Výpočet pozdĺžnej vzpierky

Ustálený stav

O pevnom tele sa hovorí, že je v stabilnej rovnováhe, ak potom, ako na ňom dôjde k vonkajšiemu narušeniu zmenou jeho rovnováhy, je táto zmena eliminovaná jednoduchým zastavením činnosti rušivého prvku, takže sa telo vráti. v pôvodnom stave.
V prípade priamych tyčí potrebných na stlačenie, ak majú ich prierezy v porovnaní s dĺžkou relatívne malé rozmery, potom majú ich osi sklon k ohybu a axiálne sily, ktoré ich zaťažujú, spôsobujú ohyb tyčí s intenzitou úmernou veľkosti. Keď zaťaženia dosiahnu určitú úroveň (nazýva sa kritická), deformácie v ohybe sa zvýšia nad hranicu tolerancie tyče, čo sa okamžite prejaví, samozrejme nie v dôsledku prekročenia limitov odporu jej materiálu, ale v dôsledku deformácie.

Jav pozdĺžneho vybočenia

V prípadoch, ako je ten vyššie, nejde o vyhovenie žiadosti, ale o konkrétny jav nazývaný vybočenie, ktorý má katastrofické následky a je potrebné sa mu vyhnúť. Tento jav je nebezpečný, pretože je nezvratný a nie je plne kontrolovaný výpočtovými metódami. Stanoviť sa dá iba úroveň kritického zaťaženia (Fcr) s hodnotami špecifickými pre každú betónovú tyč; akceptuje sa, že pri zaťaženiach nižších ako táto úroveň nedochádza k vybočeniu príslušnej tyče.
Z výpočtových požiadaviek je tiež definované kritické vzperné napätie (scr) tyče - normálne napätie zodpovedajúce jej kritickému zaťaženiu. Je zaujímavé, že toto napätie môže byť pod hranicou proporcionality (alebo elasticity) materiálu, čo je prípad nazývaný elastické vybočenie tyče, ale môže byť aj nad touto hranicou - pre ktorú je vybočenie elastické-plastové.

Problém pružného vybočenia rovných tyčí riešil z hľadiska výpočtov od polovice 18. storočia švajčiarsky vedec Leonard Euler. Na druhej strane, pre elastoplastickú sponu, aj keď už boli vyvinuté rôzne teoretické riešenia, majú prevažne empirický charakter, založený výlučne na experimentálnych pozorovaniach.
Základnou myšlienkou pri výpočtoch vybočenia je, že skutočné napätie (Fef) musí byť v určitej vzdialenosti (bezpečnosť) od kritického zaťaženia (Fcr) analyzovanej tyče. Táto podmienka znamená stanovenie minimálnej požadovanej hodnoty pomeru medzi dvoma úrovňami zaťaženia vo forme a bezpečnostný faktor spony (C). Túto veličinu možno definovať ako vo vzťahu k silám F, tak k normálovým namáhaniam, a to nasledovne:

"S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S".

Faktor bezpečnosti proti vybočeniu je vždy nadjednotný, čím vyššia je časť, ktorá je dôležitejšia v mieste použitia alebo pri montáži, ktorej je súčasťou. Pre tyčové telesá nachádzajúce sa v strojových konštrukciách môžu byť hodnoty koeficientu medzi 2,5 a 28, zvyčajne je však obmedzený na 3 - 4 jednotky.

Výpočet kritickej sily v prípade pružného vybočenia

Na rozdiel od obvyklých výpočtov odporu, výpočty stability vychádzajú z účinkov vzperného javu smerom k jeho príčinám. Z tohto dôvodu riešenia zohľadňujú v mnohých aspektoch štúdia fenoménu konkrétne prípady jeho výroby.
Pokiaľ ide o pružné vybočenie (pre ktoré -R je pod limitom proporcionality z charakteristickej krivky stlačenia materiálu tyče) analýza začína od objavenia sa ohybového napätia na dlhých a tenkých stlačených tyčiach. Napísaním rovnice priemerného vlákna (tiež stanovenej Eulerom) pre takto deformovanú tyčinku sa získa diferenciálna rovnica, špecifická pre spôsob, akým je tyč podopretá. Riešenie rovnice na základe okrajových podmienok vedie k nájdeniu kritickej vzpernej sily.

Prípad kĺbovej tyče na oboch koncoch

Deformovaný stav tyče na obr. 1.1 označuje vzhľad ohybového momentu v ľubovoľnom priereze
Miz (x) = FГ - v (x).
Preto môžeme pre tento stav nabitia Eulerovu rovnicu napísať takto:

"S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S".

Ak sú všetky výrazy napísané v ľavej končatine a urobí sa zápis

"S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S".

potom sa rovnica stáva: В В В В В В В

„V“

Riešením tejto diferenciálnej rovnice musí byť tvar
v (x) = A bez sekery + B so sekerou,
a koeficienty je možné určiť uložením podmienok deformácie tyče (okrajové podmienky), ktoré sú v tomto prípade dané prekážkou jej vertikálneho pohybu v úsekoch na koncoch:

Posledná podmienka vyplýva z požiadavky vyhnúť sa triviálnemu riešeniu diferenciálnej rovnice v (x) = 0 a konštanta k môže byť akékoľvek prirodzené číslo (iné ako nula). Ak uvažujeme o prvom možnom riešení (k = 1), bude mať deformovaná tyč podobu sínusoidy s rovnicou:

Je potrebné poznamenať, že v tomto vyjadrení zostáva maximálna hodnota (v max) posunutia neurčená, čo udržuje možnosť katastrofického vývoja fenoménu vzperu.
Z podmienky (a - L = p) vyplýva hodnota konštanty a, ktorú je možné nahradiť vo vzťahu (1.3), a to nasledovne:
„V“ V „V“ V „V“ („B“)

Zavedenie I min (najmenší z hlavných stredových momentov zotrvačnosti prierezu) do vzorca vedie k najmenšej z možných kritických vybočovacích síl študovanej tyče. Okrem toho je ľahké si predstaviť, že k ohybu tyče (pri pôsobení axiálnej sily) dochádza prednostne okolo hlavnej stredovej osi (prierezu), voči ktorej je moment zotrvačnosti (tj ohýbanie) má minimálnu hodnotu.
Vzťah (1.4), tzv Eulerov vzorec v prípade základného vzpierania sa používa na výpočet kritickej sily pre stlačenú tyč ako v obrázok 1.1 vyššie.
Pozor: Kritická sila je úroveň požiadavky na kompresiu, do ktorej sa pripúšťa nedochádza je potrebné zabrániť strate pružnej stability tyče, tj je potrebné zabrániť zaťaženiu, ktoré by dosiahlo túto hranicu!

Samozrejme je možné písať nové riešenia diferenciálnej rovnice (1.2), ktoré dávajú hodnoty k iné ako 1; ak prijmeme k = 2, dostaneme to (a - L = 2p) a dosiahneme druhú kritickú silu tyče:
"S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S".

Obr. 1.2

Táto hodnota zodpovedá situácii, v ktorej je dĺžka tyče znížená o polovicu dodatočnou oporou, ktorá je v strede svojej dĺžky pohyblivým kĺbom (Obr. 1.2) pozoruje sa, že nový variant ložiska je pomerne jednoduchým praktickým riešením na zvýšenie (4-násobku) kritickej vzpernej sily tyče, teda aj jej bezpečného prevádzkového rozsahu.
Pre nasledujúce riešenia diferenciálnej rovnice (získané z podmienky a - L = kp) sa z podobného dôvodu odvodzuje, že je zavedený počet (k kЂ 1) medziľahlých mobilných podpôr, čím sa získa prírastok (k) prírastku ( bar. Je však potrebné poznamenať, že akékoľvek zlyhanie jednej alebo viacerých podpier vedie k významnému zníženiu kritickej sily.!

Výpočet kritickej sily pre ostatné ložiskové prípady

Pre panel konzoly (Obr. 1.3) je potrebné poznamenať, že pozdĺžna os je zakrivená, pričom zostáva tangenciálna k polohe od okamihu pred podaním žiadosti.
Úspešnosť prierezu v ohybe sa počíta rovnako ako v prípade kĺbovej tyče na koncoch:
Miz (x) = FГ - v (x).

Preto sa diferenciálna rovnica deformovaného vlákna píše aj vo forme (1.2) a opakuje sa tu celé predtým uvažované zdôvodnenie a jediný rozdiel sa objaví pri písaní okrajových podmienok (pretože bol zvolený počiatok súradnice x)., výsledkom je, že sa rovnajú nule šípky pruhu • Г®nx = 0, respektíve jeho rotácie • „Г®nx = L):

Pre druhú podmienku sa pozoruje, že ani konštanta A (čo by znamenalo, že sa čiara vôbec nekriví), ani parameter a nemôžu byť nulové a z rovnosti s nulou trigonometrickej funkcie vyplýva, že jej argument musí byť nepárny násobok (p/2). Pomocou prvej možnej hodnoty, tj. A = p/2, sa dostaneme:

"S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S" S "S".

To znamená vzorec kritickej vzpernej sily pre tyč v konzole.
Analogickým postupom (s nehomogénnymi diferenciálnymi rovnicami) je možné vyriešiť ďalšie dva prípady podpory stlačených tyčí - vloženie na obidva konce (Obr. 1.4), respektíve vybranie na jednom konci a kĺb na druhom konci (Obr. 1.5). Kritická sila sa počíta pre každý prípad so vzťahom napísaným vedľa príslušného obrázka.

Obr. 1.4

В (1,7)

Obr. 1.5

B (1,8)

Pri analýze vzťahov kritickej sily pre študované prípady podpory sa zistilo, že sa líšia veľkosťou od menovateľa; táto veľkosť je označená (Lf2), pričom sa pre každý variant zaťaženia označuje „vzperná dĺžka“ tyče. Vzpieracie dĺžky pre príslušné situácie sa získajú z vyššie uvedených vzťahov:

pre tyč s dvojitým sklopením L \ L \ L \ L \ L
pre panel konzoly „V“, „V“, „V“, „“
pre zabudovanú dvojitú lištu В В В В L = = = = = = = = = = = = = = = = = =
pre kĺbovú a zapustenú tyč Lf = 0,707 - L

Týmto spôsobom sa dosiahne jedinečná forma Eulerovho vzťahu pre výpočet kritickej sily v štyroch typoch podpory:
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В В.
ObservaЕЈii:

Uplatniteľnosť Eulerovho vzorca

Bolo špecifikované, že vo všetkých vyššie uvedených prípadoch je vybočenie tyčí elastického typu: strata stability má tendenciu nastávať v oblasti elastickej deformovateľnosti materiálu tyče, v ktorej maximálne napätie v časti nepresahuje proporcionálnu hranicu (proporcionalitu). z charakteristickej krivky.
Ak sa na základe kritickej sily danej vzorcom (1.9) definuje kritické vzperové napätie scr (ako pomer medzi kritickou silou a plochou prierezu tyče), berúc do úvahy definičný vzťah polomeru zotrvačnosti. „V“, „V“, „V“, „V“
"V" V "V" V "V" V "V" V "V" V "V" V "V" V " "
Tento vzťah sa stáva oveľa jednoduchším, ak sa urobí notácia

В В (1,11)
adic ѓ

„V“ V „V“ V „V“ V „V“ V „V“ V „M“ (1,12)
Číslo l, koeficient tenkosti (alebo štíhlosti) analyzovanej tyče, je pomer medzi dvoma dĺžkami (nemá žiadne rozmery!) A je hlavným indikátorom toho, ako sa betónová tyč počíta pri vybočení.

Výpočty elastickej stability sú špecifické pre každú tyč, vrátane materiálu a jeho zaťaženia.
Koeficient l zavádza do výpočtov vybočenia vplyvy pôsobiace na stabilitu tyče jej dĺžkou, uložením, ale aj tvarom a rozmermi jej prierezu.
Dve tyče, ktoré sa vyznačujú rovnakou hodnotou koeficientu tenkosti a rovnakým spôsobom stratia svoju elastickú stabilitu.

Vychádzajúc zo vzťahu (1.12) môžeme zostrojiť krivku závislosti medzi kritickým boulovým napätím a koeficientom l. Graf tejto funkcie v zásade predstavuje rovnostrannú hyperbolu, je však potrebné poznamenať, že pre tento výpočet je relevantná iba časť tohto grafu.: pretože vzťah (1.12) sa vzťahuje na pružné vybočenie, vedie to k hyperbolickej podobe grafu (Obr. 1.6) platí iba v oblasti pod limitom proporcionality materiálu (scr l2 - lišta bola nesprávne dimenzovaná a je potrebné ju znovu premyslieť.

B. Na dimenzovanie prierezu tyče

Rozmery prierezu nie sú známe (aj keď je známy jeho tvar), takže nie je možné určiť koeficient štíhlosti.
to predpokladaj tyč horí v poli elastické (tj. skutočná hodnota l sa nachádza vpravo od limitu l0).
Z vzťahu (1.9) sa získa minimálna nevyhnutná hodnota momentu zotrvačnosti prierezu, z ktorej sa počíta východisková hodnota veľkosti prierezu (tyč je vopred dimenzovaná).
S touto hodnotou (zaokrúhlenou sčítaním!) Sa vypočíta koeficient štíhlosti lef stĺpca.
Ak je lišta správne dimenzovaná a problém je vyriešený, to znamená, že vyššie uvedená dimenzia je konečná.
Ak je levo О »0 = 105, tj. Pružné vybočenie sa potvrdí a prevzaté rozmery sú správne.

b) Pre štvorcový prierez bez medzier sú charakteristické veľkosti:

A v tomto prípade sa potvrdí pružné vybočenie stĺpa, takže veľkosť rezu bola prijatá správne.

Na výpočet rozdielu medzi spotrebou materiálu použitou v dvoch variantoch sekcií sa pozoruje, že pri rovnakej dĺžke v obidvoch prípadoch je objemová odchýlka daná zväčšením priečnej plochy v prípade celej sekcie vo vzťahu k sekcii. tubulárneѓ. Preto stačí urobiť pomer priamo medzi variáciou oblasti a plochou celej sekcie:

Z toho vyplýva, že použitie rúrkového úseku namiesto úplného vedie k významnej úspore materiálu viac ako 50%.!