Vypočítajte nuly

Ako môžeš Vypočítajte nuly? Presne na to sa pozrieme v nasledujúcich niekoľkých častiach. Ponúka sa nasledujúci obsah:

Najprv je Vysvetlenia, čo sú nuly a aké sú možnosti na výpočet núl.
To bude Príklady vopred vypočítané, aby sa zobrazili rôzne metódy, ako napríklad ABC vzorec, PQ vzorec a polynomické delenie.
úlohy a Cvičenia vám umožní precvičiť si výpočet núl.
A Video K dispozícii je tiež výpočet pre vynulovanie.
A Oblasť otázok a odpovedí odpovedá na typické otázky týkajúce sa hľadania núl.

Najprv veľmi stručne vysvetlím, čo sú nuly. Potom ide o to, ktoré typy funkcií alebo rovníc existujú a pomocou ktorej metódy je možné vypočítať ich nuly. Ďalej sa okrem iného dozviete aj vzorec PQ, polnočný vzorec a polynomické delenie. Ak máte problémy s obsahom, môže vám chýbať niekoľko dôležitých predchádzajúcich znalostí: V takom prípade sa venujte témam riešenia rovníc a kresliacich funkcií.

Vysvetlenie: Vypočítajte nuly

Predtým, ako sa pozrieme na výpočet núl, mali by sme si najskôr odpovedať na nasledujúcu otázku: Čo sú to nuly? Matematický popis je: Číslo x0 sa nazýva nula f, ak f (x0) = 0. Znie to komplikovane, však? Poďme teda po jasnejšej ceste. Funkcie alebo rovnice môžete vykresliť do súradnicového systému. V nasledujúcej grafike to bolo nakreslené modrou farbou. Ak sledujete jeho priebeh, uvidíte, že existuje bod, kde prechádza cez os x. Práve tu máme nulu (nakreslenú červenou farbou). A - znova sa pozrite na grafiku - presne tam je y = 0.

Obrázok 1: Lineárna rovnica (funkcia)

Funkcia alebo rovnica môže mať samozrejme viac ako jednu nulu. To je vidieť na nasledujúcej grafike, kde vidíme kvadratickú rovnicu/funkciu, ktorá má dve nuly (krúžené červenou farbou).

Obrázok 2: Kvadratická rovnica/funkcia

Nulovanie: príklady a vzorce

Ako sa dá vypočítať nula? Pozrime sa tu na množstvo príkladov a zodpovedajúcich vzorcov. Plán vyzerá takto:

Ako vypočítať nuly:

Zistite, aký typ rovnice alebo funkcie máme.
Nájdite vhodný vzorec alebo metódu riešenia.
Pomocou tohto vzorca alebo metódy vypočítajte nuly.

Nepomáha: teraz sa musíme pozrieť na to, aké typy rovníc alebo funkcií existujú. Aby sme sa potom mohli rozhodnúť, ktorú metódu riešenia môžeme použiť.

Nulový bod pre lineárnu funkciu:

Začnite s lineárnymi rovnicami alebo lineárnymi funkciami. Tieto majú formu:

Príklady lineárnych rovníc:

Príklad lineárnej rovnice 1:

Kde je nula rovnice y = x - 2? Riešenie: Vieme, že na nájdenie nuly musíme nastaviť y = 0.

Takže máme nulu pri x = 2. A tento bod je charakterizovaný skutočnosťou, že y = 0 tu. Bod nuly je teda P (2; 0).

Príklad lineárnej rovnice 2:

Kde je nula v rovnici y = 4x - 4? Riešenie: Aj tu nastavíme y = 0 a potom vypočítame x.

Nulový bod je na x = 1. Aj tu vieme, že y = 0. Preto je bod nuly P (1; 0).

Nulová kvadratická rovnica/funkcia:

Prichádzame k výpočtu núl pre kvadratické funkcie alebo kvadratické rovnice. Kvadratické rovnice majú tvar:

Príklady kvadratických rovníc:

Teraz vieme, čo sú to kvadratické rovnice. Ako to vyriešite? Existujú dve bežné metódy. Na jednej strane je tu vzorec PQ. Na druhej strane je tu ABC vzorec, ktorý sa niekedy nazýva aj polnočný vzorec. Pomocou vzorca PQ alebo vzorca ABC možno kvadratické funkcie vyriešiť (pomerne ľahko). Aby ste videli, ako to funguje, urobím cvičenie 3x 2 + 9x + 5 = - 1 s oboma variantmi.

Kvadratická rovnica príklad 1 (s PQ vzorcom):

Predtým, ako budeme môcť použiť vzorec PQ, mali by ste samozrejme najskôr vedieť, ako vzorec PQ v skutočnosti vyzerá. Aby bolo možné toto použiť, musí sa najskôr zabezpečiť, aby pred x 2 bola 1 a rovnica sa uvedie do tvaru s = 0. Potom môžete prečítať paq a jednoducho ich vložiť. Najskôr rovnica riešenia, potom príklad.

Chceli sme vyriešiť príklad 3x 2 + 9x + 5 = - 1, aby sme vypočítali nuly:

Vieme, že potrebujeme rovnicu v tvare = 0, takže najskôr odstránime -1 na pravej strane.
Potrebujeme tiež 1 pred x 2, teda 1x 2 a nie 3x 2 ako tu. Takže vydelíme 3.
Potom môžeme jednoducho prečítať p a q a vložiť ich do vzorca riešenia z poslednej grafiky.
Počítame čísla pred koreňom a pod koreňom.
Pred koreňom je plus (+) a mínus (-). Vypočítame x1 s plusom a x2 s mínusom.
To nám dáva dve riešenia. To sú dve nuly.

Potrebujete viac príkladov a vysvetlení pre vzorec PQ? Potom sa pozrite na náš článok Vzorec PQ.

Kvadratická rovnica príklad 2 (s ABC vzorcom):

Rovnica - ktorú sme práve vyriešili vzorcom PQ - by sa teraz mala vyriešiť polnočným vzorcom. Najskôr transformujeme rovnicu tak, aby sme mali = 0. Odčítame a, b a c a vložíme ich do rovnice riešenia vzorca ABC (polnočný vzorec).

Ako vidíte: Vzorec PQ a vzorec ABC poskytujú rovnaké výsledky.

Kubické funkcie/3. stupeň, 4. stupeň alebo vyššia funkcia:

Lineárne funkcie mali x, s kvadratickými funkciami bol najvyšší výkon dosiahnutý pri x 2. A čo mám robiť teraz, keď mám x 3, x 4 alebo ešte vyššie? Potom potrebujeme polynomické rozdelenie. Pretože s polynomickým delením môžeme riešiť funkcie 3. stupňa, funkcie 4. stupňa alebo aj vyššie.

Polynomické delenie sa skladá z dvoch slov: polynomické a deliace. Rozdelenia zo základnej školy už poznáte, napríklad 6 delené 2 je rozdelenie. Alebo zlomok s čitateľom a menovateľom predstavuje delenie. Stále nám chýba polynóm: Polynóm je súčet násobkov mocností s exponentmi prirodzeného čísla premennej, ktorý je vo väčšine prípadov označený x.

Príklady polynómov:

2x 2 + 5x + 8
9x 3 + x 2 + 5x -3
18x 5 + 30x 4 + 3x

S polynomiálnym delením rozdelíme dva polynómy jeden na druhého. Postup výpočtu núl vyzerá takto:

Potrebujeme funkciu alebo rovnicu, ktorej nuly chceme vypočítať.
Už potrebujeme prvú nulu tejto funkcie
Polynomické delenie je možné uskutočniť pomocou tejto prvej nuly.

Príklad 1 Polynomiálne delenie:

Pozrime sa na príklad polynomiálneho delenia. Nech x 3 - 6x 2 - x + 6 = 0. Kde sú nuly? Riešenie: Uhádnutím dostaneme prvú nulu na x = 1. Preto vydelíme x 3 - 6x 2 - x + 6 x x 1. Keby som mal vložiť x = 1 na x - 1, dostal by som 0 (nula) . Musíme teda vyriešiť nasledujúci problém:

Najprv si napíšeme túto úlohu:

Teraz musíme začať počítať. Funguje to tak, že najskôr musíme vykonať rozdelenie. Najprv vypočítame x 3: x. X je skrátené, t.j. x 3: x = x 2 .

Ďalej sa musíme množiť. Vypočítame x 2 · (x - 1) = x 3 - x 2. Výsledok zapíšeme pod x 3 - 6x 2 .

Teraz odčítajme nasledovne a získajme -5x 2 .

Teraz ťaháme -x zhora dole:

Teraz sa hra začína nanovo. Inými slovami, teraz musíme znova urobiť rozdelenie: -5x 2: x = -5x

Teraz sa znova množíme v opačnom smere: (-5x) · (x-1) = -5x 2 + 5x

A opäť odčítame (viď červené políčko na ďalšom obrázku):

Stiahneme + 6:

A teraz opäť rozdelíme: (-6x): x = -6

A poslednýkrát vynásobíme: (-6) · (x-1) = -6x + 6

Teraz, keď odčítame, vidíme, že výsledok je 0. A zhora (pult) nie je čo viac strhnúť.

Tým sme skončili: Výsledkom polynomiálneho rozdelenia je (x 3 -6x 2 - x + 6): (x-1) = x 2 -5x -6. Teraz však chceme mať nuly (alebo ste na to už po takom dlhom výpočte zabudli?). Stále nám ostáva x 2 -5x -6. Nastavili sme to na nulu (= 0). A potom na to môžeme použiť vzorec PQ. Kto to ešte nevie: Vzorec PQ je vysvetlený vyššie.

Ak použijeme vzorec PQ, dostaneme nuly pri x1 = 6 a pri x2 = -1. Pred tým sme robili polynomické delenie. Týmto sme si hneď na začiatku povedali, že pri x = 1 stále existuje nula. Takže máme tretiu nulu pri x3 = 1.

Vynulovanie úloh/cvičení

Vypočítajte nulové video

Formulárne video PQ

V nasledujúcom videu môžete vidieť, ako funguje vzorec PQ. Najprv je stručne vysvetlené, čo je to kvadratická rovnica/funkcia a ktorý vzorec riešenia sa potom použije. Vypočítajú sa zodpovedajúce príklady.

Výpočet núl: otázky a odpovede

V tejto časti sa pozrieme na typické otázky týkajúce sa výpočtu núl. S príslušnými odpoveďami.

Otázka: Mám pre kvadratické funkcie použiť vzorec PQ alebo vzorec ABC?

Odpoveď: Obaja pracujú. Sám považujem vzorec PQ ľahšie, ale to je vec vkusu. Ak je pred x 2 1, potom je PQ vzorec zvyčajne ľahšou variantou. Ak potrebujete ďalšie informácie o oboch typoch, môžete si tiež pozrieť článok PQ vzorec alebo ABC vzorec (článok bude čoskoro napísaný a potom tu tiež prepojený).

Otázka: Ako nájdem nuly pre sínusové a kosínusové funkcie?

A: Hľadanie núl vo funkciách so sínusom alebo kosínusom je samostatná téma. Týmto sa zaoberáme v článku Nulovanie sínusu/kosínu.

Otázka: Ako môžem dobre nacvičiť túto tému?