Riešenie nadbytočného problému Ako rýchlo by ste boli doma so SM na Apolle 13?

Siegfried Marquardt je tvrdohlavý človek. Pre mňa jeho trolle komentáre končia na schvaľovacej stránke, ale stále sa zdá, že inde má úspech. V tomto prípade dokazuje, že Apollo 13 sa nemohlo vrátiť späť na Zem s obslužným modulom. To ma inšpirovalo k odpovedi na dnešnú otázku - keby bola zrušená a ako rýchlo by sa človek vrátil na Zem.

Ako vždy, Marquard prepočíta alebo urobí predpoklady, ktoré sú jednoducho nesprávne. Napríklad v bode, kde sú vyvážené gravitácie Zeme a Mesiaca, by rýchlosť mala byť 0. Toto je nesprávne. Na žiadnej obežnej dráhe okolo Zeme nie je rýchlosť 0. Toto sa udáva iba pri parabolách a tam iba na nekonečnú vzdialenosť. To sa dá ľahko matematicky dokázať pomocou orbitálnej rovnice (pozri nižšie). Ale stačí trocha rozumu. Ak by rýchlosť bola v bode na obežnej dráhe 0, potom by zemská gravitácia spôsobila, že teleso bude klesať kolmo na stred Zeme, namiesto toho, aby opisovala krivku okolo Zeme. V najvzdialenejšom bode obežnej dráhy môže byť zložka nasmerovaná na zem 0, ale zložka kolmá na ňu nemôže.

Počas prvých misií letel Apollo na voľných obežných dráhach, to znamená na obežných dráhach, ktoré obiehali okolo Mesiaca a ak nedošlo k zapáleniu, vrátili sa na Zem. Pre Apollo 13 som nenašiel žiadne orbitálne prvky, ale pre Apollo 11 som našiel nasledujúce:

Perigeum: 6 600 km (stred Zeme)/229 km (zemský povrch)
Apogee: 566 433 km (stred Zeme)/560 062 km (zemský povrch).

S mojím mierne odlišným polomerom zeme 6371 km dostávam na obežnú dráhu na konci požiaru vo výške 340 km rýchlosť 10832 m/s, v dobrej zhode s vypočítanými údajmi z Apolla 11 10834 m/s.

Najjednoduchší spôsob výpočtu rýchlosti vo vlaku je rovnica Vis-Viva:

v = druhá odmocnina (GM * (2/r - 1/a)) [1]

a je poloosa obežnej dráhy, to znamená stredná hodnota apogee a perigeu (vypočítaná zo stredu Zeme)

r je aktuálna vzdialenosť.

Ak niekto predpokladá počas výbuchu aj hornú obežnú dráhu pre Apollo 13 a vzdialenosť 321860 km, bude to mať za následok súčasnú rýchlosť 1019 m/s.

Prvá možnosť, ktorú skúmam, je okamžitá zmena trajektórie, keď sa zapáli CSM. Nová cesta by teraz mala mať r, t.j. rovnakú vzdialenosť, ale poloos by mala byť iná. Ideálne je, keď je perigeum potom -6 371 km. Je potom v strede Zeme. Na takúto obežnú dráhu je najkratší čas letu na elipsu tesne pod 2 dni 2 hodiny. Nie oveľa menej ako bežný čas cesty 2 dni 5 hodín.

Simuloval som to však a v praxi sa nedá dostať na takú stopu. Zapaľovanie takmer vo viac ako polovici vzdialenosti od apogee neumožňuje dosiahnuť trajektóriu, v ktorej by apogee zostalo konštantné. Podľa mojich vyšetrovaní, keď perigeum klesne, skĺzne tiež na úroveň zapaľovania, to znamená asi 330 000 km ďaleko. Nemusíte však obiehať mesiac a môžete byť späť na zemi za menej ako 3 dni, a to aj pri malej zmene rýchlosti. Na to nepotrebujete ani veľkú zmenu rýchlosti

Teraz k vzrušujúcej otázke - ako rýchlo malo byť Apollo 13 doma. Teraz potrebujete na výpočet zmeny otáčok hmotnosť, zaťaženie SM a špecifický impulz hlavného motora. Podľa Wikipédie má 18 410 kg paliva. Po lisovacej súprave Apollo 13 vážil stroj CSM + LM spolu 96 946 libier, čo je v prepočte 43 974 kg. Podľa manuálu SM 314 je špecifický impulz motora AJ! 0-137 s = 3079 m/s.

Z toho je možné pomocou Ziolkowského rovnice vypočítať nasledujúcu rýchlosť:

v = 3079 m/s * ln (43974/(43974-18410)) = 1 670 m/s.

Wikipedia uvádza 2 800 m/s, ale informácie sa týkajú normálnej mesačnej misie, kde je LM v polovici misie odpojený. Stále si myslím, že je príliš vysoká. Apollo potrebovalo na jednu obežnú dráhu a späť iba maximum 2 000 m/s. Pretože už predtým boli nejaké korekcie rýchlosti, ako napríklad úprava dráhy, vytiahnutie LM z adaptéra a stále musíte mať rezervu, predpokladal som použiteľnú zmenu rýchlosti 1500 m/s v nasledujúcom.

V simulácii sa dostanete na najkratšiu cestu k jednej so zapálením 175 stupňov do smeru pohybu (t. J. Takmer proti smeru letu) a získate -5 684 x 375 236 km, s ktorými po takmer 2 dňoch po dobu 18 hodín opäť pristávate.

Takže Apollo 13 sa mohlo dostať na Zem oveľa rýchlejšie. Nehoda sa stala necelých + 56 hodín. Ak by ste si dali 2 hodiny času na prípravu, posádka by bola po 124 hodinách späť na zemi. V skutočnosti ste leteli okolo Mesiaca a potom ste zapálili motor. To znížilo celkový čas na takmer 143 hodín, zhruba o 60 hodín alebo dva a pol dňa neskôr. Servisný modul má príliš malú schopnosť meniť rýchlosť, aby zmenil pohyb zo zeme na „smerom k zemi“. Funguje to, ale rýchlosť je potom nižšia ako predtým, výsledkom čoho je elipsa s nízkym apogee, po ktorej sa prechádza pomalšie. Celkový ušetrený čas je spôsobený tým, že neobchádzate mesiac.

Teraz sú tu fotografie servisného modulu po nehode a podľa môjho názoru NASA urobila dobre, aby nezapálila motor. Čo iné by však bolo možné okrem použitej taktiky?

Teraz ste mohli ihneď po nehode zapáliť motor LM zostupového stupňa
a mohli ste vystreliť motor LM z klesacieho stupňa, zhodiť ho a potom vystreliť z výstupného stupňa.

Na to potrebujeme masy lunárneho modulu. Tlačová súprava Apollo 13 zobrazuje:

Suchý zjazd: 2 109 kg

Palivo zostupového stupňa: 8 319 kg

Suchý výstup: 2 118 kg

Výška výstupu: 2 371 kg

Okrem toho by tu bolo palivo RCS, pretože sa tu na to nepozerám. Wikipedia udáva špecifický moment stúpacieho motora ako 311 s (3050 m/s) a rovnakú hodnotu pre zostupový systém.

Pri Ziolkowského rovnici vedie konkrétny impulz = 3050 kg, počiatočná hmotnosť 43 974 kg, konečná hmotnosť 35 655 kg k diferenciálnej rýchlosti 639 m/s, a ak potom odhodíte zostupovú fázu (-2109 kg) a zapálite výstupovú fázu, jedna dorazí k druhej Rýchlosť so štartovacou hmotnosťou 33 546 kg, konečná hmotnosť 31 175 kg pri druhej zmene rýchlosti o 223 m/s.

Simulácia poskytuje nasledujúce výsledky:

+639 m/s: (iba úroveň zostupu): vektor 178 stupňov do polohy, obežná dráha: -5 017 x 346 907 km, návrat za 5 dní 12 hodín

+862 m/s (klesanie + stúpanie): vektor 180 stupňov na polohu obežnej dráhy -5 914 x 331 935 km, návrat za 4 dni 9 hodín

V obidvoch prípadoch je rýchlosť nižšia ako súčasná rýchlosť. Nestačí teda dosiahnuť preklad, ako je to v prípade servisného modulu. Preto stále prechádzate cez apogee, ktoré však s vyššími zmenami rýchlosti tiež silnejšie klesá. Návrat by bol možný po 190 alebo 163 hodinách. To by bolo dlhšie ako zvolená stratégia obchádzania Mesiaca, ktorá to potvrdzuje. Prečo je to lepšie? Malý efekt je, že použijete gravitačné pole Mesiaca. Ale dva ďalšie účinky sú významnejšie. Prvým je to, že samotný mesiac mení svoju obežnú dráhu. Zníži apogee na mesačnú vzdialenosť a tiež výrazne zníži perigeum. Je však dôležitejšie, aby smer rýchlosti teraz smeroval k zemi. Predtým ste museli znížiť okolo 1 000 m/s, aby ste sa pohli smerom k Zemi, čo sa teraz stalo samo. Ak zapálite motor, ste na hyperbolickej obežnej dráhe s oveľa kratšou dobou jazdy.