Preložená Poissonova aproximácia Steinovou metódou - PDF na stiahnutie zadarmo

1 Zürich Open Repository and Archive University of Zurich Main Library Strickhofstrasse 39 CH-857 Zurich Rok: 26 Preložené Poissonovo priblíženie Steinovou metódou Röllin, Adrian Publikované v Zürichu Open Repository and Archive, Zurich University ZORA URL: Dizertačná práca Publikovaná verzia Pôvodne publikované o hod .: Röllin, Adrian. Preložená Poissonova aproximácia Steinovou metódou. 26, Univerzita v Zürichu, Prírodovedecká fakulta.

aproximácia

2 Preložená Poissonova aproximácia Steinovou metódou Dizertačná práca na získanie vedeckého doktorátu Dr. sc. nat.), ktorý na Fakulte matematiky a prírodných vied Zürišskej univerzity predniesol Adrian Röllin von Freienbach doktorský výbor SZ prof. Dr. Andrew Barbour Chair) Prof. Dr. Erwin Bolthausen prof. Dr. Louis H.Y. Chen Singapore) Zürich, 26

7 iv C. Stein 986). Približný výpočet očakávaní, poznámky k prednáške IMS. Ústav matematickej štatistiky, Hayward.

9 vi ako v prípade Chen a Shao 25). Viazaná na vyššie uvedený člen pre všetky a, b Ê a b 10 pre niektoré λ>. S týmto je možné formulovať aproximačnú vetu, v ktorej sa získa konvergencia, ak W W W) 2 príliš nekolíše; to znamená, že ak je očakávaná odchýlka W W od W približne rovnaká pre všetky možné hodnoty W. Ak by sme teraz zaviedli ďalšiu podmienku, ktorá takmer určite vii W W, 3) získame výsledky aproximácie pre preloženú Poissonovu distribúciu v celkovej variácii. Aj keď množstvá formulára 2) nie sú priamo zapojené do výpočtov, je zrejmé, že podmienka 3) implicitne spôsobuje, že 2) musia byť malé.

14 Obsah xi Úvod Aproximácia súčtov podmienene nezávislých premenných preloženým Poissonovým rozdelením 25, Bernoulli) Symetrická a centrovaná binomická aproximácia súčtov lokálne závislých náhodných premenných 26, predložené) Preložená Poissonova aproximácia pomocou vymeniteľných párových väzieb 26, predložené). 49

22 Teraz ukazujem v prípade aproximácie binomia preloženou Poissonovou distribúciou, ako funguje základný prístup, teda ako odhadujeme l.h.s. z < σ 2 n fs n ) S n µ n )fs n ) >= hs n) hy n). 6) Nech teda ξ i, i =. n byť i.i.d. náhodné ukazovatele s očakávaním p a S n ako predtým. Dá sa zostrojiť dvakrát diferencovateľná interpolačná funkcia F: Ê Ê taká, že Fj) = fj), F j) = fj) pre všetky j. Môžeme teda nahradiť rovnosť 6) < σ 2 n F S n ) S n µ n )FS n ) >= hs n) hy n). 7) Pripomeňme si, že µ n = np a σn 2 = np p) teda máme < σ 2 nf S n ) S n µ n )FS n ) >= Všimnite si teraz, že Taylorovou expanziou č < p p)f S n ) ξ i p)fs n ) >. 8) i = pp) f S n) = pp) f S inp) R i, 9) ξ p) fs n) = ξ p) fs inp) ξ np) 2 FS inp) R i, 2, 2) kde S in = S n ξ i a R i, = pp) ξ np) R i, 2 = ξ ip) 3 FS inp sξ ip)) ds, s) f S inp sξ ip)) ds Teraz, ξ ip) = a ξ i a S sú nezávislé, a preto uvedenie 2) a 9) do rhs z 8), všetky podmienky s výnimkou zvyšných podmienok sa zrušia a nakoniec získame n < R, R,2 >= hsn) hy n) 2) Naivný odhad, napríklad pre R, 2, by priniesol R, 2 2 F ξ p 3 C ξ p 3 pre absolútnu konštantu C, ktorá pochádza z interpolácie), kde odhad FC σn 2 sa nedá vylepšiť. To však nestačí, pretože by sme potom dostali konečný odhad 2σ 2 n hsn) hz) np p) ξ p 2 C n ξ p 3 = O) np p) 7