Článok 03 - Zväzok 23 - Č. 4 - 2013
Definície a vety
Národný inštitút pre výskum - vývoj v informatike, ICI, Bukurešť
Zhrnutie: V tomto článku preskúmame fakty, ktoré viedli ku kríze matematiky a potom k hľadaniu ich základov, ktoré zabezpečia základy vedy. Zdôrazňuje sa, že definícia nie je jedinečná a že je motorickým nervom matematiky. Robí sa to prostredníctvom výrokovej funkcie, ktorá ponecháva intelektuálnemu výtvoru všetku slobodu pohybu.
Kľúčové slová:definícia, výroková funkcia, metamatematika, demonštrácia.
Úvod„Neexistujú takmer žiadni dvaja matematici, ktorých predstavy o základoch ich vedy sú úplne v zhode,“ hovorí Arend Heyting. (Mathematische Grundlagenforschungen. Intuicionizmus, Beweistheorie, Springer, Berlín, 1934) divergencia medzi pozíciami vo filozofii matematiky. A toto tvrdenie je správne. Paradoxne, výskum logických základov matematiky ich namiesto zaistenia oslabil a zmenil ich pravdy na svojvoľné konvencie. Na druhej strane, matematika existuje vo všetkej svojej brilantnosti, vyvinula sa a neustále rastie nad rámec toho, čo sa o nej hovorí, bez toho, aby venovala pozornosť tomu, čo Hilbert nazýva „metamatematikou“.
Všetky snahy o podloženie podstaty a základov matematiky, buď logiky, alebo filozofie, narazili na neprekonateľné ťažkosti a vytvorili ťažké, ba až neriešiteľné problémy. Príkladom sú logicko-matematické paradoxy, problém nerozhodnuteľnosti (Unentscheidbarkeit), ktorý objavil Kurt Gödel, problém neprotirečenia teórie atď. Tieto skutočnosti priviedli matematiku do krízového stavu, ktorý odborníci otvorene uznávali.
Povedané na rovinu, povieme, že v skutočnosti nejde o krízu matematiky, ale o krízu metamatematiky. Paradoxné problémy nevznikajú z vývoja matematických právd, ale iba z toho, že o týchto pravdách hovoríme.
Niektorí autori sa domnievajú, že v histórii matematiky môžu nájsť ďalšie „krízy“. Napríklad A. Fraenkel a J. Bar-Hillel trvajú na myšlienke, že dvadsiate storočie nie je prvým obdobím, v ktorom matematika prešla „krízou základov“. Matematikou v ich dejinách otriasli tri veľké krízy.
Pokusov o prekonanie tejto najnovšej krízy je veľa. Upozorníme iba na skutočnosť, že tri spomínané krízy majú odlišný charakter: zatiaľ čo prvé dve majú vo svojom strede prekvapivé matematické objavy, ktoré svojím súčasným neobvyklým charakterom zasiahli ducha súčasníkov, posledná kríza má zvláštny charakter, pretože sa skladá z -pokus rekonštruovať matematiku v novom jazyku, aby sa zabezpečili jeho základy. Inými slovami, predchádzajúce krízy sa podarilo prekonať konsolidáciou nových a „bizarných“ výsledkov v matematike; nová kríza vznikla metamatematickým skúmaním mimoriadnych výsledkov dosiahnutých v našej dobe, pokusom o konsolidáciu matematiky zvonku, umelou rekonštrukciou ich jazyka (čo nie je ten, v ktorom boli výsledky získané). Je teda zrejmé, že posledná kríza bola spôsobená metamatematickými úvahami, a preto sa tieto vedy nesmú báť týchto viac či menej filozofických a príliš konkrétnych lingvistických špekulácií.
Po udalosti, ktorá sa javila ako skutočná matematická katastrofa spôsobená vznikom tejto krízy, začali poprední myslitelia bližšie zvažovať, čo sa stalo. Zaznelo teda niekoľko hlasov, ktoré tvrdili, že matematika vôbec nepotrebuje „základ“. Z tohto pohľadu sa zhromaždil zvlášť autoritatívny hlas Hilary Putnamovej (Matematika bez základov, „The Journal of Philosophy“, LXIV, 1967).
závery: Poďme si teraz zhrnúť výsledky získané vyššie, ktoré sme, samozrejme, mohli načrtnúť iba v úzkom priestore tohto článku.
Veríme, že sa nám podarilo vyššie odpovedať na dva problémy, ktoré Mostowski považuje za základné problémy matematiky. Naša odpoveď ukazuje, že logický problém - a prostredníctvom tejto matematiky - matematického objektu nie je filozofickým problémom. Samozrejme, že nespochybňujeme legitimitu nastolenia takýchto filozofických otázok. Ale dať problémy objektu a matematického uvažovania z filozofického hľadiska znamená vytvoriť ďalší problém a teórie ako odpovede na tento problém, ktoré sú iba „epitetami“, intelektuálnym epifenomenom ďaleko od fenoménu. priamy a správny matematický intelektuál. A zdá sa nám, že to bolo dostatočne vysvetlené našou čisto logickou analýzou. Matematický akt má dva aspekty: tvorivý aspekt, prostredníctvom ktorého sa zavádza nový „objekt“, definícia funkcie; demonštratívny aspekt, ktorým sa ustanovuje rovnocennosť týchto funkcií v tele teórie. Tieto dve umenia sa teda nachádzajú spolu: ars inveniendi a ars demonstrandi ako dve strany toho istého procesu, ktorým je logicko-matematický proces.
Snažili sme sa zostať v exkluzívnej sfére logiky. Ale povaha objektu, ako aj matematické uvažovanie, ako je vysvetlené vyššie, by mohli vrhnúť nové svetlo na dôvody, ktoré viedli Platóna a Aristotela k tomu, aby považovali matematické objekty za zvláštne situácie. U Platóna matematický objekt a najmä geometrické obrazce skutočne tvoria prostrednú oblasť medzi myšlienkami a rozumnými vecami. (Pozri napríklad Politeia, VII, 529.) Podobne Aristoteles spochybňuje matematické entity pre svoju „autonómiu“; boli by dôsledkom iba abstrakcie bez toho, aby mali autonómnu existenciu (De anima, I, 1 a III, 7; Metaphysica, K, 4, 1 061 b a E, 1, 1 026 a atď.). Larválny svet premenných, ktorý matematik vytvoril „slobodne“, nebolo možné stotožniť ani so svetom Platónových transcendentných myšlienok, ani so Aristotelovým svetom imanentných esencií.
BIBLIOGRAFIA
Toto dielo je licencované podľa medzinárodnej licencie Creative Commons Attribution 4.0.