za hru.
Zisk sa pre neho počíta takto:
Zisk = výplata - vklad.
Zisk teraz zodpovedá náhodnej premennej, ktorú nazývame Y, teda
Y s hodnotami: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
Pomocou toho možno teraz určiť očakávanú hodnotu zisku.

Očakávaná hodnota výhry je 0. To znamená, že z dlhodobého hľadiska hráč nič nevyhrá. Ale tiež nič nestráca. Šance sú vyrovnané.

Vzorec: Očakávaná hodnota X

Poznámka:

Je E (X)

> 0, takto sa hra nazýva priaznivá pre hráča.
= 0, tak sa hra nazýva spravodlivá .
nepriaznivé (nespravodlivé) pre hráča.

Poznámky k očakávanej hodnote:

Očakávaná hodnota je očakávaná stredná hodnota X v sérii náhodných pokusov.
Zatiaľ čo stredná hodnota - veličina z popisnej štatistiky - sa týka minulosti, t. J. Hodnôt, ktoré sa vo vzorke skutočne vyskytli, očakávaná hodnota popisuje veličinu súvisiacu s budúcnosťou, t. J. S veličinou, s ktorou sa dá z dlhodobého hľadiska očakávať.

Rovnako ako priemer, očakávaná hodnota nie je v mnohých prípadoch ani jednou z hodnôt, ktoré môže náhodná premenná X predpokladať.

Ukážka a cviky

Napriek zákazu sa na školskom dvore odbornej školy odohrávajú zaujímavé hazardné hry.
Pravidlá hry:
Vklad na hru je 2 €.
Hráč najskôr umiestni jedno z čísel 1, 2, 3, ..., 6.
Potom hodí trikrát kockou.
Ak vsadené číslo klesne

nie, kôl je stratený.
raz dostane svoj vklad späť.
dvakrát, dostane dvojnásobný vklad.
trikrát, dostane trojnásobok podielu.

Pravdepodobne najdôležitejšou otázkou, ktorá sa v tejto hre vynára, je otázka vyhliadky na výhru. To chcú vedieť všetci študenti, tak tí, ktorí hrajú, ako aj tí, ktorí majú banku. Na túto otázku je možné odpovedať pomocou teórie pravdepodobnosti.
Náhodná premenná X je čistý zisk, čo je suma, ktorá sa vyplatí hráčovi mínus vklad 2 €.

Trojúrovňový stromový diagram a pravidlo cesty sa používajú na výpočet pravdepodobnosti zisku alebo straty.
Platí nasledujúce: G = zisk, V = strata.

Na výpočet vyhliadok na zisk sa vynásobia hodnoty náhodných premenných s ich súvisiacimi pravdepodobnosťami a sčítajú sa výsledky:

Vypočítaný počet -1 hovorí, že z dlhodobého hľadiska, tj. Pri mnohých opakovaniach hry, možno pre hráča očakávať stratu 1 euro na hru.
Túto sumu banka samozrejme inkasuje.
Z tohto dôvodu sa tejto hre hovorí aj nefér, pretože zisky a straty nie sú z dlhodobého hľadiska vyvážené.
Zisk a strata by boli vyrovnané s priemerom 0. To by potom bola férová hra. To by sa dalo dosiahnuť napríklad zvýšením ziskov.

Cvičenie 1:

Očakávaná hodnota hry s kockami uvedená vyššie bola E (X) = -1.
Hra je teda nespravodlivá.
Aká vysoká by musela byť stávka, aby sa hra mohla nazývať spravodlivou?
Vyplatené sumy zostávajú rovnaké:
Ak vsadené číslo klesne

nie, výplata je 0 €.
jednorazovo, výplata je 2 €.
dvakrát, výplata je 4 €.
trikrát, výplata je 6 €.

Cvičenie 2:

Každý lístok vyhráva !
Na slávnostnej promócii si každý z 50 účastníkov musí kúpiť lístok.
1. cena má hodnotu 100 €, druhá 25 € a tretia 10 €.
Každý, kto nezíska žiadnu z týchto cien, získa cenu útechy vo výške 1 €.
Aká drahá by musela byť letenka, aby sa zhodovali príjmy a výdavky?
Každá partia sa predáva za 5 EUR.
Výťažok ide do Friedensdorfu. Aký veľký je výnos?
Riešenie nižšie

Cvičenie 3:

Urna obsahuje červenú, čiernu a zelenú guľu.
Lopta sa kreslí bez výmeny, až kým sa neobjaví zelená guľa.
Ak je zelená guľa v

Ak je prvý ťah vyžrebovaný, výplata je 2 €.
2. Ťahaný ťah, výplata je 1 €.
Vyžrebuje sa 3. ťah, výplata je 0 €.

Aký vysoký musí byť vklad, aby to bola spravodlivá hra?
Riešenie nižšie

riešenia

Cvičenie 1:

nie, výplata je 0 €.
jednorazovo, výplata je 2 €.
dvakrát, výplata je 4 €. trikrát, výplata je 6 €.

Riešenie:

Hra je férová, ak sa z dlhodobého hľadiska hrá presne toľko, koľko sa berie.
Za týmto účelom vypočítame očakávanú hodnotu výplat.
E (X) = 1 znamená, že z dlhodobého hľadiska bude priemerne vyplatených 1 € za hru.
S vkladom 1 € na hru je hra spravodlivá.

Cvičenie 2: Každý lístok vyhráva!

Na slávnostnej promócii si každý z 50 účastníkov musí kúpiť lístok.
1. cena má hodnotu 100 €, druhá 25 € a tretia 10 €.
Každý, kto nezíska žiadnu z týchto cien, získa cenu útechy vo výške 1 €.
Aká drahá by musela byť letenka, aby sa zhodovali príjmy a výdavky?
Každá partia sa predáva za 5 EUR.
Výťažok ide do Friedensdorfu. Aký veľký je výnos?
Riešenie: Vypočíta sa očakávaná hodnota:
E (X) = 3,64 znamená, že každá dávka musí stáť 3,65 EUR na pokrytie výdavkov.
Pri cene lístka 5 € a 50 predaných lístkov je výsledkom zisk 50 (5 - 3,64) = 68 €
Táto suma ide do Friedensdorfu.

Cvičenie 3:

Urna obsahuje červenú, čiernu a zelenú guľu.
Lopta sa kreslí bez výmeny, až kým sa neobjaví zelená guľa.
Ak je zelená guľa v
Vyžrebovaný 1. ťah, výplata je 2 €.
2. Ťahaný ťah, výplata je 1 €.
Vyžrebuje sa 3. ťah, výplata je 0 €.
Aký vysoký musí byť vklad, aby to bola spravodlivá hra?
Riešenie: Pomocou trojúrovňového stromového diagramu a pravidla cesty môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule.

Očakávaná hodnota výplaty je E (X) = 1.
Ak má ísť o férovú hru, musí byť vklad tiež 1 €.