Gravitačný výpočet, vzorce, príklady gravitácie, gravitačné zrýchlenie, gravitačné zrýchlenie,
Príčiny a vznik javu, ktorý nazývame gravitácia alebo gravitácia, sa v tejto chvíli nebudeme ďalej zaoberať. Toto je jednoducho otázka výpočtu gravitačnej sily, ktorá pôsobí na masívne teleso, ktoré je na povrchu guľového nebeského telesa alebo nad ním. Nasledujúce úvahy sa nevzťahujú na telesá, ktoré sa nachádzajú hlboko pod povrchom (napr. Vo veľmi hlbokej šachte), pretože gravitačné sily horniny nad a pod ňou potom pôsobia opačným smerom. (Pre pozemské šachty v realistických hĺbkach však možno ako dobrú aproximáciu použiť zrýchlenie v dôsledku gravitácie na povrchu.)
2. Základy
Dve telesá s hmotnosťou m_1 a m_2 sa navzájom priťahujú silou F_G pôsobením gravitácie, za predpokladu, že medzi nimi nepôsobia žiadne ďalšie sily (napr. Elektrostatické sily). To možno vypočítať z hmotností m_1 a m_2, vzdialenosti x medzi ich ťažiskami a univerzálnej gravitačnej konštanty G:
F_G = m_1 * m_2 * G/x ^ 2 (1)
G = 6 670 * 10 ^ -11 N * m ^ 2/kg ^ 2 (alebo m ^ 3/kg/s ^ 2)
Pre teleso K, ktoré je na povrchu nebeského telesa HK, sa x rovná polomeru r_HK nebeského telesa:
F_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2 (1a)
Ak je teleso (napr. Kamienok) zbavené podpory (je spadnuté), potom sa pomocou gravitácie zrýchli („gravitačné zrýchlenie“) a_G:
a_G = m_K * m_HK * G/r_HK ^ 2/m_K
a_G = m_HK * G/r_HK ^ 2 (2),
kde r_HK má byť nahradené x = r_HK + h_K, ak je príslušné teleso vo výške h_K nad povrchom nebeského telesa.
Podľa rovnice (2) a_G nezávisí od hmotnosti telesa m_K. Všetky telesá preto padajú rovnakou rýchlosťou (zrýchlenou) za predpokladu, že nie sú brzdené v rôznej miere rôznym odporom vzduchu.
3. Príklady: zem a mesiac
3.1 Gravitačné zrýchlenie (gravitačné zrýchlenie) na povrchu
Pre Zem platí:
m_Er = (5,979 + - 0,004) * 10 ^ 24 kg
r_Er = (6,3713 + - 0,0004) * 10 ^ 6 m
(Priemerná hodnota)
Z toho možno zvýšiť gravitačné zrýchlenie na ich povrchu („gravitačné zrýchlenie“)
a_G, Er = g = m_Er * G/r_Er ^ 2 = 9,82 m/s ^ 2
Namerané gravitačné zrýchlenie je v skutočnosti odlišné v dôsledku rotácie Zeme. Vďaka odstredivej sile je zem na póloch trochu sploštená, takže r_Er je tu o niečo menšia a o niečo väčšia na rovníku. Navyše, počínajúc od pólov, odstredivá sila zvyšujúca sa k rovníku pôsobí proti gravitačnému ťahu.
a_G, Er, Pole = (9,851 + - 0,010) m/s ^ 2
a_G, Er, stredná = (9,807 + - 0,009) m/s ^ 2
a_G, Er, rovník = (9 750 + - 0,010) m/s ^ 2
Pre Mesiac platia tieto hodnoty:
m_Mo = (7,354 + - 0,066) * 10 ^ 22 kg
r_Mo = (1,738 + - 0,001) * 10 ^ 6 m
a_G, Mo, stredná = (1,620 + - 0,015) m/s ^ 2
(Priemerná hodnota)
3.2 Gravitačné zrýchlenie vo vysokých nadmorských výškach a satelitoch: Výpočet obežnej rýchlosti na obežnej dráhe
Družice a vesmírne stanice zvyčajne obiehajú okolo Zeme vo výške „iba“ niekoľko 100 km. Aké veľké je gravitačné zrýchlenie a_G napríklad v h_K = 250 km nadmorskej výšky?
Vzdialenosť od stredu Zeme je o 250 km alebo 250 000 m viac ako na zemskom povrchu:
x = r_Er + h_K = 6 371 300 m + 250 000 m = 6 621 300 m
a_G = m_Er * G/x ^ 2 = 9,10 m/s ^ 2
Vo výške 250 km je gravitačné zrýchlenie stále takmer 93% gravitačného zrýchlenia na zemskom povrchu. V žiadnom prípade teda neplatí, že „hore“ už nie je žiadna gravitácia. V skutočnosti je predstava, že teleso v určitom okamihu opustí gravitačné pole Zeme alebo sa presunie z gravitačného poľa Zeme, mylná, pretože gravitačné pole s pribúdajúcou vzdialenosťou slabne, ale v zásade siaha nekonečne ďaleko.
Prečo potom satelit jednoducho nespadne?
Družice sú na obežnej dráhe, kde sú odstredivá sila a gravitácia v rovnováhe, takže satelit nie je vyhodený do vesmíru ani spadnutý. V najjednoduchšom prípade je dráha satelitu kruhová a odstredivá sila F_Z sa dá vypočítať z polomeru obežnej dráhy r_Ba, hmotnosti satelitu m_Sat a rýchlosti satelitu v_Sat:
F_Z = m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba (4),
zatiaľ čo gravitačná sila F_G pôsobiaca na satelit vyplýva z bodov (1) a (1a):
F_G = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Z F_Z = F_G
(Rovnováha síl!) Nasleduje:
m_Sat * v_Sat ^ 2/r_Ba = m_Sat * m_Er * G/r_Ba ^ 2
Jeho skrátením získate:
v_Sat ^ 2 = m_Er * G/r_Ba
v_Sat = root (m_Er * G/rBa)
r_Ba = r_Er + h_Ba
to znamená pre v_Sat vo výške 250 km:
v_Sat = root (m_Er * G/(6 371 300 + 250 000) m)
v_Sat = 7761 m/s = 7,761 km/s
3.3 Energia potrebná na vynesenie satelitu na obežnú dráhu
Družica na približne kruhovej obežnej dráhe vo výške 250 km sa posunie za jednu sekundu značnou rýchlosťou asi o 8 km ďalej. Aby sa satelit mohol presunúť na takúto kruhovú obežnú dráhu, musí sa proti gravitačnej sile posunúť o 250 km nahor a súčasne zrýchliť na svoju obežnú rýchlosť. Pre satelit s hmotnosťou 1 t to znamená, že mu musí byť dodané nasledujúce množstvo energie:
Nárast o 250 km:
približne 2,4 * 10 ^ 9 J = 650 kWh
Zrýchlite na 7,76 km/s:
približne 3,0 * 10 ^ 10 J = 8370 kWh
Všetko vo všetkom:
približne 3,2 * 10 ^ 10 J = 9020 kWh
Pre porovnanie: 9000 kWh je množstvo elektrickej energie, ktoré dve štvorčlenné rodiny priemerne spotrebujú za jeden rok, alebo množstvo energie, ktoré sa uvoľní pri spálení asi 1 t benzínu, nafty alebo vykurovacieho oleja.
V skutočnosti sa musí spotrebovať oveľa viac energie. Satelit nemôžete len vybaviť elektromotorom a napájacím káblom a potom ho vyslať na cestu; musíte ho „vystreliť“ raketou. To znamená: Raketa a palivo sa tiež musia dvíhať a zrýchľovať, kým sa príslušná časť rakety (stupeň rakety) alebo príslušná palivová zložka neodhodia alebo sa nespotrebujú. To nesmierne zvyšuje spotrebu energie a to je dôvod, prečo vypustenie satelitu vyžaduje namiesto 1 t paliva niekoľko 100 t paliva a kyslíka (1 t platí pre petrolej, nie vodík) (plus takmer 2 t kyslíka na spaľovanie). bude.
3.4 Eliptické dráhy a úniková rýchlosť
Väčšina satelitných dráh nie je zrovna kruhových, ale satelity sa zrýchlili o niečo vyššou rýchlosťou, ako by bolo potrebné pre kruhovú obežnú dráhu. Výsledkom je, že sa vzďaľujú od Zeme (prevažuje odstredivá sila), pričom energia na zvýšenie nadmorskej výšky je na úkor ich kinetickej energie, čím sa trochu spomalia a odstredivá sila klesá. Výsledkom je, že v určitom okamihu gravitácia znovu získa prevahu a satelit opäť stratí nadmorskú výšku, opäť zrýchli na svoju pôvodnú rýchlosť a hra sa začína odznova. Týmto spôsobom sa vytvorí eliptická dráha. Úniková rýchlosť je medzná rýchlosť, od ktorej už Zem (alebo iné nebeské teleso) nedokáže spomaliť satelit do takej miery, aby gravitácia opäť prekročila odstredivú silu. Dotyčný satelit by už potom nebol satelitom, ale skutočnou vesmírnou loďou, ktorá opúšťa svoju planétu, napríklad aby smerovala k ďalšiemu nebeskému telu.
Pri výpočte únikovej rýchlosti vychádzame z nasledujúceho prístupu: Kinetická energia E_kin, RF kozmickej lode RF daná hmotnosťou m_RF a úniková rýchlosť v_RF, fl sa musí rovnať rozdielu medzi potenciálnymi energiami Dif_E_pot, RF kozmickej lode medzi nekonečnou vzdialenosťou a jej aktuálnou polohou:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = integrál [r.unendl.] (M_RF * m_HK * G/r_HK ^ 2 * dr_HK)
Po vyriešení integrálu z toho vyplýva:
1/2 * m_RF * v_RF ^ 2 = m_RF * m_HK * G/r_HK
v_RF = root (2 * m_HK) * G/r_HK
Nezáleží na tom, či sa kozmická loď pohybuje kolmo od nebeského telesa únikovou rýchlosťou alebo po špirále. Ak kozmická loď naďalej letí bez pohonu, jej rýchlosť klesá s rastúcou vzdialenosťou od nebeského telesa do tej miery, že jej rýchlosť je vždy rovnaká ako úniková rýchlosť platná pre aktuálnu vzdialenosť.
Pre Zem je úniková rýchlosť na povrchu (čisto teoreticky, pretože tam je teleso spomalené vzdušným trením) 11189 m/s, pri 300 km výške 10934 m/s. V praxi sa však bude vesmírna sonda zrýchľovať na mierne vyššiu rýchlosť, aby sa pohybovala od Zeme smerom k svojmu cieľu dostatočne rýchlo.
3.5 Mesačné satelity a pristátie na Mesiaci
Kvôli podstatne nižšej gravitácii Mesiaca sa mesačné satelity dostávajú s oveľa nižšími obežnými rýchlosťami ako pozemské satelity. Materské lode Apollo napríklad obiehali okolo Mesiaca vo výške asi 15 km. Za predpokladu kruhovej obežnej dráhy to má za následok rýchlosť 1673 m/s. Dosiahnutie takejto obežnej dráhy vyžaduje oveľa menej energie ako obežná dráha okolo Zeme, takže bolo možné vrátiť sa na materskú loď pomocou relatívne malého resetovacieho modulu. Ale aj tu tvorila takmer polovica vzletovej hmotnosti palivo.
Ak máte chuť, môžete si príslušné údaje pre Mars vypočítať sami z m_Ma = (6,418 + - 0,024) * 10 ^ 23 kg a r_Ma = (3,38 + - 0,02) * 10 ^ 6 m.
3.6 Neutrálny bod medzi Zemou a Mesiacom
„Neutrálny bod“ medzi Zemou a Mesiacom je bod na priamke od Zeme k Mesiacu, v ktorom sa gravitačná sila mesiaca a sily Zeme navzájom vyrovnávajú, takže teleso, ktoré by tam nebolo ani na jednej strane, ani na jednej strane by boli priťahované k druhému nebeskému telu. Výpočet toho, kde sa tento bod nachádza, sa robí s o.A. Rovnice (takmer) vánok.
Pretože Mesiac je tiež druhom satelitu (aj keď dosť veľkým), pohybuje sa tiež na obežnej dráhe okolo Zeme, v mierne eliptickom. Pretože mesačná obežná dráha nie je presná kruhová dráha, vzdialenosť medzi mesiacom a zemou kolíše v určitom rozmedzí, konkrétne medzi zhruba 363 000 a 406 000 km. Pre ďalší výpočet zvolíme priemernú vzdialenosť 384 403 km.
A teraz výpočet: V „neutrálnom bode“ medzi Zemou a Mesiacom je zrýchlenie spôsobené gravitáciou oboch nebeských telies rovnaké:
Pri rovnici (2), ak x_Er, NP a x_Mo, NP sú vzdialenosti od Zeme alebo Mesiaca po „neutrálny bod“:
m_Er * G/x_Er, NP ^ 2 = m_Mo * G/x_Mo, NP ^ 2
Skrátenie a transformácia rovnice dáva:
x_Er, NP ^ 2/x_Mo, NP ^ 2 = m_Er/m_Mo
x_Er, NP/x_Mo, NP = root (m_Er/m_Mo)
S hodnotami pre m_Er a m_Mo získate:
x_Er, NP/x_Mo, NP = 9,017
„Neutrálny bod“ je dobrý 9-krát ďalej od Zeme ako od Mesiaca.
Aby sme to vyjadrili v km, predpokladáme strednú vzdialenosť mesiac-zem 384 403 km:
x_Er, NP = 384 403 km * 9,017/(9,017 + 1) = 346 028 km
x_Mo, NP = 384 403 km * 1 000/(9 017 + 1) = 38 375 km
x_Er, NP + x_Mo, NP = 384 403 km
4. Výpočet gravitačného zrýchlenia z povrchovej gravitácie
Hmotnosť nebeského telesa HK nie je známa. ale jeho gravitačné zrýchlenie na povrchu a_G, HK, Oberfl, potom gravitačné zrýchlenie a_G (h) vo výške h možno vypočítať takto:
a_G (h) = a_G, HK, Oberfl * r_HK ^ 2/(r_HK + h) ^ 2)
5. Zdroje (počty a údaje)
Weast: Príručka chémie a fyziky, 64. vydanie, CRC Press, 1983-84