Gaussova metóda (eliminačná metóda) - Matheretter
Čas čítania: 15 min
Pomocou Gaussovej metódy (skratka pre „metódu Gaussovej eliminácie“) možno určiť riešenia systémov lineárnych rovníc akejkoľvek veľkosti. Tento proces je špeciálnou formou alebo viacnásobným vykonaním procesu pridania.
Gaussova metóda riešenia LGS
Teraz chceme vyriešiť LGS nižšie:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Ako už naznačuje celý názov Gaussovej metódy, pomocou metódy sčítania sa snažíme eliminovať niekoľko premenných. Robíme to dovtedy, kým nedostaneme krokový formulár (nazývaný tiež riadkový krokový formulár). Systém rovníc v krokovej podobe vyzerá neskôr asi takto:
Takže vylúčime premennú x v druhej rovnici a premenné x a y v tretej rovnici. Pre systémy rovníc s viacerými rovnicami/premennými si môžete pamätať, že prvá rovnica zostáva rovnaká, ale pri každej nasledujúcej rovnici je eliminovaná jedna ďalšia premenná (začínajúc zľava), takže v poslednom riadku je iba jedna premenná.
Je dôležité, aby ilustrácia bola iba o tom, aký tvar má taký stupňovitý tvar. Hodnoty koeficientov pred nevynechanými premennými a hodnoty napravo od znamienka rovnosti sa však môžu meniť a nemusia sa nevyhnutne rovnať hodnotám pôvodného LGS, ako je to na obrázku.
Pokúsme sa vytvoriť náš postupný formulár LGS:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Najskôr chceme eliminovať x v druhej rovnici (výraz 4 x x). Použijeme metódu sčítania a hľadáme hodnotu a, ktorá vynásobená 3 dáva 4, aby sme mohli odpočítať prvú rovnicu od druhej a x je vynechané. Aká je hodnota a v 3 · a = 4 ?
Ak sa transformujeme na a, dostaneme a = - 4/3. Musíme teda vynásobiť rovnicu I - 4/3, aby sme mohli pridať I k II a x zmizne.
Ak to urobíme a nazveme našu transformovanú rovnicu I ', dostaneme:
Napíšme rovnicu II pod I 'a urobme dodatok I' + II:
Teraz chceme, aby bolo v rovnici III vynechané x, takže vynásobíme rovnicu I \ (\ left (- \ frac \ right) \) a dostaneme I ':
\ (\ begin \ text & 3 x & + 3 y & - 1 z & = 5 \ qquad |: \ left (- \ frac \ right) \\ \ text & 3 x \ left (- \ frac \ vpravo) & + 3 y \ doľava (- \ frac \ doprava) & - 1 z \ doľava (- \ frac \ doprava) & = 5 \ doľava (- \ frac \ doprava) \\ \ text & -2 x & -2 y & + \ frac z = - \ frac \ end \)
Pridajme spolu I 'a III:
Teraz píšeme I, II 'a III' jeden za druhým:
Máme už svoju prvú etapu:
Teraz musí byť y v rovnici III 'odstránené, znovu použijeme postup sčítania, a to pre posledné dve rovnice:
Obe rovnice majú rovnaké premenné yaz, môžete si predstaviť, že by sme mali LGS iba s 2 premennými. Už sme sa naučili, ako také niečo vyriešiť. Takže eliminujeme y v III 'vynásobením II' 7, pretože:
Vypočítame teda rovnicu II'7 a zavoláme novú rovnicu II ':
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | 7 \\ \ text 0 + 7 y + \ frac z = - \ frac \)
Teraz napíšeme II '' a III 'pod seba a pridáme rovnice. Teraz nazývame sumu III “:
Potom môžeme napísať rovnice I, II 'a III' 'pod seba a máme LGS v krokovej forme:
Takéto LGS je dnes možné vyriešiť pomerne ľahko. Začínate od najnižšej rovnice a určujete hodnotu jedinej premennej v rovnici. Vložením premennej, ktorej hodnota je teraz známa, do vyššie uvedenej rovnice a jej následným vyriešením získate hodnotu nasledujúcej premennej. Potom vložíte všetky známe premenné do vyššej rovnice a potom vyriešite znova.
Najprv teda vyriešime tretiu rovnicu III '':
Teraz môžeme vložiť našu hodnotu pre z do druhej rovnice II 'a vyriešiť pre y:
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | \ textcolor \\ 0 + 1 y + \ frac \ textcolor = - \ frac \\ 1 rok - \ frac = - \ frac \\ 1 y = - \ frac + \ frac \\ y = - \ frac \\ y = -3 \)
Potrebujeme iba premennú x. Túto premennú vypočítame vložením y a z do rovnice I:
\ (\ text 3 x + 3 roky - 1 z = 5 \ qquad | \ textcolor \ text < und >\ textcolor \\ 3 x + 3 \ textcolor - 1 \ textcolor = 5 \\ 3 x - 9 + 2 = 5 \\ 3 x - 7 = 5 \\ 3 x = 12 \\ x = 4 \)
Ako riešenie LGS máme:
Ak dáme tieto hodnoty do troch pôvodných rovníc ako test, zistíme, že všetky tri rovnice fungujú.
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)