Riešenie rovníc Vysvetlenie a príklady
Ako môžete vyriešiť rovnice? Presne to ponúka tento článok vysvetlenia, príklady a cvičenia. Pozeráme sa na jednoduché lineárne rovnice, kvadratické rovnice a funkcie vyššieho rádu. Systémy rovníc je možné vyriešiť pomocou Gaussových metód alebo substitučných metód alebo adičných metód. Celkovo je cieľom nájsť množstvo riešení s transformáciami. Tento článok je súčasťou našej matematickej časti.
Ako môžete vyriešiť rovnicu? Závisí to od typu rovnice. A práve z tohto dôvodu tu logicky musíme riešiť rôzne typy rovníc. Začneme riešením lineárnych rovníc.
Riešiť alebo riešiť rovnice: Lineárna rovnica
Riešenie lineárnych rovníc už mnohých študentov priviedlo do zúfalstva. Začnime teda veľmi jednoducho. Začneme teda niečím, čo by mal každý vedieť od základnej školy, rovnicou. Bez srandy!
Je to veľmi jednoduchá rovnica. Pretože vľavo dostaneme 7 a vpravo dostaneme 7. Takže dostaneme 7 = 7, pravdivé tvrdenie. To platí aj pre riešenie lineárnych rovníc. Teraz je nové, že sa v rovnici objaví ďalšia premenná. Čo je to premenná Premenná je takpovediac „zástupná značka“ pre číslo. Prinajmenšom v prevažnej väčšine prípadov je to počet. V matematike sa na to zvyčajne používa písmeno. Toto je napríklad a, b, x alebo y. Namiesto tejto premennej sa neskôr použije číslo. Cieľom je zistiť, aké je číslo premennej. A to je presne to, čím sa budeme zaoberať v nasledujúcich častiach.
Ako už bolo vysvetlené v úvode, je teraz potrebné vyriešiť lineárnu rovnicu s neznámou. Táto neznáma sa v triede zvyčajne nazýva „x“, možné sú aj ďalšie písmená (premenné). Cieľom je, aby „x = číslo“ bolo na konci poskytnuté ako riešenie. Začína sa to veľmi jednoduchou úlohou. Toto je vysvetlené nižšie.
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 1: | |
| x + 2 = 5 | | -2 |
| x = 3 |
Prvý riadok obsahuje výstupnú rovnicu, ktorá sa má vyriešiť pre premennú x. K tomu tzv Ekvivalentné transformácie alebo sa niekedy jednoducho uskutočnia transformácie. To znamená: Vzhľad rovnice sa zmení, ale na ľavej strane sa stále zobrazuje rovnaká hodnota ako na pravej strane rovnice. Aby bolo možné rozlíšiť pre „x“, musia byť 2 vľavo „vylúčené“. Ak chcete odstrániť +2, musíte čakať „-2“. Pre lepší prehľad sú všetky aritmetické operácie nasledované znakom „|“ napísané. Takže teraz je zapísaná značka „| -2“, ktorá jasne ukazuje, že by sa malo odpočítať číslo 2. Veľmi, veľmi dôležité: Aritmetické operácie sa musia vykonávať na oboch stranách. Ak vypočítam "-2" vľavo, musí sa to urobiť aj vpravo!
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| + 5
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 3: | |
| 4 = x + 2 | | -2 |
| 2 = x |
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 4: | |
| 4 - 3 + x = 5 - 2 | |
| 1 + x = 3 | | -1 |
| x = 2 |
Toľko sčítanie a odčítanie rovníc. Príklad 4 jasne ukazuje, že pred uskutočnením akýchkoľvek transformácií má často zmysel rovnicu zjednodušiť.
Násobenie a delenie:
Doteraz ste museli počítať s "-2", aby ste vylúčili "+2" a naopak. To platí aj pre násobenie a delenie s cieľom vyriešiť príslušné rovnice. Ak chcete odstrániť znak „· 5“, musíte vypočítať znak „: 5“. Spočiatku to znie trochu zvláštne, ale nasledujúca úloha vám ukáže, ako to funguje. Aj tu by malo byť vyriešené slovo „x“.
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 5: | |
| 5 · x = 15 | |: 5 |
| x = 3 |
Aby „x“ stálo osamote, musí sa vydeliť 5. Pretože: 5: 5 = 1 a 1 · x = x. Ak je to pre vás príliš komplikované, musíte si len uvedomiť: Aby som sa dostal 5x preč, musím deliť 5. Poznámka: Označenie 5 x matematicky zodpovedá 5x. Ak medzi číslom a premennou nie je žiadny aritmetický symbol, vykoná sa násobenie. Teda aj pri ďalších úlohách.
Tabuľka sa dá posúvať doprava
0,5x = 2
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 7: | |
| 5 = 0,2x | |: 0,2 |
| 25 = x |
Poďme to celé trochu sťažiť. Pri ďalších úlohách bude potrebné venovať pozornosť bodu pred priamkou a zátvorkami. V opačnom prípade budú výsledky (zvyčajne) nesprávne. Ako vždy, začnime príkladom.
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 8 | |
| 5 · 8 + x = 10 | |
| 40 + x = 10 | | -40 |
| x = -30 |
To isté platí aj tu: výpočet bodu pred výpočtom priamky. Najprv sa počíta násobenie a delenie, potom nasleduje sčítanie a odčítanie. A ďalšie dve úlohy:
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 9: | |
| 40 + 20x = 20 | |: 20 |
| 2 + x = 1 | | -2 |
| x = -1 |
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| Príklad 10: | |
| 3 + 5 · 2 + 5x = 10 | |
| 3 + 10 + 5x = 10 | |
| 13 + 5x = 10 | | -13 |
| 5x = -3 | |: 5 |
| x = -0,6 |
Riešiť alebo riešiť rovnice: Kvadratické rovnice
Práve sme sa zaoberali riešením alebo riešením lineárnych rovníc. Teraz poďme k riešeniu kvadratických rovníc. To si prirodzene kladie otázku: čo je to kvadratická rovnica? Toto je rovnica s tvarom ax 2 + bx + c = 0 alebo rovnica, ktorú je možné previesť na tento tvar. Premenné a, bac znamenajú akékoľvek číslo, kde a musí byť nenulové. Nasledujú dva príklady alebo úlohy: 3x 2 + 5x + 3 = 0 alebo x 2 + 2x + 1 = 0.
Na rozdiel od „jednoduchých“ rovníc, ktoré sme doteraz poznali (príklad: x + 5 = 0), tu stále existuje kvadratická zložka. Ako teda vyriešiť túto rovnicu pre x? Odpoveďou na túto otázku je PQ vzorec, ktorý chceme preskúmať v tejto časti. Poznámka: Okrem vzorca PQ existujú aj iné spôsoby riešenia kvadratickej rovnice (polnočný vzorec alebo ABC vzorec alebo tiež polynomické delenie). V tomto komplexnom článku o riešení rovníc však chceme podrobne predstaviť iba jeden variant a rozhodli sme sa pre vzorec PQ.
Vyriešte kvadratickú rovnicu: vzorec riešenia
Ako môžete vyriešiť takúto rovnicu? Na vyriešenie rovnice ako x 2 + 2x + 1 = 0 pre x použijeme vzorec PQ uvedený nižšie. Najskôr vám dám vzorec a niekoľko všeobecných informácií. Neprepadajte panike: niekoľko úloh to potom vysvetlí.
Vyriešte kvadratickú rovnicu:
- Vložte rovnicu v tvare x 2 + px + q = 0
- Zistite „p“ a „q“
- Zapojte to do vzorca PQ
- Použite ho na výpočet riešenia
Toľko plán. Je čas to vyriešiť niekoľkými úlohami. Postupujte podľa týchto príkladov a použite štvorbodový zoznam zhora.
Dôležitá poznámka: Aby nedošlo k zámene študentov s mnohými zlomkami, niektoré príklady boli zaokrúhlené.
Príklad 1:
Vysvetlenie: „3“ pred x 2 vás trápi! Vždy musí existovať „1“, t. J. 1x 2. Ak to chcete urobiť, vydeľte 3. Potom prečítajte p a q. Čísla p a q sa vložia do vzorca riešenia. Potom sa počíta výraz pred a pod koreňom. Potom sa z hodnoty odoberie koreň, ktorý sa raz pridá a raz odčíta. Kvadratická rovnica má maximálne dve skutočné riešenia. Takže v škole má kvadratická rovnica maximálne dve riešenia, v štúdiách má vždy dve riešenia (ak pripustíte komplexné čísla, ale tu sa nimi nezaoberáme).
Príklad 2:
Vysvetlenie: Pôvodná úloha je už v správnej forme. Preto p a q možno určiť rovnako. Potom to vložte do rovnice a vypočítajte. Ako je zrejmé z výsledku, riešenie -2 existuje dvakrát, t. J. X1 = -2 a x2 = -2.
Riešiť rovnice so záporným koreňom
Existujú ďalšie dva tipy na riešenie kvadratických rovníc alebo kvadratických funkcií pomocou vzorca PQ:
- Ak vypočítate čísla pod koreňom a potom bude pod koreňom záporné číslo, môžete prerušiť. Potom rovnica nemá riešenie (aspoň nie pre školákov, študenti potom musia robiť imaginárnu aritmetiku).
- Venujte pozornosť znameniu! Napríklad ak musíte vyriešiť úlohu x 2 -5x + 3 = 0, potom p = -5. Potom musíte použiť toto -5 vo vzorci PQ!
Príklad pre oba prípady nájdete tu:
Riešte rovnice: ABC vzorec alebo polnočný vzorec
Riešenie rovníc - alebo skôr kvadratických rovníc - je možné vykonať aj pomocou vzorca ABC alebo polnočného vzorca. Vzorec ABC je veľmi podobný vzorcu PQ a používa sa na riešenie kvadratických rovníc. Ak správne počítate, s oboma vzorcami získate rovnaký výsledok. Teraz nasleduje všeobecný vzorec a riešenie a potom sa obrátime na príklad.
Viac o tejto metóde riešenia v článku ABC vzorec.
Riešenie rovníc: 3. sila a vyššie
Polynomické delenie je matematická technika používaná na výpočet núl polynómov. Môže sa tiež použiť na riešenie rovníc vyššieho stupňa. Metóda výpočtu je podobná ako v písomnom rozdelení, ktoré ste poznali na základnej škole. Z tohto dôvodu si v nasledujúcom najskôr najskôr krátko povieme o písomnom delení a potom tieto poznatky aplikujeme na polynomické delenie.
Aby tu nebol článok dlhší, v príslušnom článku je všetko o delení polynómov: Delenie polynómov.
Riešiť lineárne sústavy rovníc
Pozrime sa na riešenie rovníc iným spôsobom. Najskôr by ste mali vedieť, čo sa myslí pod systémom rovníc s dvoma premennými. Na úvod malý príklad: Idete nakupovať a viete, že 6 jabĺk a 12 hrušiek obzvlášť dobrej kvality stojí 30 eur. A viete, že 3 jablká a 3 hrušky stoja 9 eur. Otázka teraz znie: čo stojí jablko alebo hruška? Pretože výrazy jablká a hrušky sú príliš dlhé, nahradíme „x“ cenou jablka a výrazom „y“ cenou hrušky. Z toho vzniknú nasledujúce rovnice (porovnajte ich s informáciami v texte!):
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| 6. | Jablká | a | 12 | Hrušky | náklady | 30 euro |
| 6. | X | + | 12 | r | = | 30 |
| 3 | Jablká | a | 3 | Hrušky | náklady | 9 eur |
| 3 | X | + | 3 | r | = | 9 |
To samozrejme zatiaľ nevyzerá tak jasne. Z tohto dôvodu bola v matematike zavedená nasledujúca notácia, ktorá poskytuje lepší prehľad:
Tabuľka sa dá posúvať doprava
| | 6x + 12r | = | 30 | | Rovnica č |
| | 3x + 3r | = | 9 | | Rovnica # 2 |
Takýto systém rovníc naznačuje: Tieto rovnice si navzájom patria. To je tiež dôvod, prečo ich musíte vyriešiť spoločne. Cieľom je získať číslo pre x a y, ktoré spĺňa obe rovnice. A o to sa postaráme teraz.
Aby nebol článok dlhší, v našich článkových systémoch lineárnych rovníc je všetko ostatné o lineárnych sústavách rovníc.
Ďalšie články:
- Vzorec ABC: Pomocou vzorca ABC alebo polnočného vzorca môžete vyriešiť aj kvadratické rovnice. Ako to funguje, sa dozviete v našom článku o vzorcoch ABC.
- Polynomické delenie: Polynomické delenie je metóda na hľadanie núl v rovniciach s vyššou silou. Ako to funguje a ako ho môžete použiť na riešenie rovníc, sa dozviete v článku Polynomiálne delenie.
- nulový bod: Ako nájdete nuly? Podrobný článok s rôznymi metódami, príkladmi a úlohami nájdete v článku Výpočet núl.