Rozhovor s matematickým klubom s profesorom Curtisom McMullenom; EWSTranslate

predkladajú Anne-Marie Oreskovich a Dmitrij Sagalovskij

Minulý semester mal matematický klub tú česť robiť rozhovory s profesorom Harvardu a čerstvým medailistom z Fields Curtisom McMullenom. Počas hodinového rozhovoru profesor McMullen diskutoval o svojej minulosti, výskume, skúsenostiach z rôznych univerzít po celej krajine a o Fieldsovej medaile. Matematický klub by sa chcel poďakovať profesorovi McMullenovi, že si našiel čas a spoznal ho lepšie. Ak sa chcete dozvedieť viac o profesorovi McMullenovi, navštívte jeho webovú stránku http://math.harvard.edu/

Ja: Ako dlho si na Harvarde?

M: Rok a pol, ak nepočítate mojich študentov.

Otázka: Takže ste tu promovali?

Ja: Kde si bol študentom?

M: Chodil som na Williams College v Massachusetts, potom som strávil rok v anglickom Cambridge.

Otázka: Odkiaľ si?

M: Je ťažké odpovedať na túto otázku. Vlastne som vyrastal v Charlotte vo Vermonte, ale vlastne som sa narodil v Berkeley v Kalifornii. Trochu sme sa pohli, ale myslím, že som z Vermontu.

Otázka: Môžete nám teda niečo povedať o medaile?

M: Myslím si, že sa to začalo v 30. rokoch 20. storočia, odohrávajúce sa to v kanadskom poli, a viem, že Ahlfors a Douglas dostali prvé dva. Poskytuje sa každé štyri roky na ICM a v posledných rokoch sa poskytuje trom alebo štyrom ľuďom. Uvidíme teda, kto ďalší ho tento rok dostal? Kontsevich, Gowers a Borcherds. V skutočnosti všetci okrem Gowersa trávili čas v Berkeley, kde som bol posledných sedem rokov predtým, ako som sem prišiel. Stretol som sa teda s Borcherdsom aj Kontsevichom z Berkeley.

Ja: Kde si bol, keď si sa to dozvedel?

M: Bol som tu. Dozviete sa to pár mesiacov vopred a mali by byť utajené až do dnešného dňa obradu. V skutočnosti som to nikomu nepovedal, čo bolo dosť ťažké, pretože sa šírili klebety a mal som ich odmietnuť.

Otázka: Môžete nám povedať niečo o tom, čo ste urobili s výskumom, ktorý vám dal medailu?

M: Začnem smerovaním môjho výskumu. Najskôr som písal dizertačnú prácu na Harvarde, ale s harvardským profesorom som nepracoval. Pred absolvovaním som s Davidom Mumfordom na Kleinianových skupinách pracoval na počítači a začal som sa o tento predmet zaujímať. Nakoniec som však napísal dizertačnú prácu u Dennisa Sullivana, ktorý bol v tom čase profesorom na New York University a profesorom IHES vo Francúzsku. Mal som teda veľké šťastie, že mi ju Mumford predstavil v poslednom roku mojej postgraduálnej kariéry, keď som nemal žiadneho poradcu ani tému dizertačnej práce. Išiel som do Francúzska a pracoval som so Sullivanom na IHES na semester a stretol som sa so Stevom Smaleom, ktorý mi dal tento pekný diplomový problém o riešení polynomických rovníc iteráciou.

Určite ste už počuli o Newtonovej metóde riešenia polynómov. Ak použijete Newtonovu metódu na kubický polynóm, nemusí to fungovať. Môžete byť zaseknutý pod miestnym minimom. A ak trochu zmeníte počiatočný odhad, nemusí sa skonvertovať na root. Newtonova metóda teda nie je spoľahlivá na riešenie polynomiálnych rovníc. Problém, na ktorom som pracoval, bol, či existuje alebo neexistuje algoritmus ako Newtonova metóda, ktorá zahŕňa iteráciu jednej racionálnej funkcie, ktorá dokáže efektívne vyriešiť polynomické rovnice. Podarilo sa mi dokázať, že odpoveď nemá známku 4 alebo vyššiu, a v skutočnosti som našiel nový algoritmus na riešenie kociek, ktorý je spoľahlivý.

Potom som išiel na MSRI a na semester na MIT, potom na štyri roky do Princetonu. Peter Doyle a ja sme pracovali v Princetone na riešení rovníc piateho stupňa a našli sme tento nečakane krásny algoritmus na riešenie piatych polynómov. Ale moja téza to neodporuje, pretože je to veža iterácií; to znamená opakovať racionálnu funkciu, vziať vec, ku ktorej konverguje, a spojiť ju s druhou.

Ako pravdepodobne viete, riešenie kvintiky súvisí s Galoisovou skupinou A 5 a skutočnosťou, že A 5 je jednoduchá skupina. Toto použil Galois na preukázanie toho, že nemôžete vyriešiť kvintickú rovnicu radikálov.

Zdá sa, že aby bolo možné vyriešiť rovnicu pomocou iteračnej racionálnej mapy, musíte nájsť racionálnu mapu, ktorej symetrická skupina je Galoisova skupina polynómu. Teraz existuje iba malá skupina skupín, ktoré môžu byť skupinami symetrie v Riemannovej sfére a tie zaujímavé pochádzajú z platónskych pevných látok. Takže A 5, skupina symetrie dvanástnika, je najkomplikovanejšia, akú môžete získať. Túto racionálnu mapu so symetriou A 5 sme použili na získanie nového algoritmu pre efektívne spoľahlivé quintické riešenie. A rovnako, pretože S 6 alebo A 6 nepracuje na Riemannovej sfére, neexistuje podobný algoritmus na riešenie rovníc 6. alebo viac. Toto bola moja prvá oblasť výskumu: riešenie polynómov a dynamika racionálnych máp. Odkaz

Počas pobytu v Princetone sme našli nový analytický dôkaz Thurstonovej teórie, ktorý ponúka hyperbolické štruktúry na mnohých 3 odrodách vrátane väčšiny komplementárnych uzlov. Tento nový dôkaz súvisí so sériou Poincaré, klasickým predmetom komplexnej analýzy, a vedie tiež k riešeniu dohadov Kra a Bersa. Neskôr, v Berkeley, som začal vidieť paralely medzi teóriou troch odrôd, ktoré vlákno nad kruhom; táto téma je vyvinutá v 2 knihách, ktoré vyšli v časopise „Annals of Math Studies“ v Princetone. Fieldsova medaila bola, myslím si, uznaním týchto projektov.

Pracoval som teda na dynamike racionálnych máp a pracoval som na troch hyperbolických variáciách a pracoval som na Riemannovom povrchu ako takom a tiež som pracoval na topológii povrchov a uzlov. A chcel by som zdôrazniť, že pre mňa sú všetky tieto oblasti skutočne rovnaká. Začnite veľmi ľahko pracovať na dynamickom probléme a o pár mesiacov neskôr sa ocitnete v riešení problému v teórii uzlov alebo topológii uzlov, pretože sú navzájom veľmi prepojené - uzly, komplexné analýzy, polynómy, Riemannovy povrchy, hyperbolické 3-variácie, atď. Pre toto pole neexistuje žiadny názov, ale toto je oblasť, v ktorej pracujem.

Otázka: Takže ste pravdepodobne boli najlepšími štyrmi matematickými školami v Amerike: Princeton, Berkeley, MIT a Harvard. Môžete ich porovnávať a porovnávať z hľadiska atmosféry, priateľstva, tempa práce ľudí atď. Pre študentov, ktorí uvažujú o absolvovaní školy.?

M: Sú skutočne odlišné. Nech sa vzdám MIT, pretože som tam strávil iba semester. Princeton je strašné oddelenie, ale mesto je pre mladého človeka trochu upchaté a nudné. Má najvyššiu hustotu ľudí v skupine „Kto je kto“ a je vysoko kultivovaný. Nič nečakané sa nestane. Takže sa mi to nezdá veľmi živé. Ale nebol som tam ako postgraduál. Princeton je skvelým miestom, kam sa môžete vydať, ak viete, že tam nebudete navždy. Veľmi pozorne sa obzerám za svojimi rokmi v Princetone.

Princeton a Harvard zaobchádzajú s postgraduálnymi študentmi veľmi dobre. Medzi počtom študentov na fakulte je dobrý pomer. Študenti sú dobre financovaní, oddelenia sú dostatočne malé na to, aby sa im študentom venovala osobitná pozornosť. A myslím si, že študenti sa od seba na oboch miestach veľa naučia. Toto je dôležitá súčasť postgraduálneho vzdelávania.

Berkeley je tiež úžasný. Je to miesto, ktoré má obrovské oddelenie, sto vysokých škôl, ak počítate emeritné. Veľmi sa mi to páčilo, ale nájsť si dobré miesto na život, nájsť dobrého poradcu a dostať sa do tej správnej niky, matematicky a podobne, si vyžaduje veľa energie. Ale ako to robíš, veľa sa ti to vypláca. A krásne počasie. Z kampusu sa môžete prejsť do Strawberry Canyonu, potom do parku Tilden a za 40 minút budete úplne mimo ľudstva. (Na Harvarde som naopak zistil, že môžem hodinu jazdiť na bicykli a stále byť na predmestí ...) V Berkeley sú bazény vonkajšie, veľmi živé a tiež veľmi tolerantný - k najrôznejším rôznym životným štýlom, rôznym typom ľudí. Cítite pocit slobody. Necítite, že by ste mohli vyskúšať nový nápad, a nemusíte sa toľko trápiť tým, či to bude fungovať alebo nie. Jednou z veľkých vecí na Berkeley je, že v tejto oblasti je toľko postgraduálnych študentov a toľko postdoktorandov, najmä s MSRI, že môžete mať pracovnú skupinu pre akúkoľvek matematickú tému, na ktorú si spomeniete. Je tam veľký matematický záujem.

Veľmi sa mi páčilo, že som študentom Harvardu. Cambridge a Berkeley majú oproti Princetonu výhody v tom zmysle, že sú to mladé komunity, deje sa veľa vecí, sú blízko dôležitého mesta. Z mojich skúseností s absolventmi môžete povedať, že aj keď si myslím, že Harvard je naozaj skvelý, skutočnosť, že jeho fakulta je malá, by mohla sťažiť hľadanie poradcu v oblasti, kde chcete pracovať. A myslím si, že skutočným kľúčom k úspechu na postgraduálnej škole je nájsť niečo, čo vás zaujíma natoľko, aby ste vydržali štyri alebo päť rokov.

Otázka: Prečo ste sa rozhodli prísť na Harvard v Berkeley?

M: Prišiel som prvýkrát ako návštevník. A veľmi sa mi tu učilo. V Berkeley sú študentské kurzy často veľmi veľké a bolo veľmi obohacujúce mať týchto veľmi dobrých študentov v malej triede. A veľmi sa mi páčilo, že katedra je dosť malá na to, aby bolo ľahké stretnúť sa s ostatnými členmi fakulty. A samozrejme, keďže som tu bol postgraduálnym študentom, vždy som sa na Harvard díval ako na toto úžasné miesto. V skutočnosti som si ťažko vedel predstaviť, že som tu učiteľkou, a tak som chcel zistiť, aké to je. Páči sa mi, že moje oblasti záujmu sú rôzne, ale prekrývajú sa s oblasťami iných ľudí na katedre. Veľmi ma zaujíma veľa vecí, ktoré tu robia iní. Takže pre mňa mi to svojím spôsobom umožňuje pokračovať vo vzdelávaní.

Otázka: To však neznižuje vaše možnosti spolupracovať s ostatnými členmi fakulty?

M: V prvom rade dosť veľa cestujem, takže vidím ľudí vo svojom odbore vo Francúzsku, v Stonybrooku alebo inde. Väčšina výskumov sa však robí sama; Najlepšie si robím prieskum sám. Je veľmi užitočné, keď môžem viesť hádku od odborníka v danom odbore, ale naozaj mi nechýba niekto, s kým by spolupracoval presne v mojom odbore. Musím uznať, že bolo ťažké prísť sem. Chýba mi život v Berkeley a môžem tam stráviť pobyt.

Otázka: Považujete sa za renesančného matematika v tom zmysle, že vaša práca zahŕňa širokú škálu matematických oblastí.?

M (smiech): Nie, považujem sa skôr za amatéra, niekoho, kto sa zaoberá mnohými rôznymi oblasťami a zaujíma ho veľa rôznych vecí; Určite by som nepovedal renesančný matematik. Teraz ma naozaj baví veľa druhov matematiky a baví ma pracovať na niečom, čo nie je odborník na učenie tohto predmetu. Táto oblasť, ktorú som popísal, je týmto spôsobom skutočne úžasná, pretože je taká široká, že nadväzuje kontakt s mnohými rôznymi druhmi matematiky. Keď som prišiel na Harvard, zistil som, že som kvôli mnohým teóriám (napríklad Hodgeovej teórii zložitých odrôd atď.) Veľmi nerozumel a neboli sme veľmi motivovaní ju študovať. Začal som teda predmetom, ktorý som sa mohol veľmi dobre naučiť: skutočnou premennou.

Po absolvovaní som absolvoval kurz skutočnej analýzy; Išiel som na rok do Stanfordu a absolvoval som kurz skutočnej skutočnej analýzy od profesora v Jeruzaleme Benjamina Weissa. A to ma z analýzy veľmi nadchlo. Potom som sa vrátil k Williamsu a úzko som spolupracoval s Billom Oliverom. Na moje matematické vzdelanie mal veľký vplyv; práve od neho som sa prvýkrát naučil túto myšlienku používania slovníkov v matematike, ktorá sa bude používať ako druh analógie medzi rôznymi oblasťami alebo odlišným teoretickým vývojom pri pokusoch viesť moju prácu. To boli moje prvé vplyvy.

Keď som prišiel na Harvard a bol som akosi na castingu. Vedel som, ako programovať počítačový program - pracoval som v lete v IBM-Watson v Yorktown Heights - a Mandelbrot a Mumford takmer spolupracovali; Mandelbrot poskytuje prístup k počítačom od Yorktown Heights po Mumford, ktoré vykresľujú tieto nádherné obrázky hraničných súborov Kleinianových skupín. Ako niekto, kto sa vyznal v počítačovom svete Yorktownu, začal som pre neho pracovať ako počítačový programátor, pomáhal som mu kresliť tieto obrázky a podobne. Musíte si predstaviť, že v tých časoch sme museli volať na diaľku modemom a potom pracovať na programoch na písanie s rýchlosťou 30 znakov za sekundu vo FORTRANE. Potom sa odfotíme a budeme si musieť počkať týždeň, kým nám pošlú list z Yorktownu, aby sme zistili, či to dobre dopadlo.

Potom som sa začal zaujímať o veľkosť Hausdorffa, a keďže som vedel skutočnú analýzu, pokúsil som sa na nej pracovať. Moja prvá práca sa týkala problému, o ktorom som sa dozvedel, keď som sa stretol s profesorom Hironakou, profesorom na Harvarde, aj keď bol na dovolenke v Japonsku. Keď sa prvýkrát vrátil z Japonska, povedal mi túto otázku, ktorú nedokázal vyriešiť, a to vypočítať veľkosť fraktálu určitej množiny. Táto sada sa získa nakreslením písmena „M“ a opakovaním rovnakého obrázku, ako je to znázornené na tomto obrázku .

Nakoniec dostanete sadu, ktorá nie je podobná, ale je čučoriedková. Fraktály, ktorých rozmery sa dajú ľahko vypočítať, majú tú vlastnosť, že ak vezmete malý kúsok a zmenšíte jeho veľkosť s rovnakým faktorom v oboch rozmeroch, vyzerá to ako väčší kus. Má tú vlastnosť, že na veľkej hrane sa dá zmenšiť veľmi malá medzera, musíte však mierku zmenšiť silou dvoch v jednom smere a silou troch v druhom; pretože veľkosť je ťažké vypočítať. V mojom prvom výskume som vypočítal jeho veľkosť: D ​​= log 2 (1 + 2 log 3 2). Bol to úžasný problém; Veľa som na tom pracoval. Môžete vidieť, že sa mi páčilo, že som blízko matematickému poľu, ktorému som rozumel.

Potom ma začalo viac zaujímať zložitá dynamika, tak som prešiel na zložitú premennú zo skutočnej premennej; Vždy som bol blízko vecí, ktorým som mohol rozumieť. Takže teraz, dvanásť rokov po svojom lekárovi, konečne píšem prácu súvisiacu s Kählerovou geometriou; a určite som sa necítil pohodlne s Kählerovými hodnotami, keď som chodil do školy. Musel som pracovať nielen na témach, ale tiež vidieť vnútornú motiváciu, aby som sa k nim dostal, a nie ich vkladať do „studne, to sa potom naučíme“ - spôsob.

Otázka: O akej „analógii slovníka“ ste hovorili?

M: Najväčší matematický vplyv mal môj vedúci diplomovej práce Dennis Sullivan. Nielen, že bol mojím konzultantom dizertačnej práce, ale ešte keď bol na IHES vo Francúzsku, trávil som tam každé leto spolu pár mesiacov a chodil som na jeho seminár do New Yorku alebo Princetonu. Teraz je učiteľom v Stony Brook v New Yorku a ja sa snažím navštevovať raz ročne.

Otázka: Kde si nechávaš svoju poľnú medailu? Majte to doma?

M (smiech): Informácie nemôžem prezradiť!

Otázka: Aká bola situácia, keď ste vyhrali medailu Fields? Ako sa cítil?

M: Moja prvá reakcia bola úžasná; Bol som veľmi rozrušený. Vlastne som si myslel, že nie som kvalifikovaný z hľadiska veku. Tiež som poznal toľko skvelých matematikov tu i v Berkeley a inde, že som nemohol uveriť, že som bol vybraný. Tiež v roku 1991 som získal Salem Award, čo je cena za analýzu; Bol som nadšený, že ma takto spoznali, pretože mám skutočne rád tento obor - bolo to prvýkrát ako matematik. V skutočnosti som bakalársku prácu napísal ako postgraduálny študent o salemskej problematike a toto ocenenie je na počesť Raphaela Salema, takže má pre mňa osobný význam. Nikdy som nečakal, že dostanem také uznanie, takže som mal určite pocit, že som svoju časť uznania už urobil. (Bol som rovnako prekvapený, že som dostal ponuku od Harvardu, ale opäť som nevedel, čo mám povedať.

Toto pripomína, je výrok Lipmana Bersa, ktorý bol jedným z mojich mentorov; povedal: „Matematika je niečo, čo robíme pre klamný obdiv niekoľkých blízkych priateľov.“ Myslím, že je to dobrý popis matematiky; viac ako to nečakajte, pretože spokojnosť s matematikou je skutočne osobná vec. Mám teda veľké šťastie, že som bol vybraný na uznanie komisiou Fields Medal.

Jednou z veľkých vecí na matematike je, že komunita je dosť malá. Keď som šiel do Berlína prevziať toto ocenenie, bolo tam veľa ľudí, ktorých som za tie roky dobre poznal - úžasné medzinárodné spoločenstvo mojich priateľov. Bola to naozaj krásna vec.

Otázka: Ako ste mohli ovládnuť svoje nadšenie?

M: No to, čo sa stalo, bolo, bol som taký rozrušený, že som na to rýchlo zabudol, pretože som tomu veľmi nemohol uveriť. A potom, z času na čas, si spomeniem. A myslel by som si, že to nemôže byť pravda (smiech) a samozrejme to nemôžem overiť, pretože to muselo byť tajomstvo.

Otázka: máj je to niečo, o čo sa s nami chcete podeliť o medailu?

Vlastne mám príbeh o tom, keď som sa vrátil z Berlína. Keď môj batoh prešiel autom, zastavila ma letisková stráž, ktorá viedla detektor kovov. Povedala: „Prepáčte, čo tu máte v batohu?“ Povedal som: „Je to zlatá medaila.“ Povedala trochu váhavo: Tak som to vytiahla z môjho balíka. Trochu rozčúlený povedal: „Och, veľmi krásna, je tvoja?“ Povedal som „Mmmmm!“

---