Rast a procesy rastu

sp, verzus 010, 2019-04-19

Lineárny rast

Na lineárny rast rýchlosť zmeny je konštanta k: f '(t) = k

rast

Kvôli f '(t) ≈ Takže Δf/Δt = k nasleduje: Δf = k? Δt, d. H. nárast Δf je úmerný časovému obdobiu Δt. k sa nazýva aj konštanta proporcionality, k jasne popisuje sklon priamky.

Poznámka: Rozdielom sa rozumie Δf alebo Δt:

  • Δt: = t₂ - t₁
  • Δf: = f₂ - f₁: = f (t₂) - f (t₁).

DGL: f '(t) = k> Riešenie: f (t) = k? t + C.

príklad: Platím každý mesiac 5 EUR na účet: f (t) = 5? t + C s t v mesiacoch. Konštanta C sa určí z podmienky f (0) = C (interpretácia?).

Exponenciálny rast

Na exponenciálny rast je miera zmeny úmerná aktuálnemu stavu zásob: f '(t) = k? f (t)

Pri a exponenciálne rastúca veľkosť f (t) tiež mení rýchlosť rastu (Prečo?), Preto súčasná zásoba f (t) rastie v rovnakých časových obdobiach Δt rovnakým faktorom b: f2 = b? f1 > b = f2/f1, aplikácia: Test kvocientu!

DGL: f '(t) = k? f (t)> Riešenie: f (t) = a? e kt s a = f (0) = počiatočná zásoba a k: rastový faktor.

príklad: Mlieko je rozdelené do dvoch kvalitatívnych tried 1 a 2 (podľa nariadenia o kvalite mlieka). Mlieko 1. stupňa obsahuje až 100 000 zárodkov na ml. V teplom prostredí (20 ° C až 30 ° C) sa zárodky množia exponenciálne.

Cvičenia pre tento príklad

  • (1) Považujeme mlieko kvalitatívnej triedy 1: Po t = 5 h je okolo 700 000 choroboplodných zárodkov na ml. Popíšte príklad exponenciálnou funkciou g (t) (s t v hodinách!)
  • (2) Vysvetlite, čo funkcia g (t) popisuje vo faktických súvislostiach.
  • (3) V (1) určite rýchlosť zmeny roztoku. Výklad vo faktickom kontexte?
  • (4) Mlieko vykysne, keď obsahuje približne 1 000 000 zárodkov na ml. Vypočítajte, kedy mlieko kysne.
  • (5) Vysvetlite, ako určiť čas zdvojnásobenia tD. Výklad vo faktickom kontexte?

prehlbovanie: Cesta učenia k exponenciálnemu rastu a znižovaniu procesov
> Cvičenie 2.4 Chladenie je tu užitočné

Exkurz: kvocient kvocientu

Pre rovnaké časové intervaly Δt musí byť kvocient funkčných hodnôt f (t2)/f (t1) konštantný byť: f (t2) = b? f (t1)

Príklad: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4,9> 4,9/10 = 0,49 = b? b = b² - b = v 0,49 = 0,7> b = 0,7 = e k - k = ln (0,7) = -0,3567> f (t) = a? e -0,3567 t s a = f (0)

Poznámka: V príklade f3 = b? b? f1 = b²? f1 (a f2 = b? f1)

Obmedzený rast

Na obmedzený rast miera zmeny je úmerná rozdielu medzi zásobou f (t) a Limit G, takže k možnému zvyšku: f '(t) = k? (G - f (t))

The obmedzený rast môže funkcia f (t) = G + b? e -kt (s b 0) možno opísať. Z toho vyplýva: f (0) = G + b = Počiatočný stav

DGL: f '(t) = k? (G - f (t))

príklad: Pacientovi sa podáva liek kvapkaním. Verí sa, že pacient

  • 4 mg/min liečiva sa vstrebáva
  • 5% liečiva, ktoré sa v súčasnosti nachádza v krvi, sa vylučuje obličkami.

Cvičenia pre tento príklad

  • (1) Maximálne množstvo liečiva v krvi nesmie prekročiť 80 mg, počiatočná hodnota je f (0) = 0. S touto informáciou uveďte rastovú funkciu f (t) (t v min.).
  • (2) Vysvetlite, čo funkcia rastu popisuje vo vecných súvislostiach.
  • (3) Vysvetlite, kde sa berie do úvahy príjem lieku 4 mg/min.
  • (4) Určte časový bod t, v ktorom sa dosiahlo 90% maximálnej hodnoty.

Precvičovať: V Cornelsen Q1 (objem Lk) je príklad na s. 158/159. > Užitočné úlohy: s. 161/9 a s. 162/12.

Logistický rast

Na logistický rast miera zmeny je úmerná zásobe f (t) a zvyšnej zásobe G - f (t):

f '(t) = k? f (t)? (G - f (t)) (s k> 0).

Tu G opäť predstavuje hornú hranicu.

Funkcia rastu je: $$ f (t) = \ frac> $$

Z rastovej funkcie sa číta pre t = 0 (interpretácia?): $ F (0) = \ frac $

DGL: f '(t) = k? f (t)? (G - f (t))

príklad: V tomto príklade považujeme pôvodný kmeň v dažďových pralesoch. Žije tu 5 000 pôvodných obyvateľov izolovaných od vonkajšieho sveta. Jeden z domorodcov dostane vysoko nákazlivú (ale neškodnú!) Chrípku. O štyri týždne neskôr žije 300 chorých ľudí.

Cvičenia pre tento príklad

  • (1) V tomto príklade odôvodnite predpoklad logistického rastu.
  • (2) Nájdite rastovú funkciu f (t) (t v týždňoch).
  • (3) Vypočítajte časový bod t, v ktorom ochorela polovica pôvodných obyvateľov. (> Výklad vo faktickom kontexte?)
  • (4) Určte priemerný nárast chorých ľudí (za týždeň) v prvých 2 mesiacoch.

Precvičovať: V Cornelsen Q1 (objem Lk) je príklad na s. 163/164. Užitočné ako úlohy: s. 165/č. 14 a 15.

Poznámka k notácii: Exponent exponenciálnej funkcie: k? G? T sa stáva z. B. v Cornelsen tiež napísal nasledovne: q? t s q = k? G (kde Cornelsen používa písmeno q namiesto q!).

Otrávený rast

Na otrávený rast je potlačený rast populácie, čo môže viesť k vyhynutiu populácie. Príklad možno nájsť v práci pre 2. kurz (> perorálna medikácia).

Externe otrávený rast: Tu množstvo jedu rastie úmerne s časom t (> c? T), zatiaľ čo rastový faktor (k - c? t) celkovo časom klesá. Za rýchlosť zmeny dostaneme: f '(t) = (k - c? T)? f (t)

Funkcia rastu je: f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 s a = f (0) = počiatočný zostatok

príklad: Zatiaľ čo logistický rast je založený na predpoklade, že existuje horná hranica G pre rast, v prípade chrípkovej epidémie je pravdepodobnejšie, že chrípková vlna ustúpi pomaly. To hovorí za otrávený rast: Infekciu (= rast) zaznamenávame pomocou rýchlosti infekcie k, „množstvo jedu“ zodpovedá v tomto príklade rýchlosti zotavenia c.

Cvičenia pre tento príklad

  • (1) Na začiatku je infikovaných 10 ľudí, miera infekcie je 0,25. Funkcia f (t) počíta počet infikovaných ľudí zo 100. Určte rastovú funkciu f (t) (t v dňoch), ak je po 5 dňoch 24 infikovaných osôb.
  • (2) Na náčrte ukážte, že rastová funkcia z bodu (1) primerane popisuje chrípkovú epidémiu.
  • (3) Určite maximálny počet infikovaných ľudí.
  • (4) Určte načasovanie maximálneho zvýšenia počtu infikovaných ľudí a načasovanie maximálneho zníženia.

Precvičovať: V Cornelsen Q1 (objem Lk) úlohy s. 152/5 a 179/4. Ďalšie úlohy týkajúce sa otráveného rastu: s. 183/12 a 13.

prehlbovanie: Poisoned Growth (článok na Wikipédii)

Poznámka k funkcii rastu: Typ rastovej funkcie samozrejme závisí od rýchlosti zmeny (t. J. Od DGL!). Okrem vyššie uvedenej rastovej funkcie f (t) = a? e kt - 0,5? c? t 2 pre externe otrávený rast sú možné dve ďalšie triedy funkcií:

  • f (t) = (a + b? t)? e –ct, tj súčet exponenciálnych funkcií.
  • f (t) = a? (e –pt - e –qt), teda rozdiel medzi exponenciálnymi funkciami (> pozri prácu pre 2. kurz!).

Vyplň prázdne

Pri lineárnom raste je rýchlosť zmeny konštantná, t. J. _______________________. Preto je kvocient z ____________________________ vždy rovnaký.

Pri exponenciálnom raste je miera zmeny úmerná akciám, t. J. ____________________. Preto je kvocient z __________________ vždy rovnaký.

Vľavo

Jochen Pellatz: Rast a rozklad: Ponúka zhrnutie na tému rastových procesov.

Na webe G. Roolfsa je veľa (!) Materiálu:

  • Rast alebo procesy rastu
  • Dobrý prehľad o téme Rastové procesy.

> Pracovný list s vyššie uvedenými úlohami.

Zdroje príkladov:

  • Exponenciálny rast: na základe EdM Hessen, základný a pokročilý kurz (2011), s. 112/č. 3
  • Obmedzený alebo logistický rast: Na základe LS Analysis Lk (2001), s. 292/č. 6 alebo s. 296/č. 7.
  • Otrávený rast: Na základe analýzy matematických nových ciest II (2011), s. 268/č. 13 (pozri tiež Nové cesty, s. 321!)

riešenia

Vyplň prázdne

Pri lineárnom raste je rýchlosť zmeny konštantná, t.j. v rovnakých časových obdobiach Δt má človek rovnaké zvýšenie Δf. Kvocient je preto vypnutý Δf a Δt vždy to isté.

Pri exponenciálnom raste je miera zmeny úmerná inventáru, t.j. v rovnakých časových obdobiach Δt, f (t) stúpa o rovnaký faktor (alebo o rovnaké percento). Kvocient je preto vypnutý (f2/f1) (alebo. f (t2)/f (t1) ) vždy to isté.

riešenia rastové funkcie