Racionálna funkcia - stredoškolská matematika
úvod
A úplne racionálna funkcia je súčet výkonových funkcií s prirodzenými exponentmi.
$$ f (x) = a_n x ^ n + a_ x ^ + \ dotsb + a_2 x ^ 2 + a_1 x + a_0 = \ sum_ ^ n a_i x ^ i \ qquad n \ in \ mathbb $$ \ (a_0, \ dots, a_n \) = koeficienty
\ (a_n \) = vedúci koeficient, \ (a_0 \) = absolútny člen
Titul \ (n \)
The Stupňa úplne racionálna funkcia sa rovná najvyššiemu exponentovi.
Príklady
| Stupeň \ (n = 2 \) | \ (-2 \ krát x ^ 2 + 3 \ krát x + 4 \) |
| Stupeň \ (n = 2 \) | \ (2 \ cdot x ^ 2 - 2 \) |
| Stupeň \ (n = 3 \) | \ (x ^ 3 + 2 \ cdot x - 1 \) |
| Stupeň \ (n = 4 \) | \ (x ^ 4 - 2 \ krát x ^ 3 + 2 \ krát \ krát ^ 2 \) |
| Stupeň \ (n = 5 \) | \ (2 \ cdot x ^ 5 + x ^ 2 + 2 \) |
Špeciálne prípady
| Stupeň \ (n = 0 \) | \ (a_0 \) | Konštantná funkcia |
| Stupeň \ (n = 1 \) | \ (a_1 \ cdot x + a_0 \) | Lineárna funkcia |
| Stupeň \ (n = 2 \) | \ (a_2 \ cdot x ^ 2 + a_1 \ cdot x + a_0 \) | Kvadratická funkcia |
| Stupeň \ (n = 3 \) | \ (a_3 \ cdot x ^ 3 + a_2 \ cdot x ^ 2 + a_1 \ cdot x + a_0 \) | Kubická funkcia |
Graf funkcií
Graf úplne racionálnej funkcie:
Nakreslite náhodnú, úplne racionálnu funkciu
nulový bod
Úplne racionálna funkcia má najviac toľko nulový bod ako jej známka.
Pre \ (n \ leq 3 \) je stanovenie núl popísané v príslušných článkoch (pozri špeciálne prípady vyššie).
Pre \ (n = 4 \) možno funkčnú rovnicu nastaviť na nulu. Dostanete kvartickú rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť.
Pri väčších \ (n \) sa zvyčajne musia uhádnuť nuly. Najlepšie je to urobiť pomocou Hornerovej schémy. Pretože všetky nuly úplne racionálnej funkcie musia buď rozdeliť vedúci koeficient \ (a_n \), alebo absolútny člen \ (a_0 \), možné nuly sú už dobre obmedzené.
príklad
Extrémne body
Do Extrémne body Na určenie kvadratickej funkcie potrebujete prvú a druhú deriváciu. Potom môžete postupovať nasledovne.
Nevyhnutná podmienka
Dostatočný stav
symetria
Rovnomerná funkcia
Ak sú všetky exponenty párne čísla, nazýva sa to racionálna funkcia rovno. Ona je potom osovo súmerné k osi Y. Platí nasledujúce:
Zvláštna funkcia
Keď sú všetky exponenty nepárne čísla, nazýva sa to racionálna funkcia zvláštny. Ona je potom bod symetrický k pôvodu. Platí nasledujúce:
Symetria s ostatnými osami/bodmi
Ak sú vo funkčnej rovnici párne aj nepárne exponenty, graf nemá jednoduchú symetriu. Graf však môže byť stále symetrický s ostatnými osami alebo bodmi: