Pravidlo produktu MatheGuru

Pravidlo produktu (nazývané tiež Leibnitzovo pravidlo) je často prvým zložitejším pravidlom, ktoré sa pri odvodzovaní učí. Vzťahuje sa na funkcie, ktoré pozostávajú z dvoch alebo viacerých produktov.

Napríklad, ak chcete odvodiť funkciu f (x), ktorá sa skladá z funkcií u (x) a v (x), najskôr by ste odvodili u (x), tento výraz vynásobte v (x), potom odvodte v (x) a vynásobte to číslom u (x). Dva novo vytvorené produkty sa sčítajú:

Odvodenie a dôkaz

Vysvetlenie

Funkcia f (x) je definovaná ako súčin dvoch funkcií u (x) a v (x)
Derivát sa prepíše ako diferenciálny kvocient
Termín sa pripočíta k limitnej hodnote a okamžite sa znova odčíta. To nezmení hodnotu výrazu, ale na vykonanie dôkazu je potrebný tento krok.
Faktoring
S cieľom zachovať jasnosť bola jedna limitná hodnota prevedená na dve limitné hodnoty pomocou súborov limitných hodnôt.
Predbežné faktory sa opäť zapisujú pomocou súborov limitných hodnôt ako nezávislé limitné hodnoty.
Limitné hodnoty sú teraz stanovené. Výsledný výraz zodpovedá pravidlu produktu.

S 3 alebo viac produktmi

Ak musíte integrovať výraz, ktorý sa skladá z troch alebo viacerých produktov, pravidlo produktu sa musí použiť aj takto.

Ako je zrejmé, pravidlo pre každý faktor pokračuje. To platí pre akýkoľvek počet výrobkov, ktoré sa majú odvodiť. V prípade 4 funkcií, ktoré sa majú odvodiť ako produkt, by sa derivácia každej jednotlivej funkcie vynásobila zostávajúcimi nezmenenými funkciami. Toto je potrebné urobiť pre každú funkciu. Potom sa pridajú výsledné produkty.

Všeobecné pravidlo pre akýkoľvek počet výrobkov (k) by v matematickej notácii vyzeralo takto: