Keď matematika nie je o počítaní

Jeden komentár k odpovedi, ktorý som zverejnil, uvádzal, že „matematika nie je vždy o počítaní“.

Moje myšlienky boli, že ak existuje jednotka (centimetre/miligramy/svetelné roky atď.), Potom to niečo je.

Výnimkou by bolo, keby ste niečo v samotnej matematike/arthimetecu opísali ako koncept 2 + 2 = 4. Definuje sa to bez potreby jednotiek, robí to však iba vyhlásenie o sebe.

Moja otázka teda znie: Keď matematika nie je o tom, že niečo počítam?

UPRAVIŤ ×: Aby bolo jasné, máme diskrétne údaje, ako napríklad počet ľudí v miestnosti, alebo nepretržité údaje, ako napríklad počet míľ k najbližšiemu kari domu (v tomto prípade ideálne veľmi malé meranie ).

Mojím zámerom v súvislosti s touto otázkou je, že obidve „počítajú“ - diskrétne údaje dúfajú a nepretržité dáta sú, povedal by som, stále „počítané“ tým, že smerujete niekoľko míľ (atď.).

Nehovorím teda o rozdiele medzi diskrétnymi a spojitými údajmi. Pýtam sa viac, či/keď matematika neodkazuje na niečo v (alebo) „skutočnom“ svete. Keď na to spätne myslím, myslím tým „keď nie sú jednotky?“

E = mC ^ 2 má jednotky alebo typ jednotky:

E = energia = watty/kalórie/čokoľvek

C = rýchlosť svetla (mph atď.)

Aby sme sa k tomu dostali pomocou nejakej pravdepodobne ťažkej matematiky, niekedy došlo k bodu, keď vzorec nemal jednotku nejakého druhu.?

7 odpovedí

Najlepším príkladom matematiky, ktorá nezahŕňa čísla, je filozofia. Logikou výroku je matematika. Ako je to spôsobom „skutočne“ o číslach?

Ale moderná matematika pozostáva hlavne z vecí, ktoré nie sú numerické, ale sú zložené zo súborov pravidiel.

Ako extrémny prípad zvážte topológiu. Najjednoduchšou formou topológie, ktorá sa má opísať, je teória grafov. Táto disciplína sa do značnej miery zaoberá zložitými súvislosťami medzi vecami, ktoré môžu byť a stále majú pomerne jednoduchý opis. Zvyčajným zobrazením grafu je množina bodov, ktoré je možné ľubovoľne posúvať, a priamky, ktoré navzájom spájajú niektoré z nich.

Skorý základný výsledok určuje podmienky, ktoré musíme dať do grafu, aby sme ich nakreslili v rovine. Geometria je zapojená abstraktne, ale bez meraní. Toto je teda dosť čistý príklad. Jediné číslo alebo meranie relevantné pre vyjadrenie problému je „dva“, a to iba ako rozmerový rozmer letúna.

Grafy samozrejme majú uzly a môžete ich spočítať. Popisy často obsahujú čísla a tie najzákladnejšie odkazujú na veci ako „potiahnite tri bodky doľava a dve doprava a spojte každú bodku na jednej strane so všetkými ostatnými.“ Ale aj tu sa aritmetika používa iba ako súčasť jazyka, nie ako hlavný aktér. Všeobecne sú teoretické grafické výpočty zriedka číselné - týkajú sa manipulácie so symbolmi, ktoré predstavujú uzly a hrany. (Týmto spôsobom je to druh výrokovej logiky, obe strany všeobecného poľa „symbolickej a kombinatorickej logiky“).

Dôležitým výsledkom je napríklad to, či nájdeme inštancie grafu s kompaktným popisom v inej sieti s kompaktným nesúvisiacim popisom. Aplikácie sa týkajú vecí, ako sú počítačové siete alebo údržba telefónnej linky. Výrobky nie sú čísla, ale postupnosti operácií, ako napríklad počítačový program.

Čísla sa zvyčajne zadávajú až po vyriešení problému, aby sa porovnala účinnosť rôznych riešení.

Ako matika som mal veľké bolesti, keď si moja rodina myslela, že sa len učím, ako robiť lepšie veci. dobre .

Čistú matematiku (tj. Vylúčenie aplikovanej matematiky) možno vo všeobecnosti považovať za oblasť, ktorá má tri hlavné odvetvia (aj keď ide pravdepodobne o zjednodušenie):

Algebra - ako používať operácie na množinách prvkov na kombináciu dvoch prvkov do iného prvku (potenciálne odlišný, potenciálne nie)
Geometria - označuje vzdialenosť medzi bodmi a vecami, ktoré z nej plynú
Základy - logika a teória množín, ktoré slúžia ako základ pre zvyšok matematiky.

Počítanie sa samozrejme používa ako príklad vo všetkých oblastiach, ale v samotnej matematike zvyčajne funguje v abstraktnejšom prostredí. To znamená, že často nepracujeme s číslami, aritmetikou alebo priamym počítaním, ale skôr berieme do úvahy veci, ktoré sa riadia rovnakými pravidlami a motívmi o veciach v tomto abstraktnom rámci.

Vezmime si napríklad množinu funkcií s určitými technickými obmedzeniami (napríklad merateľnými, integrovateľnými alebo diferencovanými. Akákoľvek množina „dobre vychovaných“ funkcií). Môžete na nich definovať operácie a kombinovať ich rôznymi spôsobmi (algebra). Môžete definovať hodnotu, ktorá nastaví vzdialenosť na prvkoch tejto množiny (geometrii). Ale myšlienka „počítania“ v tejto sade je veľmi neprirodzená.

Geometria je najjednoduchšia matematika bez čísel. Používajte iba pero, pravítko (nezdaňované, používané na vytváranie rovných čiar) a kompas.

Myslím si, že najlepším spôsobom je porovnať matematiku s prirodzeným jazykom a ekvivalentná otázka je: „Kedy jazyk nie je o pravopise?“.

Počítanie je pravopisné, pretože algebra je o tvorení viet ako dôkazov v esejach.

Odpoveď nájdete tam.

Existujú veľmi komplikované spôsoby „počítania“, pokiaľ ide o nekonečna, kombinatoriku a tak ďalej, ale väčšina otázok, ktoré matematika rieši, sa točí okolo konečného súboru základných pravidiel, z ktorých väčšina nezahŕňa „mieru“, ale skôr zhrnutie, zatiaľ (dúfajme) intuitívny koncept. Nazývajú sa axiómy. Povedali by ste, že štát „dve línie sa nikdy nestretnú“ je formou „opatrenia“? Je to však matematický výrok a také čiary definujeme ako rovnobežné (alebo v iných kontextoch ortogonálne).

Hovoríte, že jeho dôkaz alebo podmienky pre to, aby sa to stalo v karteziánskej geometrii/algebre, je nejaký druh počítania? Odpoveď je asi nie.

Všetky príklady, ktoré ste uviedli, sú iba matematika použitá vo fyzike a v reálnom svete, matematika sa zaoberá iba reálnym svetom a väčšinou sa nestará o jednotky.

Napríklad myšlienka, že existuje nekonečne veľa príkladov primárneho použitia (jedinečné čísla), logiky a ich vlastností na pridanie novej skutočnosti do znalostnej bázy, ktorá bola postavená na týchto axiómoch.

Takže aby som odpovedal na vašu otázku, len veľmi málo z matematiky je vlastne o „počítaní“.

Akýkoľvek algoritmus, ktorý je možné vypočítať, je možné modelovať ako počítanie. To je veľa matematiky.

Všeobecná myšlienka počítania bola matematicky formalizovaná pomocou množín nazývaných radové čísla. Väčšina (ak nie všetky) matematických objektov sa dá modelovať ako množina a vieme, že každá dobre usporiadaná množina je izomorfná (ekvivalentná) k radovému číslu. (Tu dobre usporiadané znamená „má aspoň jednu položku“ - to znamená, že je potrebné začať počítať.) Ak teda chcete počítanie stratiť z dohľadu, musíte sa vyrovnať so sadami, ktoré nie sú dobre usporiadané.

Doteraz sme vylúčili matematiku, ktorá sa počíta a dá sa modelovať ako dobre usporiadaná množina.

O ďalších obmedzeniach niet pochýb, ale teraz mi napadne všetko.

Ak patríte do školy, ktorá trvá na tom, aby bola celá matematika počítačovo riadená, potom si myslím, že ste vylúčili všetko.

vydanie Existuje niekoľko komentárov k ďalším odpovediam, ktoré poukazujú na nejasnosti týkajúce sa povahy počítania. Jeden konkrétny zmätok sa týka dobre známej matematickej domnienky nazývanej hypotéza kontinua.

Ako som spomenul vo svojej pôvodnej odpovedi (vyššie), Cantor formalizoval koncept počítania definovaním radových čísel. Hypotéza kontinua sa pýta, čo je mohutnosť kontinua. Všetky kardinality sú definované ako určité typy radových čísel. Mohutnosť kontinua je daná mohutnosťou dobre usporiadanej množiny [0,1] (= množina reálnych čísel medzi 0 a 1). Takže hypotéza kontinua je absolútne o počítaní. Zaujíma ho, koľko objednávok musím spočítať, aby som spočítal mohutnosť kontinua.

Ďalším zmätkom sa javí tvrdenie, že model nehovorí nič o povahe modelu. Je zrejmé, že všetko, čo sa dá modelovať ako počítanie, je matematicky izomorfné (ekvivalentné) počítaniu. Nedá sa to pochopiť.