Exponenciálny rast populácie
učebné ciele
Ak ste sa touto stránkou prepracovali, mali by ste
- vedieť, o čom je exponenciálny rast,
- osvojiť si matematické princípy exponenciálneho rastu,
- poznať pojmy miera rastu, pôrodnosti a úmrtnosti a vedieť ich dať do súvislosti s exponenciálnym rastom,
- simulovať exponenciálny rast pomocou štandardnej tabuľky.
Exponenciálny rast baktérií
„V závislosti od organizmu a kultivačných podmienok môže byť doba tvorby jednotlivých buniek približne 15 minút (termofilné baktérie), niekoľko hodín (napr. Nitrifikačné baktérie) alebo niekoľko dní.“.
Zdroj: Spectrum Lexicon of Biology, kľúčové slovo „mikrobiálny rast“
Baktérie druhu Escherichia coli sa za optimálnych podmienok môže deliť každých 20 minút. Z jednotlivca sa stanú dvaja po 20 minútach, štyria po 40 minútach, osem po hodine atď. Pozrime sa na graf populačného rastu v Escherichia coli o:
Výpočet populačného rastu E. coli pre 20 generácií
Použil som tabuľku na výpočet a grafické zobrazenie vývoja kolónie E. coli za obdobie dvadsiatich generácií (t.j. dobrých šesť hodín). Po dobrých šiestich hodinách je tu už pol milióna buniek, o 20 minút neskôr už asi 1 milión buniek.
Tu tiež vidíme niečo veľmi typické pre exponenciálny rast: Na začiatku vyzerá rast úplne neškodne, dalo by sa takmer hovoriť o nulovom raste - čo je samozrejme tiež spôsobené tu použitou mierkou. Až asi po 14 alebo 15 generáciách vidíte výrazný rast, ktorý sa potom zvyšuje čoraz viac.
Exponenciálny rast v prírode
Exponenciálny rast sa nepozoroval iba u baktérií, fázy exponenciálneho rastu sa pozorovali aj u mnohých vyšších organizmov (rastliny, zvieratá, ľudia). Populačný rast ľudstva je dokonca hyperexponenciálny, to znamená ešte silnejší ako jednoduchý exponenciálny rast.
Ľudský rast
V roku 1804 žila na zemi miliarda ľudí, v roku 1927 sa ich počet zdvojnásobil na dve miliardy. Obdobie zdvojnásobenia bolo 123 rokov.
V roku 1974 boli na zemi už štyri miliardy ľudí, doba zdvojnásobenia bola teraz iba 47 rokov.
V súčasnosti (17. júna 2018) žije 7 480 144 000 ľudí, budúci rok (2019) ich počet pravdepodobne stúpne na 8 miliárd. Obdobie zdvojnásobenia je teraz 44 rokov, čo je ďalšie zrýchlenie rastu. Ale zjavne sa rast ľudstva blíži k exponenciálnemu rastu, to znamená k rastu s konštantným časom zdvojnásobenia. To je upokojujúce (pozornosť: sarkazmus!).
Najsilnejší rast populácie je v rozvojových krajinách, zatiaľ čo vo väčšine priemyselných krajín rast populácie stagnuje alebo je dokonca negatívny.
Na webe www.census.gov/popclock môžete doslova sledovať, ako ľudstvo rastie.
Matematika exponenciálneho rastu
Matematické znázornenie exponenciálneho rastu je dosť jednoduché. Čas neustáleho zdvojnásobenia závisí od rýchlosti rastu w populácie. Tempo rastu sa skladá z dvoch zložiek: miera pôrodnosti g a miera úmrtnosti s. Platí toto: w = g - s. Ak sa narodí viac jedincov, ako niektorí zomrú, je miera rastu pozitívna. Ak v určitom časovom období zomrie viac jedincov, ako sa narodí, tempo rastu je záporné, t. J. Menšie ako 0. Ak je pôrodnosť a miera úmrtia vyvážená, má tempo rastu hodnotu 0, čo sa označuje ako stagnácia populácie alebo nulový rast. .
Ak chcete simulovať exponenciálny rast pomocou tabuľky, potrebujete diferenciálnu rovnicu. Diferenciálna rovnica udáva, ako veľmi sa populácia za dané časové obdobie zvyšuje (alebo znižuje).
S $ dN $ sa myslí nárast veľkosti populácie, s $ dt $ obdobie, v ktorom k nárastu dochádza. Konštanta $ k $ určuje, ako silno $ \ frac $ závisí od aktuálnej veľkosti populácie $ N $.
Simulácia exponenciálneho rastu pomocou tabuľky (Apple Numbers)
Školenie tabuľkovej metódy I
Do prvého stĺpca tabuľky zadáme generácie, teda 1, 2, 3,. 30. Na to sa už dá použiť jednoduchý vzorec. Napríklad hodnota bunky A3 sa počíta z hodnoty bunky A2 zvýšenej o 1. Do bunky A3 zadáme nasledujúci vzorec:
Tento vzorec potom skopírujeme do všetkých buniek A4, A5, pod A3. A31.
V bunke B2 zadáme počiatočnú veľkosť populácie, tu 100.
Do bunky D2 zadáme hodnotu konštanty k diferenciálnej rovnice, napríklad 0,04.
Potom do bunky B3 napíšeme nasledujúci vzorec:
Tento vzorec skopírujeme znova do všetkých buniek pod B3. Čísla sa teraz pravdepodobne zobrazujú s veľkým počtom desatinných miest, čo nevyzerá dobre. Formátujeme preto stĺpec B tak, aby sa už nezobrazovali ďalšie desatinné miesta. Ako to funguje, úplne závisí od použitej tabuľky.
Vytvorenie diagramu
Pomocou tabuľky môžete tiež veľmi pekne graficky zobraziť stĺpce s číslami. Za týmto účelom označte myšou dva stĺpce A a B a potom vyberte vhodný zobrazovací formulár. Na obrázku 2 bol vybraný typ zobrazenia „x/y diagram“. Tento typ znázornenia vytvára správny matematický funkčný graf, ktorý zobrazuje hodnoty jedného stĺpca (tu B) vo vzťahu k hodnotám druhého stĺpca (tu A).
Tu si môžete stiahnuť tabuľku čísel prevedenú do Excelu. Kráse sa tu neprikladala žiadna hodnota, takže to môžete urobiť.
Úloha 1
Chceme preskúmať, aká veľká je baktéria druhu Escherichia coli. Spektrálny lexikón biológie nám poskytuje konkrétne údaje: „Baktérie E. coli sú priame tyčinky, 1,1–1,5 × 2,0–6,0 μm (živé)“. Pre túto úlohu predpokladáme priemernú dĺžku 4 μm a priemernú šírku 1,3 μm. Chceme nastaviť výšku takejto baktérie na 1,3 μm.
Aby ste mohli problém vyriešiť, musíte tiež vedieť, čo sa myslí pod 1 μm. 1 μm alebo 1 mikrometer je tisícinová časť milimetra a miliónta časť metra.
Úloha
Escherichia coli sa za ideálnych podmienok zdvojnásobuje každých 20 minút. Predpokladajme, že by sa jedna z týchto baktérií mohla za ideálnych podmienok voľne množiť cez steny a iné prekážky jeden deň, aká silná by bola vrstva baktérií, ktorá by pokryla pevninu Zeme? Podľa Wikipédie je zemská plocha okolo 149,4 milióna km²
cvičenie 2
Podľa Süddeutscher Zeitung („Sila veľkých čísel“) bolo 10. marca 2020 v Nemecku infikovaných 1 218 ľudí korónovým vírusom. 24. marca bolo už 4872 infikovaných, 7. apríla 19 488 infikovaných a 21. apríla 77 952 infikovaných.
Úloha
Analyzujte tieto čísla a potom posúďte, či ide o exponenciálny rast.
Alternatívami k exponenciálnemu rastu sú hyperexponenciálny rast a hypoexponenciálny rast. Pri hyperexponenciálnom raste („hyper“ = nad) sa zdvojnásobovacie obdobie neustále skracuje, zatiaľ čo pri hypoexponenciálnom raste („hypo“ = pod) sa zdvojnásobovacie obdobia predlžujú a predlžujú. Pri exponenciálnom raste sú obdobia zdvojnásobenia konštantné.
Úloha 3
V knihe o biológii je vynikajúci príklad skutočného exponenciálneho rastu: zvýšenie populácie čierneho žeriavu v Texase. Tu sú čísla ako tabuľka:
| rok | N |
| 1940 | 18 |
| 1945 | 17 |
| 1950 | 30 |
| 1955 | 20 |
| 1960 | 31 |
| 1965 | 42 |
| 1970 | 55 |
| 1975 | 48 |
| 1980 | 75 |
| 1985 | 90 |
| 1990 | 145 |
| 1995 | 155 |
| 2000 | 174 |
Úloha
Analyzujte tieto čísla a potom posúďte, či ide o exponenciálny rast.
Učebný materiál:
Vonkajšie odkazy:
03/11/2012: Stránka bola vytvorená
05.02.2018: stránka prepracovaná
24. marca 2018: Stránka mierne revidovaná.
22.04.2020: Na stránku boli pridané úlohy.