Rotácia okolo pevnej osi - online kurzy

Čakajú na vás ďalšie výukové videá a množstvo materiálov:
Kompletný balíček pre študentov strojárstva

Video sa načítava .

Ak sa video po chvíli nezobrazí:

Sprievodca prezeraním videa

• Video: Rotácia okolo pevnej osi
• Uhlová rýchlosť
• Uhlové zrýchlenie
• rýchlosť
• zrýchlenie
• Zhrnutie
• Príklad: Rotácia okolo pevnej osi

V tejto časti sa najskôr uvažuje s rotáciou tuhého telesa okolo pevnej osi. Nasledujúci klip by mal slúžiť ako ilustrácia. Vrták vŕtacieho lisu sa otáča tu:

Video: Rotácia okolo pevnej osi

Video sa načítava .

Ak sa video po chvíli nezobrazí:

Sprievodca prezeraním videa

Ak sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi ako v spone vyššie [mierna nevyváženosť vrtáka je zanedbaná], akýkoľvek bod $ P $ v tele sa pohybuje po kruhovej dráhe.

Ak sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi otáčania, všetky body tuhého telesa sa pohybujú po kruhovej dráhe. Kruhové dráhy všetkých telies sú kolmé na os otáčania. Diaľkový lúč $ r $ predstavuje spojenie medzi bodom $ P $ a bodom $ 0 $ na osi otáčania. Diaľkové lúče všetkých bodov tela pokrývajú rovnaký uhol natočenia $ \ varphi $ v rovnakom čase. To znamená, že uhlová rýchlosť $ \ omega = \ frac $ (odvodenie uhla vzhľadom na čas) a uhlové zrýchlenia $ \ alpha = \ frac = \ frac $ (odvodenie uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas) sú rovnaké pre všetky body na tele. Stačí preto zohľadniť jeden bod na tuhom telese a určiť uhlové rýchlosti a uhlové zrýchlenia tohto jedného bodu, ktorý potom predstavuje celé tuhé teleso. Rovnice pre kinematiku hmotného bodu možno preto použiť pre špeciálny prípad kruhového pohybu (pozri časť Špeciálny prípad: kruhový pohyb).

Uhlová rýchlosť

Pozícia $ r $ v čase $ t $ je daná uhlom $ \ varphi $ medzi pevnou referenčnou čiarou a $ r $. Zmena uhla je daná $ d \ varphi $. Pretože rotácia je okolo pevnej osi, smer zmeny uhla je vždy pozdĺž pevnej osi. Zmena uhla po čase $ t $ sa tiež nazýva uhlová rýchlosť:

metóda

Uhlové zrýchlenie

Zmena uhlovej rýchlosti v čase sa nazýva uhlové zrýchlenie $ \ alpha $:

metóda

Smer $ \ alpha $ závisí od toho, či sa uhlová rýchlosť zvyšuje alebo znižuje. So zvyšujúcou sa uhlovou rýchlosťou sa smer $ \ alpha $ zhoduje so smerom $ \ omega $ (kladné uhlové zrýchlenie), so znižujúcou sa uhlovou rýchlosťou je smer $ \ alfa $ opačný k smeru $ \ omega $ (záporné uhlové zrýchlenie).

Vylúčením $ dt $ z vyššie uvedených dvoch rovníc pridaním $ d \ varphi $ získame rozdielny vzťah medzi uhlovým zrýchlením a uhlovou rýchlosťou:

Vkladanie $ \ omega = \ frac $:

Násobenie $ d \ varphi $:

metóda

$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $

rýchlosť

Ak sú uvedené uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie (ktoré sú rovnaké pre všetky body), je možné určiť rýchlosti a zrýchlenia jednotlivých bodov. Už to nie je to isté, pretože body, ktoré sú ďalej od osi otáčania, majú vyššiu rýchlosť a teda aj zrýchlenie ako body, ktoré sú bližšie k osi otáčania.

Vektor rýchlosti pre bod $ P $ vyplýva z:

metóda

Vektor rýchlosti

Skalárna zložka:

Celková rýchlosť ako skalár sa dá určiť ako:

metóda

Jasne vidíte, že rýchlosť každého bodu je iná, pretože $ r $. Body, ktoré sú bližšie k osi otáčania, majú nižšiu rýchlosť.

zrýchlenie

metóda

Vektor zrýchlenia

Skalárne komponenty:

Radiálne zrýchlenie $ a_r = - r \ omega ^ 2 $ (kolmo na kruhovú dráhu)

Obvodové zrýchlenie $ a_ = r \ dot = r \; \ alpha $ (tangenciálne k kruhovej ceste)

Celkovú akceleráciu ako skalár možno teda vypočítať ako:

metóda

Ak je uhlová rýchlosť $ \ omega $ konštantná, odvodí sa z tejto derivácie hodnota nula. Obvodové zrýchlenie je potom nulové. To znamená, že sa mení iba smer pohybu, rýchlosť zostáva konštantná.

metóda

$ a = a_r $ Zrýchlenie pri konštantnej uhlovej rýchlosti

Zhrnutie

• Všetky body tela, ktoré sa otáčajú okolo pevnej osi otáčania, popisujú kruhové dráhy.
• Ak sú známe uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie, je možné určiť rýchlosť a zrýchlenie každého bodu na tele. Dôležité: Uhlové zrýchlenie a uhlová rýchlosť sú rovnaké pre všetky body pri otáčaní okolo pevnej osi otáčania. Rýchlosť a zrýchlenie však nie sú, pretože body ďalej od osi otáčania majú vyššiu rýchlosť ako body blízko osi otáčania.

Príklad: Rotácia okolo pevnej osi

príklad

Na obrázku vyššie sa disk $ S $ pripojený k motoru začne otáčať z pokojovej polohy s konštantným uhlovým zrýchlením $ \ alpha_S = 2 rad/s ^ 2 $. Pás spôsobí pretočenie spodného kolesa $ R $. Určte mieru rýchlosti a rýchlosti zrýchlenia bodu $ P $ na kolese $ R $ po jednom otočení kolesa $ R $. Neroztiahnuteľný remienok by nemal kĺzať, ale pevne sa držať. Platí nasledujúce:

$ r_S = 0,25 m $, $ r_R = 0,55 m $.

Koleso $ R $ sa vraj raz otočilo. Jedna revolúcia má $ 360 ° $ alebo $ 2 \ pi \; rad $. To znamená, že koleso $ R $ vymetá uhol:

$ \ varphi_R = 360 ° $. bwz. v radiánoch: $ \ varphi_R = 2 \ pi \; rad $

Pás nesedí a nešmýka sa. To znamená, že z remenice $ S $ pásu sa vždy odvinie rovnaká dĺžka ako z kolesa $ R $. Dĺžka pásu sa dá určiť pomocou vzorca pre dĺžku oblúka, pretože koleso aj remenica predstavujú kruh a pás je obtočený okolo oboch. Dĺžka oblúka je určená:

Všimnite si

$ L = r \ cdot \ varphi $ (v radiánoch)

Platí pravidlo, že dĺžka pásu, ktorý sa odvíja z kladky a kolesa, je vždy rovnaká:

$ L = r_R \ cdot \ varphi_R = r_S \ cdot \ varphi_S $ (v radiánoch)

Obidve rovnice je možné teraz vyriešiť pre $ \ varphi_S $ a vložiť hodnoty:

Dva uhly vyššie sú rovnaké, iba raz v radiánoch a raz v stupňoch. To znamená, že ak sa koleso $ R $ otáča raz (= 360 °), disk $ S $ sa otáča 2,2-krát (= 792 °/360 ° = 2,2).

Ďalej sa určí uhlová akcelerácia disku $ S $. Akcelerácia je konštantná $ \ alpha_S = \ dot_S = const $ is (pozri úlohu) a je všeobecne určená:

Nie je tu však žiadna závislosť od času, a preto sa používa nasledujúci vzťah (pozri text vyššie):

$ \ alpha \; d \ varphi = \ omega \; d \ omega $

Pretože uhlové zrýchlenie $ \ alpha_S $ je konštantné, po integrácii platí:

$ \ alpha_S (\ varphi_S - \ varphi_) = \ frac \ omega_S ^ 2 - \ frac \ omega_ $

Otočenie z pokojovej polohy znamená $ \ omega_0 = 0 $ a $ \ varphi_0 = 0 $:

$ \ alpha_S \ cdot \ varphi_S = \ frac \ omega_S ^ 2 $

Vyriešiť za $ \ omega_S $:

Vkladanie hodnôt:

metóda

Všetky body na disku $ S $ sa otáčajú rovnakou uhlovou rýchlosťou $ \ omega_S = 7,44 \ frac $. Teraz by sa však mala určiť rýchlosť bodu $ P $ na kolese $ R $. Tu je uhlová rýchlosť samozrejme iná, pretože koleso je oveľa väčšie. Existuje však súvislosť medzi pohybom disku $ S $ a kolieskom $ R $. Všetky body na páse majú rovnakú rýchlosť $ v $ a rovnaké tangenciálne zrýchlenie $ a_ $. Nie všetky body na kladke $ S $ alebo na kolese $ R $ majú rovnakú rýchlosť (alebo zrýchlenie), iba body na páse (t. J. Všetky vonkajšie body). Medzi tieto body patrí aj bod $ P $, ktorý je umiestnený na vonkajšom okraji, a preto má rovnakú rýchlosť a rovnaké tangenciálne zrýchlenie ako všetky ostatné body na páse. Rýchlosť sa dá všeobecne určiť podľa:

$ v = \ omega \ cdot r $

Pretože všetky body na vonkajšej hrane disku $ S $ a koliesko $ R $ majú rovnakú rýchlosť, platí nasledujúce (polomery siahajú k okraju):

Všimnite si

$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $

Rýchlosť bodu $ P $ sa zvyčajne určuje pomocou kolieska $ R $, na ktorom je bod umiestnený:

$ v_P = \ omega_R \ cdot r_R $

Rýchlosť sa tu však dá určiť aj určením rýchlosti vonkajších bodov na disku $ S $, pretože sa rovná vonkajším bodom na kolese $ R $ (a $ P $ je na vonkajšej strane):

metóda

$ v_P = \ omega_S \ krát r_S = 7,44 \ frac \ krát 0,25 m = 1,86 \ frac $

Zrýchlenie bodu $ P $ vyplýva z týchto dvoch zložiek:

$ a_r = - r_R \; \ omega_R ^ 2 $

Ako už bolo spomenuté vyššie, tangenciálne zrýchlenie $ a_ $ je rovnaké pre všetky body na páse. Celé zrýchlenie je výsledkom dvoch zložiek:

$ a_r = - r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $

Pretože tangenciálne zrýchlenie je rovnaké pre všetky vonkajšie body, dá sa určiť aj z disku $ S $:

$ a_ = r_S \; \ alpha_S = 0,25 m \ cdot 2 \ frac = 0,5 \ frac $

Normálna zložka zrýchlenia $ a_r $ je pre každý bod iná, a preto:

$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 $

Uhlová rýchlosť $ \ omega_R $ stále chýba. To možno určiť zo vzťahu medzi rýchlosťou:

Všimnite si

$ v = \ omega_S \ cdot r_S = \ omega_R \ cdot r_R $

Riešiť za $ \ omega_R $:

Normálna zložka zrýchlenia je:

$ a_r = -r_R \ cdot \ omega_R ^ 2 = -0,55 m \ cdot (3,38 \ frac) ^ 2 = -6,28 \ frac $

Výsledkom celkového zrýchlenia je:

---