Váhy - Aký vrchol CiupaCabra
Našiel som problém popísaný na obrázku priloženom na internete. V sekciách komentárov boli dve opačné riešenia. Zaujímalo ma teda, ktoré z nich by bolo skutočným riešením.
V zásade by teda otázka stála takto. Predpokladajme, že máme dva rovnaké poháre naplnené rovnakým množstvom rovnakej tekutiny, napríklad vodou. V ľavom pohári bude na spodok pohára pripevnená šnúrka pingpong a nad pravým sklom bude z povrázku zavesená oceľová guľa rovnakej veľkosti (objemu) ako pingpongové gule, ktoré oceľovú guľu potopia. vo vode, ako je to znázornené na obrázku. Ak majú byť obidve poháre umiestnené na rebríku, ktorú stranu by mohli urobiť?
Podľa internetu sa za riešenie považuje ktorákoľvek z nasledujúcich odpovedí.
- Ľavá strana sa nakloní nadol, keď pingpongové loptičky a kábel pridajú hmotu doľava, keď sú pripojené k systému.
- Pravá strana by sa naklonila nadol kvôli vztlaku vody na oceľové guľky, ktorý tlačil oceľové guľôčky hore a dole po rebríku.
Aké by bolo riešenie podľa fyziky?
7 odpovedí
Tu je bezplatný diagram tela:
Štyri rovnovážné rovnice sú
$$ \ začiatok B_1 - T_1 - m_1 g & = 0 \\ B_2 + T_2 - m_2 g & = 0 \\ F_1 + T_1 - B_1 - M g & = 0 \\ F_2 - B_2 - M g & = 0 \ koniec $$
kde $ \ color $, $ \ color $ sú plávajúce sily, $ \ color $, $ \ farba napätia srdca a $ M g $ predstavuje hmotnosť vody, $ m_1 g $ hmotnosť pingpongovej loptičky a $ m_2 g $ hmotnosť gule z ocele.
Riešenie vyššie uvedeného dáva
$$ \ začiatok F_1 & = (M + m_1) g \\ F_2 & = M g + B_2 \\ T_1 & = B_1 - m_1 g \\ T_2 & = m_2 g - B_2 \ koniec $$
Takže to skončí vpravo, ak vztlak oceľovej gule $ B_2 $ je väčší ako hmotnosť pingpongovej gule $ m_1 g $.
Toto je rovnaká odpoveď ako @rodrigo, ale s diagramami a rovnicami.
Hmotnosť na ľavej miske by bola hmotnosť vody plus váza plus pingpongová loptička (plus niť, ignorovaná).
Hmotnosť na pravej nádobe by bola hmotnosť vody plus váza plus vztlak oceľovej gule (plus vztlak ponorenej nite, ignorované). Tento vztlak predstavuje hmotnosť ekvivalentného objemu vody.
Pretože pingpongové loptičky sú ľahšie ako voda, váha sa posunie doprava.
Prečo je váha na miske rovná? Vyzerajte takto: lopta je v rovnováhe, takže súčet všetkých síl na ňu bude 0. Tieto sily sú hmotnosť, napätie drôtu a vztlak. Napätie na drôte je teda $ voltage = guľa - vztlak $ (samozrejme?). A váha na rovnej doske je súčtom všetkých hmotností mínus napätie na drôte. Toto je $ voda + váza + lopta - napätie $, čo je rovnaké ako $ voda + váza + vztlak $.
Myšlienkový experiment
K intuitívnemu vysvetleniu môžeme dospieť bez špeciálnych vedomostí z fyziky. Stratégia je znovu vytvoriť nastavenie čo najtesnejšie pri zachovaní rovnováhy oboch častí.
Predstavte si, že začnete s dvoma rovnakými pohármi, naplnenými rovnakým množstvom vody, bez guľôčok. Ak je to umiestnené na váhe, vyvažuje to.
Na ľavú stranu položte ping-pingovú guľu so zapichnutou niťou. Predpokladajme, že drôt a steny lopty majú zanedbateľnú hmotnosť. S touto aproximáciou zostávajú zostatky vyvážené. (Nakoniec, všetko, čo som urobil, bolo pomenovanie ľubovoľnej sféry vzduchu nad vodou.)
Potom predstierajte, že v spodnej časti ľavého pohára, ktorý ovláda navijak a napína reťazec, je vodník. To opäť nemá žiadny vplyv na mierku, pretože zmena konfigurácie na ľavej nádobe je autonómna. Lopta sa potápa a hladina stúpa.
Na pravej strane spustite vodu prepúšťajúcu guľu zavesenú na šnúrke. (Predstierajte, že steny lopty majú zanedbateľnú váhu.) Lopty sú naplnené vodou, ktorá už bola v kadičke. Stupnica opäť zostáva vyvážená, pretože všetko, čo som urobil, je pomenované podľa ľubovoľnej sféry vody.
Predpokladajme, že vo vnútri priamej gule je kráľ Midas, ktorý premieňa vodu na zlato alebo oceľ alebo akýkoľvek hustý materiál. To nevadí, pretože prípadnú váhu navyše unesie struna, ktorá zavesí správnu loptu.
Váhy dodnes zostávajú vyvážené. Aký je však rozdiel medzi doterajším scenárom a scenárom vo vašej otázke? Hladina vody vpravo sa nezvýšila, keď som spustil pórovitú tyč do rovného skla, ako by to bolo, keby som spustil pevnú oceľovú guľu.
Takže nalejte určité množstvo vody do správneho pohára, čo zodpovedá objemu oceľovej gule, a vytvorili ste novú konfiguráciu! Samozrejme, rebrík by potom odbočil doprava.
Čudujem sa, že je to pre niektorých také mätúce. Toto je príliš dlho na to, aby som to mohol komentovať, takže dávam odpoveď. Verzia TL; DR: Odpovede, ktoré hovoria, že sa mierka nakloní doprava, sú správne. Pohár plný vody s oceľovými guľkami zavesenými na vrchu je ťažší ako pohár obsahujúci pingpongové gule ukotvené zo spodu.
Hypotézy
- Dva balóny sú identické. Ak to chcete urobiť, až kým sa chĺpky nerozdelia, pripevnite na spodok oboch balónikov konektor. Konektor sa použije na ukotvenie pingpongovej loptičky zľava nadol. Na výrobu rovnakých balónov potrebujeme ten istý konektor, nepoužitý, na pravej strane.
- Dva balóny obsahujú rovnaké množstvo vody.
- Pingpongové loptičky a oceľové gule sú rovnako veľké a sú úplne suspendované vo vode.
- Pingpongové loptičky sú menej husté ako voda, zatiaľ čo oceľové gule sú samozrejme hustejšie ako voda.
- Struny majú zanedbateľnú hmotnosť.
- Váhy sú veľmi citlivé a dokážu detekovať hromadné rozdiely na úrovni subcentrigramu.
Pokus č. 1: Pingpongová tyč ukotvená vľavo, bez oceľového balóna vpravo
Je to ľahké: ľavá strana je ťažšia. Jednoduché vysvetlenie je pozrieť sa na vodné gule + ping pong vľavo ako systém. Tento systém je statický, takže čistá sila je nulová. Hmotnosť systému je súčtom hmotnosti vody a gule: $ m_ = m_w + m_b $. Gravitácia vyvíja silu smerom dole $ g m_ = g (m_w + m_b) $. Ak ignorujeme atmosférický tlak, jedinou silou je dno balónov na vode. Musí to byť presný opak hmotnosti systému voda + guľa, aby mala čistá sila nulu. Sila prenášaná na ľavú stranu stupnice je teda $ W_l = g (m_f + m_w + m_b) $, kde $ m_f $ je hmotnosť balóna. Na pravej strane je to iba hmota vody a balónik, takže sila prenášaná na pravú stupnicu je $ g (m_f + m_w) $ alebo $ g m_b $ menšia ako sila vľavo. Dutiny smerujú doľava.
Majte na pamäti, že som ignoroval sily na strunu, vztlak a tlak. Vyvolanie týchto výsledkov vedie k rovnakej odpovedi ako vyššie, ale s oveľa väčším úsilím. Gule majú na seba pôsobiace tri sily: gravitáciu ($ W_b = g m_b $, dole), vztlak ($ B = g \ rho_w V_b $, hore) a napätie ($ T $, dole). Lopta je statická, takže $ T + W_b = B $ alebo $ T = B-W_b $. Voda má na ňu pôsobiace tri sily, gravitáciu ($ W_w = g m_w $, dole), tretí zákon proti vznášajúcej sa sile, ktorú voda vyvíja na loptu ($ B = g \ rho_w V_b $, ale teraz smeruje do nižšia ako hore) a nižšia sila balóna na vode ($ F_p $ hore). Čistá sila na vodu je nulová, takže $ F_p = W_w + B $. Sily na dne balónika sú napätie v šnúrke smerujúce nahor a tlakový tlak vo vode smerujúci nadol: $ F_f = F_p - T = (W_w + B) - (B-W_b) = W_w + W_b = g ( m_w + m_b) $.
Niektorí si povedia „ale ako reaguje reakčná sila na vztlak na dno balóna?“ Pamätajte na to, že som sa nedovolával tretieho Newtonovho zákona v súvislosti s pôsobením proti plávajúcej sile, ktorá nakoniec pôsobila na spodok balóna. Použil som statickú analýzu. Vysvetlenie toho, ako sa táto sila možno prenáša na dno balónika, je tlak. Sila balóna na vode je rovnaká, ale opačná ako sila vody na balóne, a toto je časové pásmo tlaku. Prítomnosť lopty zvyšuje výšku vodnej špičky o množstvo potrebné na pokrytie objemu lopty, čo zvyšuje tlak na spodnú časť balóna. Ak je balón valcovitý, je to pomerne ľahký výpočet: $ \ Delta h = V_b/A $ a tak $ \ Delta P = \ rhog \ Delta h A = \ rho g V_b $. Toto je veľkosť vztlaku.
Pokus č. 2: Žiadna pingpongová loptička vľavo, oceľová lopta zavesená vpravo
Mierka sa nakloní nadol doprava. Existuje jednoduchá cesta, náročná cesta a ťažšia cesta k riešeniu. Najťažšie je zapojenie tlaku a výsledok bude rovnaký ako pri ostatných dvoch prístupoch. Obídem tlak. Najjednoduchšou cestou je statická analýza. Voda vyvíja na loptu plávajúcu silu, ktorá na vodu vyvíja rovnakú, ale opačnú silu. Voda je statická, takže dno balónika vyvíja na vodu silu rovnajúcu sa súčtu jej hmotnosti a veľkosti plávajúcej sily: $ W_w + B = g m_w + B $. Pričítaním hmotnosti balónika sa získa celková hmotnosť vpravo: $ W_r = g (m_f + m + w) + B $. Naľavo máme iba hmotnosť balóna a vody. Mierka sa nakláňa doprava.
Pokus č. 3: Pingpongové loptičky ukotvené vľavo, oceľová guľa zavesená vpravo
Teraz poznáme hmotnosť registrovanú bankou + voda + pingpongový guľový systém vľavo a hmotnosť registrovanú bankou + voda + zavesený oceľový guľový systém ob vpravo. Jednoduchá vec je porovnať tieto dva prvky: $ W_r - W_l = g (m_f + m + w) + B - g (m_f + m_w + m_b) = B - g m_b $. Keďže pingpongová loptička pláva, $ B> g m_b $, váha sa nakloní dole doprava.
Experiment č. 4: Rovnako ako v experimente č. 2, aj teraz pridajte vodu na ľavú stranu
Môžeme jednoducho pridať vodu k balónu vľavo v experimente č. 2, aby sme vyvážili rebrík. Keď to urobíme, uvidíme, že rovnováha je vyvážená, keď je hladina vody v dvoch balónoch presne v rovnakej výške nad dnom balóna. (Toto je argument tlaku.) Ak zmeriame množstvo pridanej vody, bude mať rovnaký objem ako objem guľôčky. (Toto je argument vztlaku).
Experiment č. 5: pingpongové loptičky ukotvené na ľavom balóne, vľavo v experimente č. 4 vpravo
Pretože dva balóny v experimente č. 4 majú rovnakú hmotnosť, stupnica sa bude i naďalej nakláňať doprava, ako v experimente č. 3. Ak sa pozrieme na dva balóny, zistíme, že hladina vody v nich je rovnaká.
Pokus č. 6: pingpongová loptička ukotvená vľavo, pingpongová loptička ukotvená vpravo
Tu nahradíme oceľovú guľu v experimente č. 3 drvenou pingpongovou loptičkou ukotvenou zospodu. Pretože sa plávajúca sila ruší vo vodnom systéme ping pong + (pozri experiment č. 1), mohlo by sa zdať, že test neporušený v porovnaní s rozdrveným pingpongom sa vyrovná. Nie je to potrebné. Neporušené pingpongové loptičky vážia o niečo viac. Vo vnútri má asi 4 centy vzduchu. Toto je súčasť merania vľavo, nie však vpravo. Neporušený systém pingpongových loptičiek je o niečo ťažší. Pretože naša mierka je presná na subcentigramy, bude sa v tomto experimente mierka nakláňať nadol doľava.
Vyššie uvedené sú nesprávne. Hladina vody bude na strane rozdrvenej pingpongovej loptičky o niečo nižšia. Pokiaľ nie sú pingpongové loptičky nafúknuté na podstatne vyšší tlak ako ten atmosférický, mierne zvýšený tlak na strane rozdrvenej pingpongovej loptičky viac alebo menej kompenzuje zníženie hmotnosti.
Pokus č. 7: Oceľovú guľu v experimente č. 2 nahraďte neporušenou pingpongovou loptičkou
Nakoniec vymeňte šnúrku pripevnenú k veži, ktorá zavesí oceľovú guľu vo vode, za pevnú tyč pripevnenú k veži, ktorá núti ponoriť pingpongovú loptičku. Výsledok bude totožný s experimentom č. 2. Plávajúca sila sa rovná objemu, nie hmotnosti. Nezáleží na tom, aký druh lopty použijeme, pokiaľ zostane rovnaký objem. Účinok na vežu bude zjavne iný, ale veža nie je súčasťou systémov, ktoré hráme.
No urobil som to zle a ospravedlnil som sa tým, ktorých som preložil.
Zdalo sa to ľahké: voda v oboch má rovnakú hmotnosť, takže som si myslel, že jej odstránenie nebude mať žiadny vplyv na rovnováhu. To bolo nesprávne: odstránenie vody zo skla na pravej strane má efekt, prítomnosť zavesenej gule nepridáva ďalšiu váhu, takže pravý podnos klesá.
Urobil som niekoľko experimentov, aby som to overil, pomocou plastového pohára na pitie na citlivej digitálnej váhe som bol obmedzený maximálnou hmotnosťou, ktorú by váha mohla ukázať, a to až do celkovej hmotnosti 200 g, čo obmedzovalo, ako som urobil testy. Výsledky som vyfotografoval (prepáčte pozadie, zelený štít ignorujte):
Ako posledný pokus, ktorý nebol fotografovaný, som si všimol hladinu vody a odčítanie stupnice pred znížením hmotnosti ocele. Po znížení hmotnosti pod povrchom som odstránil vodu späť na rovnakú úroveň. Vybral som teda vodu, ktorá sa posunula o váhu, a čítanie rebríka sa vrátilo k pôvodnému. Pre mňa to ukazuje, že extra hmotnosť na podnose, keď je masívna hmota ponorená, sa rovná hmotnosti vytlačenej vody.
To vedie k jednoduchému vysvetleniu toho, prečo klesá priamy sklon. Odstráňte oceľové guľôčky a predstavte si ich, že po sebe nechajú otvor vo vode presne rovnakej veľkosti ako guľa, aby celková úroveň vodnej hladiny bola taká, aká bola s guľkou stále ponorenou. Predstavte si tento otvor naplnený vodou navyše: potom sú sily na sférickú vodnú kefu, ktorá nahradila loptu, úplne rovnaké ako sily, ktoré pôsobili na zavesené lopty. To pre mňa ukazuje, že prítomnosť gule zvyšuje váhu rovnajúcu sa objemu vytlačenej vody.
Ukazuje tiež, že na zavesenom objekte záleží len na dvoch veciach, a to na jeho objeme a tom, že je hustejší ako voda. Jeho váha a tvar nie sú podstatné (pokiaľ neobsahujú vzduch navyše, pretože sú spustené pod povrchom).
Teraz si uvedomujem, že niečo veľmi podobné im bolo povedané v už spomenutých komentároch a odpovediach, a hoci som skončil sám, vážim si a uznávam ich predchádzajúce vedomosti.