Harmonická oscilácia - Abiturova fyzika

Pokus: pružinové kyvadlo

Na pružine visí závažie (oranžová skrinka). Ak sa stiahne a potom uvoľní, začne sa hojdať hore a dole.

fyzika

Vľavo: Vibrácie s trením
Vibrácie strácajú trením energiu, takže váha kmitá čoraz bližšie k pokojovej polohe a nakoniec prestane vibrovať.

Správny: Vibrácie bez trenia
Váha sa rovnomerne hojdá okolo pokojovej polohy.

Najprv sa budeme zaoberať vibráciami bez trenia. Ďalšie informácie o vibráciách vyvolaných trením nájdete v časti Tlmené vibrácie.

Všeobecná definícia vibrácií

Oscilácia popisuje priebeh zmeny stavu, keď je systém kvôli poruche vyvedený zo stabilnej rovnováhy a je prinútený späť do pôvodného stavu pomocou obnovovacej sily. [. ]

Aplikácia na pružinové kyvadlo

Vľavo: Stabilná rovnováha
Ťahová sila pružiny (smerom hore) a gravitačné zrýchlenie (smerom dole) sa navzájom vyvážia. Krabica sa nehýbe.

Správny: Rušenie a odpudivá sila
Ak sa hmotnosť dostane z rovnováhy v dôsledku poruchy (napr. Ťahania rukou), vznikne nerovnováha síl medzi ťahovou silou pružiny a gravitačným zrýchlením.
Výsledná celková sila pôsobiaca na váhu sa nazýva odpudivá sila uvedené, pretože sa „pokúša“ „dopraviť“ váhu späť do východiskovej polohy.

Všeobecná definícia vibrácií (pokračovanie)

[. ] V zásade je oscilácia systému založená na periodickej premene energie medzi dvoma formami energie. Systém prechádza počiatočným stavom opakovane po stanovenom časovom intervale.

Aplikácia na pružinové kyvadlo

Ak chcete presnejšie vysvetliť osciláciu pružinového kyvadla, zvážte rýchlosť váha nevyhnutná.

Je viditeľné toto:

Pri maximálnom vychýlení
Rýchlosť závažia je minimálna (\ (0 m/s \)). Obnovovacia sila je maximálna.

Pri prejazde pokojovej polohy
Obnovovacia sila je minimálna (\ (0 N \), pretože sila pružiny a váhová sila sa navzájom vyrovnávajú). Rýchlosť je maximálna.
Váha sa pohybuje cez jeho samotného zotrvačnosť ďalej.

Záver
Medzi potenciálnou energiou pružiny a kinetickou energiou závažia dochádza k premene energie.

Obnovujúca sila

Sila, ktorá vzniká pri deformácii pružiny, je známa už od strednej školy. To je:
$$ F = - D \ cdot s $$

Pokojová poloha
\ (F_ = F_G + F_ = F_G - D \ cdot s_1 = 0 \)

Porucha
\ (F_ = F_G + F_ = \ podmnožina> - D \ cdot s_2 = - D \ cdot s_2 \)

Vibračná diferenciálna rovnica

Pomocou vzorcov \ (F = m \ cdot a \) a \ (a = \ ddot \) (zrýchlenie je druhou deriváciou dráhy) sa získa nasledujúca diferenciálna rovnica:
\ begin F_ & = - D \ cdot s \\ m \ cdot a & = - D \ cdot s \\ m \ cdot \ ddot & = - D \ cdot s \ end Ako je možné túto rovnicu vyriešiť, tu nie je zobrazené popísané podrobnejšie.

Vibračná rovnica

Vyriešením diferenciálnej rovnice získate oscilačnú rovnicu: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (2 \ pi f t + \ phi_0) $$

  • amplitúda
    Amplitúda \ (s_0 \) popisuje maximálnu výchylku oscilácie.
  • Trvanie periódy (perióda kmitania)
    Perióda je čas, ktorý uplynie, kým oscilačný systém prejde presne jednou periódou oscilácie, t. J. Po ktorej je opäť v rovnakom stave oscilácie. Obrátenou hodnotou periódy \ (T \) je frekvencia \ (f \), takže: \ (f = \ frac \).
  • frekvencia
    Frekvencia \ (f \) udáva počet úplných oscilácií za jednotku času a meria sa podľa nemeckého fyzika Heinricha Hertza v Hertzi (\ (Hz = \ dfrac \)).
  • Fázový uhol
    Fázový uhol \ (\ phi_0 \) označuje, v ktorej fáze začína oscilácia. Fázový uhol \ (\ phi_0 = 2 \ cdot \ pi \) zodpovedá posunu o jednu periódu.
    Pri fázovom uhle \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \) by sa oscilácia posunula o štvrtinu periódy. (Tj. Pružinové kyvadlo by začínalo na vrchu)

príklad 1:
\ (s_0 = 2 m \), \ (f = \ frac Hz \) a \ (\ phi_0 = 0 \)

Perióda je $$ T = \ dfrac = \ dfrac Hz> = 10 s $$

Uhlová frekvencia

Kmitanie možno chápať aj ako priemet kruhového pohybu.

Uhlová rýchlosť \ (\ omega \) takého pohybu je už známa z strednej úrovne: $$ \ omega = 2 \ pi f $$ Zodpovedá uhlu za sekundu zametanému modrým ukazovateľom.

V animácii vľavo váha vibruje s frekvenciou \ (f = 0,25 Hz \), uhlová rýchlosť je následne: $$ \ omega = 2 \ pi f = 2 \ pi \ cdot 0,25 Hz = \ dfrac \ pi Hz $ $ Pre vibrácie sa však \ (\ omega \) používa ako Uhlová frekvencia určený.

Oscilačná rovnica je teraz: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi_0) $$

Príklad 2:
\ (s_0 = 5 m \), \ (\ omega = \ frac \ pi Hz \) a \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \)

Frekvencia je $$ f = \ dfrac = \ dfrac \ pi Hz> = \ dfrac Hz $$ Dĺžka obdobia je $$ T = \ dfrac = \ dfrac Hz> = 4 s $$

Rýchlosť a akcelerácia

V porovnaní s funkciou oscilácie je funkcia rýchlosti posunutá doľava o \ (\ frac \ pi \).
Funkcia zrýchlenia je v porovnaní s funkciou oscilácie posunutá doľava o \ (1 \ pi \).