Christian Goldbach, muž, ktorý miloval prvočísla - spektrum vedy

Mesačný matematický kalendár: Christian Goldbach (1690–1764): Muž, ktorý miloval prvočísla

Jeden z najslávnejších doposiaľ nedokázaných dohadov v teórii čísel je:

ktorý

Všetky pokusy dokázať túto vetu zatiaľ zlyhali. Ani ocenenie milióna dolárov neprinieslo žiadny pokrok. Chen Jingrun (1933-1996), študent Hua Luogenga (1910-1985), najdôležitejšieho čínskeho matematika 20. storočia, dosiahol v roku 1966 „najlepšiu aproximáciu“ doterajšej Goldbachovej domnienky. Chen Jingrun dokázal, že každé dostatočne veľké párne číslo možno reprezentovať ako súčet prvočísla a iného čísla, ktoré má najviac dva prvočíselné faktory.

Prvé párne čísla zahŕňajú tie, ktoré majú iba jeden Goldbachov rozklad (4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 12 = 5 + 7).

Pre väčšie párne čísla existuje „tendenčný“ rastúci počet možností, ale potom vždy existuje číslo, ktoré má iba niekoľko rozkladov, napríklad 98 = 19 + 79 = 31 + 67 = 37 + 61.

Christian Goldbach, syn protestantského farára, vyrastal v Königsbergu (východné Prusko), kde navštevoval stredné školy a univerzity. Počas štúdia sa venuje najmä právu a medicíne. Dlhé študijné cesty v rokoch 1710 až 1724 ho zaviedli do mnohých európskych miest, kde sa stretol s mnohými významnými matematikmi: v Lipsku navštívil Gottfrieda Leibniza, v Londýne si vymieňal nápady s Abrahámom de Moivre, v Oxforde sa stretol s Nicolausom Bernoulli (I) a v r. Benátky jeho bratranec Mikuláš II., Ktorý nadviazal kontakt so svojím mladším bratom Danielom (všetci synovci Jakuba a Johanna Bernoulliho).

Po návrate do Königsbergu v roku 1724 sa stretol s dvoma cestujúcimi vedcami, nemeckým filozofom Georgom Bernhardom Bilfingerom a švajčiarskym matematikom Jakobom Hermannom, ktorí boli na ceste do Petrohradu, aby tam postavili akadémiu vied - podľa berlínskeho vzoru. V nasledujúcom roku sa Goldbach uchádzal o funkciu predsedu novej akadémie, bol pôvodne zamietnutý, ale na konci roku 1725 bol vymenovaný za predsedu matematiky a histórie.

Počas študentských čias sa Goldbach ťažko zaoberal matematikou; od jeho stretnutia s Leibnizom sa však jeho záujem o matematické predmety zvýšil, ako napríklad ukazuje článok o nekonečných sériách v „Acta eruditorum“.

Od slávnostného založenia akadémie prevzal Goldbach úrad tajomníka a túto koordinačnú činnosť vykonával až do roku 1727, keď bol vymenovaný za učiteľa mladého cára Petra II. (Vnuka Petra Veľkého). Cárka Katarína I. nariadila, že jej dvanásťročný vnuk by mal nastúpiť na cársky trón. V zápase o skutočnú moc v krajine medzi súperiacimi generálmi Menšikovom a Dolgorukovom sa Moskva dočasne stáva opäť hlavným mestom Ruska, takže Goldbach musí postupovať spolu so súdom. Keď mladý cár zomrel o päť rokov neskôr, Goldbach spočiatku zostával v Moskve, kým nová cárka Anna Ivanovna v roku 1732 nepresťahovala dvorce späť do Petrohradu. Po smrti Anny Ivanovnej v roku 1740 bol jej syn, ktorý mal iba niekoľko týždňov, dočasne vyhlásený za cára, kým sa moci chopila Alžbeta, dcéra Petra Veľkého. Christian Goldbach prežil - ako jeden z mála na súde - všetky tieto zmeny vlády bez ujmy.

Goldbach má čoraz menej času na starosti s matematikou; V roku 1729 a potom opäť v roku 1732 publikoval článok o nekonečných sériách. Jeho bremeno administratívnych úloh v kontexte riadenia akadémie z roka na rok rastie, až nakoniec požiada o zníženie svojich úloh.

Goldbach bol v roku 1740 dokonca úplne zbavený svojich povinností na akadémii; lebo nová cárka povýšila veľavravného kozmopolitana na dôležitý post na ministerstve zahraničia, čo mu v nasledujúcich rokoch pomohlo k veľkému bohatstvu a pôde. Matematika zostáva jeho obľúbenou zábavou a v Leonhardovi Eulerovi má veľmi kompetentného korešpondenta.

Leonhard Euler a Christian Goldbach sa osobne stretli v roku 1727, keď Euler začal učiť v Petrohrade. Živá korešpondencia medzi týmito dvoma vedcami sa začala počas Goldbachovho pôsobenia v Moskve a pokračovala viac ako 35 rokov. Vnútorné politické turbulencie v rokoch 1740/41 prinútili Eulera prijať výzvu do Berlína, kde prevzal pozíciu riaditeľa matematickej triedy Pruskej akadémie vied.

Jedná sa predovšetkým o problémy teórie čísel, o ktorých sa diskutuje. Goldbach sa netýka iba vyššie uvedeného predpokladu. Prostredníctvom svojho výskumu dáva Eulerovi veľa návrhov, ktoré môžu vyriešiť rad týchto problémov:

  • Reprezentatívnosť nepárnych prirodzených čísel: Goldbach má podozrenie, že každé nepárne prirodzené číslo (väčšie ako 17) je možné reprezentovať vo forme 2 · n 2 + p, kde p je prvočíslo (19 = 2 · 1 2 + 17 = 2 · 2 2 + 11; 21 = 2 1 2 + 19 = 2 2 2 + 13 = 2 3 2 + 3; 23 = 2 3 2 + 5; 25 = 2 1 2 + 23 = 2 2 2 + 17 = 2 3 2 + 7; 27 = 2 2 2 + 19; 29 = 2 3 2 + 11; ...). Euler skúma nepárne čísla až do 999; Goldbach dokonca preveril predpoklad až k číslu 2499; Moritz Stern našiel v roku 1856 dva protiklady (5777 a 5993); človek nevie, či existujú nejaké ďalšie protipříklady.

  • Vlastnosti Fermatových čísel (prirodzené čísla tvaru Fn = \ (2 ^ \) + 1, ktoré Fermat považoval za vždy prvočísla); Euler v roku 1732 zistil, že F5 = 4 294 967 297 nie je prvočíslo, pretože počet je deliteľný 641. Dnes sa predpokladá, že prvočíslami sú iba čísla F0 až F4.

  • Vlastnosti Mersennových čísel (prirodzené čísla formy Mn = 2 n - 1) a dokonalých čísel (prirodzené čísla, ktorých súčet skutočných deliteľov je rovnako veľký ako samotné číslo): Euklid už ukázal, že každé prirodzené číslo formy 2 n -1 · (2 ​​n - 1) je dokonalé, ak 2 n - 1 je prvočíslo; Euler dokazuje, že platí aj opačná strana vety.

  • Polynómy, ktoré generujú prvočísla: V roku 1772 Euler našiel polynóm n 2 + n + 41, v ktorom po vložení prirodzených čísel n = 0, 1, 2, 3, ..., 39 vzniknú všetky prvočísla.

  • Reprezentatívnosť prirodzených čísel ako súčet štvorcových čísel, čísel kocky, všeobecne k-tá mocnina, určenie najmenšieho počtu g (k) potrebných sčítacích čísel, kde: g (2) = 4 (takzvaná lagrangeova veta o štvorcoch); g (3) = 9; g (4) = 17; g (5) = 37 (preukázal Chen Jingrun v roku 1964). Zovšeobecnenie sa nazýva Waringov problém (po Edwardovi Waringovi, 1736-1798).