Dynamické systémy so zložitou štruktúrou správania homoklinické
Spolupráca: S. Gonchenko (Ústav aplikovanej matematiky a kybernetiky, Nižný Novgorod, Rusko), L. Lerman (Matematický ústav, FU Berlín)
Financovanie: Prioritný program DFG „Ergodická teória, analýza a efektívna simulácia dynamických systémov“
Opis výskumnej práce:
Štúdium homoklinických bifurkácií poskytuje jedinečný nástroj na porozumenie nelokálnych dynamických javov. Znalosti o štruktúre určitého (všeobecne konečného) súboru rozlišujúcich dráh (napr. Periodické dráhy, ku ktorým existuje homoklinická dráha a rovnovážné body s homoklinickou slučkou) umožňujú komplexný popis komplexného dynamického správania.
V sledovanom období sa uskutočnili vyšetrovania týkajúce sa nasledujúcich tém.
1. Rozvetvenie modrej oblohy. V roku 1995 D. Turaev a L. Shilnikov dokázali nový typ rozdvojenia pre periodické riešenia ([1]): V súbore všetkých hladkých trojrozmerných riek sa nachádza oblasť kodimenzie 1, ktorú tvoria body rozdvojenia (rozdvojenie modrej oblohy)
existuje a má vlastnosť, že keď sa priblíži tento povrch, perióda a dĺžka vynikajúceho periodického riešenia sa nekonečne zväčšia. Tento výsledok sa preukázal za predpokladu, že rieky sú hladké. Teraz sa ukázalo, že na to je dostatočná hladkosť C2 ([2]). Tento výsledok má mimoriadny význam z hľadiska redukcie dynamických systémov na nelokálne nemenné rozdeľovače (napr. Inerciálne rozdeľovače), pretože v tomto procese systémy strácajú svoju pôvodnú plynulosť ([3, 4]).
Výsledky v [1] je možné rozšíriť ukážkou, že geometrická konštrukcia použitá v [5] sa prirodzene vyskytuje v triede dynamických systémov s rýchlymi a pomalými premennými, čo je dôležité pre aplikácie (z dôvodu skokového správania medzi rôzne typy pomalých potrubí).
2. Kodimenzia 2 bifurkácie homoklinických slučiek. Je známe, že za všeobecných podmienok periodické riešenie odbočuje z homoklinickej slučky sedlového bodu. Porušenie týchto všeobecných podmienok vedie k rozdvojeniu kodimenzie 2. Doteraz otvorený problém, či sú známe známe scenáre rozdvojenia kódovej dimenzie 2 úplné, bol vyriešený. Bolo by možné preukázať, že okrem známych bifurkačných scenárov
už nemôžem dať ([5]).
3. Lokalizované riešenia od Hamiltonových systémov. V systémoch bežných diferenciálnych rovníc predstavujú samo-lokalizované riešenia homoklinické slučky. Bifurkácie homoklinických slučiek v Hamiltonových systémoch sú zväčša nepreskúmané. Pokiaľ ide o existenciu N-impulzov v Hamiltonových systémoch, ukázalo sa, že porušenie všeobecných podmienok v B. sa vyskytuje v bifurkácii preklopenia obežnej dráhy v Hamiltonových systémoch, vedie k existencii nekonečného počtu N impulzov. Súbor týchto riešení bol úplne opísaný pomocou jazyka symbolickej dynamiky a v tejto súvislosti bola predstavená úloha špeciálnych nehomoklinických riešení (napr. Periodické a heteroclinické riešenia). Ukázalo sa, že existencia superhomoklinických roztokov (predstavujú homoklinické dráhy až homoklinické dráhy) významne zvyšuje zložitosť dynamiky ([7]).
Pre singulárne narušené Hamiltonove systémy bol skúmaný fenomén exponenciálne menšej separačnej matice. Získané výsledky môžu byť použité na opis pulzných riešení v rôznych fyzikálnych systémoch (napr. S vlnami plytkej vody) ([8]).
4. Dynamika v nových domových priestoroch. Počítačové simulácie chaotických systémov vždy ukazujú výskyt homoklinických kontaktov. H. invariantné rozdeľovače sedlovitých periodických riešení sa navzájom dotýkajú. Newhouse ukázal, že systémy s homoklinickými kontaktmi sú husté v určitých oblastiach priestoru všetkých dynamických systémov. V [9] sa podrobne ukazuje, že úplný popis dynamiky systémov v oblastiach Newhouse je v zásade nemožný.
Jednou z hlavných vlastností homoklinických kontaktov je súčasný výskyt periodických roztokov s topologicky odlišným správaním. Tento jav je dokázaný aj pre oblasti Newhouse v systémoch Hamilton ([10, 11, 12]).
Projektová literatúra: